Vizitinė kortelė linijiniams pūdymo vektoriams. Vektorių sistemų pagrindai

Nuo to laiko pažangių sistemų ir vektorių kūrimas ant išeikvojimo linijos iškeliamas į užduotį nustatyti matricos rangą, sulankstytą iš sistemų sistemos vektorių.

Nepamirškite, kad p> n vektorių sistema bus tiesiškai nedirbama.

pagarba: Sulenkus matricą A, sistemos vektorius galima imti ne eilėmis, o eilėmis.

Sistemų ir vektorių judėjimo ant išeikvojimo linijos algoritmas.

Sulaužykite algoritmą ant užpakalių.

Taikykite pažangias sistemas ir vektorius nedirbimo linijoje.

Užpakalis.

Pateikta vektorių sistema. Sekite nedirbimo liniją.

Sprendimas.

Kadangi vektorius c yra lygus nuliui, išorinė vektorių sistema yra tiesiškai pasenusi dėl trečiosios laipsnio.

taip:

Vektorių sistema tiesiškai išeikvota.

Užpakalis.

Sekite vektorių sistemą išeikvojimo linijoje.

Sprendimas.

Chi nėra lengva prisiminti, bet vektoriaus c koordinates toms pačioms vektoriaus koordinatėms, padauginkite iš 3, kad. Tai yra, virusinė vektorių sistema yra tiesiškai pasenusi.

1 vertė... Šių vektorių tvarinių sumai skaliaruose taikomas tiesinis vektorių derinys
:

2 vertė... vektorinė sistema
gali būti vadinama nevalymo sistema, nes eilutės ir eilutės derinys (2.8) virsta nuliu:

ir skaičių vidurys
Noriu, kad tai būtų vienas, žiūrėkite nuo nulio.

3 vertė... vektorius
vadinami nepriklausomais nuo linijos, nes eilučių derinys (2.8) kartais virsta nuliu, jei visi skaičiai.

Tris kartus ši vertė gali būti skaičiuojama nuo kitos dienos pradžios.

paveldėjimas 1... Linijinėje nedirbamoje vektorių sistemoje vienas vektorius gali būti naudojamas kaip tiesinis vektorių derinys.

Dovedennya... „Hey viconano“ (2,9) ir už vertę, efektyvumą
... Maєmo todі:
... Brangioji, teisingai, ir labai sunku.

Slidstvo 2. Yaksho vektorių sistema
jei atkeršijama už nulinį vektorių, tai sistema (obov'yazkovo) yra tiesiškai pasenusi – tai akivaizdu.

paveldėjimas 3... jaksho vidurys n vektorius
be-yaki k(
) Vektorіv lіnіyno pūdymas, tada visi n vektoriai pūdymo linijoje (nukrypti leidžianti įrodyti).

2 0 ... Dviejų, trijų ir kai kurių vektorių linijų deriniai... Linijos mityba ir vektorių nepriklausomumas tiesėje, plote ir atviroje erdvėje yra lengvai matomas. Vadovaujantis teoremomis.

1 teorema... Tam du vektoriai bus iškloti pūdymu, būtina ir pakanka, tačiau smarvė bus kolinerinė.

būtinybė... labas vektorius і tiesinis pūdymas. Tse reiškia, scho їх linijos derinys
= 0 i (dėl vertės)
... Zvidsy viplivay
, I (remiantis vektoriaus padauginimu iš skaičiaus) vektorius і kolinearinis.

gausa... labas vektorius і kolinearinis ( ║) (Prieinama tai, kad smarvė matoma iš nulinio vektoriaus; kilmė yra akivaizdi).

Pagal (2.7) teoremą (2.1 skirsnis, 2 0 punktas), Todi
imk, taip
, abo
- linijų derinys iki nulio, be to, efektyvumas yra 1 durys – vektoriai і tiesinis pūdymas.

Su distiliavimo teoremomis ateina kitas žingsnis.

paveldėjimo... yaksho vektorius і NE kolinearinis, tada smarvė yra tiesiškai kvadratinė.

2 teorema... Tam trys vektoriai liks pūdymu, tai būtina ir pakanka, bet kvapas bus lygus.

būtinybė... labas vektorius ,і tiesinis pūdymas. Parodyta, kad tvyro koplanarumo smarvė.

Vektorių linijos nustatymas sekančiuose skaičių žingsniuose
і pavyzdžiui, linijų derinys
, Visų pirma (dėl vertės)
... Todi z tsієї ravnostі galite pakeisti vektorių :=
, Tobto vektorius lygiagretainio įstrižainės kelias, paragintas vektoriais, stovėti dešinėje lygybės grandinės dalyje (2.6 pav.). Tse reiškia, scho vektorius ,і gulėti toje pačioje srityje.

gausa... labas vektorius ,і Laikymasis. Parodyta, kad smarvė sklinda iš eilės.

Išskyrus bet kurio vektorinio statymo kolineariškumą (be to, pora yra tiesiškai nukritusi, o po 3 (žr. 1 0 punktą) visi trys vektoriai yra tiesiškai nedirbami). Pažymėtina, kad tai taip pat yra klavišų nustatymas, tas pats yra nulinio vektoriaus nustatymas trijų reikšmių viduryje.

Vienoje srityje buvo perkelti trys koplanariniai vektoriai ir nukreipti į ausies ausį. Per vektoriaus galą atliekamas tiesiai, lygiagrečiai vektoriams і ; otrimaєmo su tsyu vektoriumi і (2.7 pav.) – їх іннуання nesirūpina tim, scho vektorius і NĖRA kolinearinis vektoriaus iššokimui. Zvidsy viplyaє, scho vektorius =+... Viglados kainos perrašymas (-1) ++= 0, robimo visnovok, scho vektorius ,і tiesinis pūdymas.

Yra du teoremos šalutiniai poveikiai.

paveldėjimas 1... ei і NE kolineariniai vektoriai, vektorius - pakankamai geras gulėti šioje srityje, ty pradėti nuo vektorių і , vektorius. Bėkite tuo pačiu numeriu і taki

=+. (2.10)

paveldėjimas 2... yaksho vektorius ,і NE koplanarumas, smarvė yra tiesiškai kvadratinė.

3 teorema... „Be“ tipo chotiri vektoriai yra tiesiškai nedirbami.

Įrodymas praleistas; 2 teoremų įrodymai yra panašūs į aukščiau paminėtų teoremų įrodymus.

paveldėjimo... Bet kokiems ne lygiaplaniams vektoriams ,,ir ar tai būtų vektorius
і taki

. (2.11)

pagarba... Vektoriams (trivialioje) erdvėje supratimas apie kilmę ir nepriklausomybę gali būti, kaip yra, vadovaujantis 1–3 teoremomis, paprasta geometrine prasme.

Nekhai є dviejų eilučių pūdymo vektoriai і ... Tokiu būdu vienas iš jų yra tiesinis kito derinys, todėl vienas tiesiog pasirodo kaip skaitinis daugiklis (pvz.,
). Geometriškai tai reiškia, kad vektoriaus nusikaltimas yra tiesioje nugaroje; motinos smarvė yra tokia pati, kitaip ji yra aiškiau (2.8 pav. xx).

Jei yra du vektoriai, kurie buvo pasukti iš vieno pjūvio į vieną (2.9 pav. xx), tai vieno iš jų negalima apversti to paties skaičiaus kartotiniais – toks vektorius yra tiesinis kvadratas. Otzhe, linijos nepriklausomybė du vektoriai і reiškia, kad vektorius negali būti išdėstytas vienoje tiesėje.

Yra geometrinis trijų vektorių linijinio pūdymo ir nepriklausomumo pojūtis.

labas vektorius ,і tiesinis pūdymas ir žemas (vertei) vektorius є linijinis vektorių derinys і , Tobto retušavimas srityje, atkeršyti vektoriui і ... Tse reiškia, scho vektorius ,і gulėti toje pačioje srityje. Gana і zolotne tverdzhennya: yaksho vektorius ,і gulėti toje pačioje srityje, tada smarvė linijinė.

Tokiame range vektorius ,і jis linijinis tuo ir tik tuo atveju, nes smarvė slypi ne toje pačioje srityje.

3 0 ... suprasti pagrindą... Vienas iš tų, kurie norėjo suprasti tiesinę ir vektorinę algebrą, supranta pagrindą. Įveskite vertę.

1 vertė... Vektorių pora iškviečiama tvarkingai, kaip nurodyta, kuris lažybų proceso vektorius yra pirmasis, o kuris kitas.

2 vertė. užsakyta pora ,Netiesiniai vektoriai vadinami ploto pagrindu, nes jiems yra pateikti vektoriai.

1 teorema... bet koks vektorius srityje gali būti vaizdų kaip tiesinis pagrindinių sistemų ir vektorių derinys ,:

(2.12)

o Edino paskelbimo metu.

Dovedennya... labas vektorius і nustatyti pagrindą. „Todi be“ kaip vektorius galima pristatyti viglyadі
.

Įrodyti tapatybę leistina, bet daugiau nei viena karta
... Mamo todі = 0, ir aš noriu vieno skirtumo nuo nulio. Ostannє reiškia, scho vektorius і tiesinis pūdymas, tobto kolinearinis; tse superpeertverdzhennyam, kaip smarvė nustatė pagrindą.

Ale todi – paskirstymas Odinei.

3 vertė... Trys vektoriai vadinami tvarkingais, kaip teigiama, kuris vektorius yra pirmasis, kuris yra svarbus, kuris yra kitas, o kuris yra trečias.

4 vertė... Suskirstyti trys ne lygiaplaniai vektoriai, vadinami baze erdvėje.

Čia taip pat galioja išsiskleidimo ir singuliarumo teorema.

2 teorema... būti vektoriumi gali būti reprezentacijos kaip tiesinis pagrindinių sistemų ir vektorių derinys ,,:

(2.13)

і і

Mažmeninės prekybos parduotuvėse (2.12) ir (2.13) vertės vadinamos vektorinėmis koordinatėmis tam tikru pagrindu (tiksliau, su giminėmis koordinatėmis).

Su fiksuotu pagrindu
і
tu gali rašyti
.

Pavyzdžiui, kur užduotys yra pagrindas
daviau, gerai
, Tai reiškia, shho maє misce uyavlennya (paskirstymas)
.

4 0 ... Tiesinės operacijos su vektoriais koordinačių pavidalu... Įvestas pagrindas leidžia tiesines operacijas su vektoriais pakeisti ypatingomis tiesinėmis operacijomis su skaičiais – vektorių koordinatėmis.

Gaukite darbą deyakiy pagrindu
... Akivaizdu, kad vektoriaus koordinačių rinkinys visoje bazėje didės nuo paties vektoriaus pradžios. Yra šie pasiūlymai:

a) du vektoriai
і
Rivni Todi ir Tylki Todi, jei tos pačios koordinatės:

b) su keliais vektoriais
pagal skaičių Jogo koordinatės padaugintos iš skaičiaus:

; (2.15)

c) kai pateikiami vektoriai, išsaugomos šios koordinatės:

Įrodykite, kad jėgos tsikh yra sunaikinamas; neįmanoma atnešti galios į užpakalį b). maєmo

==

pagarba... Atviroje erdvėje (zonoje) galite vibruoti neribotai turtingas bazes.

Vadovaujantis užpakaliu iki perėjimo iš vieno pagrindo į pirmąjį, galima nustatyti skirtumą tarp vektoriaus koordinačių skirtingose ​​bazėse.

užpakalis 1... Pagrindinės sistemos
duoti trys vektoriai:
,
і
... Pagrinde ,,vektorius paskirstymas. Žinokite vektoriaus koordinates pagrindu
.

Sprendimas... Mamo platinimas:
,
,
; jau,
=
+2
+
= =
, tobto
pagrindu
.

užpakalis 2... Ateikite deyakom pagrindu
chotiri vektoriai pateikiami pagal jų koordinates:
,
,
і
.

Z'yasuwati, chi nustatykite vektorių
pagrindu; teigiamo atsakymo atveju žinoti vektoriaus pasiskirstymą visame pagrinde.

Sprendimas... 1) vektorius nustato pagrindą, kaip ir smarvė yra tiesiškai nepriklausoma. Laikykite vektorių linijų derinį sandėlyje
(
) I z'yasuєmo, jakui
і nepavirs į nulį:
= 0.mm:

=
+
+
=

Dėl vektorių lygybės koordinačių pavidalu (tiesinių vienpusių algebrinių) rivnyanų sistema galės judėti į priekį:
;
;
, Viznachnik yakoi
=1
, Tobto sistema yra maє (lishe) trivialus sprendimas
... Tse reiškia vektorių nepriklausomybę nuo linijos
і, jau, smarvė davė pagrindą.

2) išplečiamasis vektorius visame pagrinde. mama: =
abo koordinačių formoje.

Pakeitę į lygius vektorius koordinačių formose, galime atpažinti tiesinių nevienodų algebrinių lygčių sistemą:
;
;
... Virishuchi її (pavyzdžiui, pagal Kramerio taisyklę), otrimaєmo:
,
,
і (
)
... Mahmo plitimo vektorius pagrindu
:=.

5 0 ... Vektorinė projekcija eteryje. Projekcijų galia. Nekhai є deyaka pakabinti l, Tobto tiesi z žymėsime ant nіy tiesių ir daugybės užduočių bet kokį vektorių .Apibrėžkime vektorinės projekcijos sąvoką nemokamai l.

vertė... vektorinė projekcija nemokamai l vadinamas t-ojo vektoriaus modulio sukimu į kosinusą kuta mіzh vissyu l i vektorius (2.10 pav.):

. (2.17)

Paskutinis reikšmės bitas yra teiginys apie tuos, kurie yra lygūs tos pačios projekcijos vektoriui (vienam ir tam pačiam).

Žymiai projekcijų galia.

1) sumi vektorių projekcija į veiksmą l kelias iki papildomų vektorių projekcijų ant to paties bėgio sumos:

2) skaliro projekcija į kelio vektorių, pridedant skaliarą į vektoriaus projekciją į tą pačią ašį:

=
. (2.19)

paveldėjimo... Vektorių linijų derinio projekcija visose kelių linijose iš šių projekcijų derinio:

Įrodykite, kad autoritetas yra neleistinas.

6 0 ... Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje.Vektoriaus išdėstymas išilgai ašies diapazono. Paimkite tris tarpusavyje statmenas koordinates bazinėje linijoje; jiems įvedami specialūs pavadinimai
... Ausies padėjimas į tašką O, Režisavo jie (pagal ort
) Koordinačių ašis Jautis,Oy iO z(Mes juos paimsime tiesiai šviesiai, už burbuolės priešais ją ir viename vienete, pavadinsime tai koordinačių vaizdu).

vertė... Užsakyta trijų tarpusavyje statmenų koordinačių ašių sistema su stuburo ausis ir stuburo vienetu vadinama stačiakampe Dekarto koordinačių sistema erdvėje.

ašį Jautis būti vadinamas visyu abscis, Oy- vіssu ordinatė іO z – vissyu aplikacija.

Mes imsimės reikšmingiausio vektoriaus pasiskirstymo remiantis
... Iš teoremų (žr. §2.2, 3 0 punktą, (2.13)) aišku, kad
gali būti lygus spredų skaičiui pagrindu
(Čia pakeiskite koordinates
gyventi
):

. (2.21)

Į (2.21)
vektoriaus esmė (dekarto stačiakampė) koordinatės ... Dekarto koordinačių pojūtis bus nustatytas teorema.

teorema... Dekarto stačiakampės koordinatės
vektorius є ašyje matomos vektoriaus projekcijos Jautis,Oy iO z.

Pristatyta. be vektoriaus Koordinačių sistemos – taškas O... Todi yogo kinetai bus paimti iš deyako taško
.

Nubrėžkite per tašką
trys sritys, lygiagrečios koordinatinėms sritims Oyz,Oxzі Oxy(2.11 pav. xx). Otrimaєmo todі:

. (2.22)

(2.22) vektorius
і
yra vadinami sandėlio vektoriais
išilgai ašių Jautis,Oy iO z.

Ei per
і paskyrė kuti, patvirtino vektorius su ortais
... Todi sandėliams pripažįstame šias formules:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

З (2.21), (2.22) (2.23) žinome:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordinates
vektorius є vektoriaus projekcija koordinačių ašyje Jautis,Oy iO z tikrai.

pagarba... numeriai
vadinami tiesioginiais vektoriaus kosinusais .

vektorinis modulis (Įstrižas stačiakampis gretasienis) apskaičiuojamas pagal formulę:

. (2.24)

Naudojamos trys formulės (2.23) ir (2.24), bet tiesioginius kosinusus galima apskaičiuoti pagal formules:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Odos dalies infekcinės ligos (2.25) yra storos pagal terminą іvі ir dešinės rіvnosti іvnosti dalys, gauname formulę:

- nebūkite kaip trys kutiai, darykite deyakiy tiesiai atviroje erdvėje, ale, kurios kosinusai pririšti prie sutuoktinių (2.26).

7 0 ... Spindulio vektorius ir taško koordinatės.Jogo ausies ir kintsijos vektoriaus vertė... Įveskite vertę.

vertė... Spindulio vektorius (žymimas ) Vektorius vadinamas koordinačių burbuole O su tašku (2.12 pav. xx):

. (2.27)

Būti kaip taškas į atvirą erdvę, dainavimo spindulio vektorių (ir atgal). Tokiame reitinge taškai vaizduojami vektorių algebroje ir spindulio vektoriuose.

Aišku, koordinatės
taškų Mє її spindulio vektoriaus projekcijos
ant koordinačių ašių:

(2.28’)

і tokio rango,

(2.28)

- taško spindulys-vektorius є vektorius, kurio projekcija koordinačių ašyje eina į viso taško koordinates. Skamba kaip du įrašai:
і
.

Otrimaєmo formulės vektoriaus projekcijoms apskaičiuoti
už burbuolės koordinačių – taškas
і кінця – taškai
.

Atliktas spindulio vektorius
i vektorius
(2.13 pav.). Otrimaєmo, scho

=
=(2.29)

- vektoriaus projekcija ant koordinatės orti, lygi vektoriaus koordinačių skirtumui.

8 0 ... Deyakі zavdannya deskartinėmis koordinatėmis.

1) prisiminkite vektorių kolineariškumą ... Iš teoremų (žr. §2.1, 20 punktą, formulę (2.7)) aišku, kad vektorių kolineariškumui і būtina ir pakanka geram darbui: =... Trys vektorių ekvivalentai yra atpažįstami lygybės koordinačių pavidalu:

(2.30)

- vektorių kolineariškumui і būtina ir pakanka, kad pateiktos koordinatės būtų proporcingos.

2) matomas tarp taškų ... Deklaracija (2.29)
mіzh taškai
і
pradėkite nuo formulės

=
=. (2.31)

3) nurodytai datai ... Duok man tašką
і
ir sklendę
... reikia žinoti
- taško koordinates M (2.14 pav.).

Įsitikinkite, kad vektoriai yra kolinearūs:
, žvaigždės
і

. (2.32)

З (2.32) yra atpažįstamas koordinačių forma:

Iš formulių (2,32 ') galima atmesti formules, skirtas skaičiuoti vidurio koordinates.
, vvazayuchi
:

pagarba... Mes pasinaudosime
і
teigiamas ar neigiamas dėl to, kad jis yra visiškai toli nuo ausies
pristatymas iki galo
, kad nepasimestų. Pagal (2.32) - (2.32 ") formules galima žinoti taško koordinates,
zovnіshnіm rangas, taip, taip, Dіlіt taškas M būti ilgesnio vizito metu
, Ne visas vidurys. Su tsom yra pikta,
.

4) sferinis paviršius . Sandėlio sferinis paviršius – geometrinis taškų masyvas
, Rivnoviddalenikh į vidstan nuo deyakoy fiksuoto centro - taškai
... Aišku, tam tikru būdu
ir iš formulės (2.31)

Rivnyannya (2,33) і Rivnyannya shukanoy sferinis paviršius.

Zavdanya 1. Z'yasuvati, chi є vektorių sistema yra tiesiškai kvadratinė. Vektorių sistema bus nustatyta kaip sistemos matrica, kurios 100% yra saugomos iš vektorių koordinačių.

.

Sprendimas. Pradėkite eilučių derinį kelias iki nulio. Koordinatėse užsirašęs kainą, pradėsiu rivinų sistemą:

.

Tokia rivinų sistema vadinama tricut. Vona maє pietauti rіshennya ... Otzhe, vektorius Linijinė aikštė

Zavdanya 2. Z'yasuvati, chi yra tiesinė nepriklausoma vektorių sistema.

.

Sprendimas. vektorius Linijinis kvadratas (1 skyrius). Jums atneštas vektorius yra linijinis vektorių derinys ... Savybių pasiskirstymas pagal vektorius viznachayutsya iš sistemos

.

Qia sistema, jakų trikutna, maє edine rіshennya.

Otzhe, vektorių sistema tiesinis pūdymas.

pagarba... Tokio tipo matrica, kaip ir 1 augale, vadinama triktnimi , Ir 2 gamykloje - keblus ... Maistas apie vektorių sistemos kilmę yra lengvai matomas, nes matricą sudaro vektorių skaičiaus koordinatės, kurios dažnai yra trikampės. Jei matrica nėra ypatingos rūšies, tada pagalbos elementarus eilučių perdarymas , Kad galėtumėte nustatyti linijos ir šono santykį tarp 100%, ir jūs galite jį pasiekti sudėtinga.

Elementariosios eilučių transformacijos matricos (EPC) vadinamos tokiomis matricos operacijomis:

1) eilių pertvarkymas;

2) kelios eilutės ant skaičiaus nuo nulio;

3) іnshy eilutės papildymas, padaugintas iš tam tikro skaičiaus.

Zavdanya 3.Žinokite didžiausią tiesiškai nepriklausomą posistemį ir apskaičiuokite sistemų bei vektorių rangą

.

Sprendimas. Vadovaujamasi sistemos, esančios už EPC pagalbos, matricos į dažnai apgaudinėjamą vaizdą. Paaiškinkite d_y eiliškumą, eilutė su skaičiumi simboliu paverčiama prasmingai į matricą. Rodyklės eilės šimtosiose dalyse matricos paverčiamos per eilutes, nes vikonai turi atmesti naujos matricos eilutes.

.

Akivaizdu, kad pirmieji du šimtai matricų krašto yra tiesiškai nepriklausomi, trečioji šimtoji yra tiesinė kombinacija, o ketvirčių neapima pirmieji du. vektorius vadinami pagrindiniais. Kvapas nustato didžiausią tiesiškai nepriklausomą sistemos posistemį , O sistemos rangas yra trys.

Pagrindas, koordinatės

Zavdanya 4.Žinoti vektorių bazę ir koordinates visame pagrinde ant neribotų geometrinių vektorių, kurių koordinatės tenkinamos .

Sprendimas... Bezlichas yra sritis, kuri turi praeiti per koordinačių burbulą. Geras ploto pagrindas yra pagrįstas dviem netiesiniais vektoriais. Pasirinkto pagrindo vektorių koordinatės yra pagrįstos bendrosios sistemos ir tiesės linijos sprendimais.

Tai pats paprasčiausias duomenų rodymo būdas, jei žinote koordinačių pagrindą.

koordinates erdvė nėra є koordinatės ant ploto, todėl smarvė pririšta prie vaikų , Tobto nėra є kvadratas. Nezalezhnі vіnnі і (smarvė vadinama vіlny) vienareikšmiškai mato vektorių і srityje, be to, smarvę galima nustatyti pagal koordinates. Todi pagrindu saugoti vektoriuose, bet gulėti visokiuose didelių žiemų rinkiniuose і , tobto.

Zavdanya 5.Žinoti vektorių pagrindą ir koordinates visame pagrinde, remiantis visais erdvės vektoriais, kuriuose nesuporuotos koordinatės yra lygios sau pačiam.

Sprendimas... Viberemo, kaip ir pirmame plane, koordinuoja erdvėje.

Taigi jakas , Tai puikus pokytis vienareikšmiškai pradėkite vektorių su і, taip pat, є koordinatėmis. Bendrasis pagrindas yra saugomas vektoriuose.

Zavdanya 6.Žinokite vektorių pagrindą ir koordinates visame pagrinde pagal visas formos matricas , de - reikšmingi skaičiai.

Sprendimas... Odos matrica s vienareikšmiškai atvaizduojama žiūrove:

Kaina už vektoriaus z skirstymą pagrindu
su koordinatėmis .

Zavdanya 7.Žinoti sistemų ir vektorių tiesinio apvalkalo dydį ir pagrindą

.

Sprendimas. Jį galima atkurti naudojant EPC matricą nuo sistemos vektorių koordinačių iki dažnai trikdomo viglead.

.

100 % likusi matricos dalis yra tiesiškai nepriklausoma, bet šimtas tiesiškai sukite per juos. Otzhe, vektorius nustatyti pagrindą , і .

pagarba... pagrindu dviprasmiškai vibruoti. Pavyzdžiui, vektoriai taip pat nustatyti pagrindą .

ei L - eilutės tarpas virš lauko R ... ei A1, A2, ..., an (*) Kincevo vektorių sistema L ... vektorius V = A1 × A1 + A2 × A2 + ... + × An (16) skambinti Tiesinis vektorių derinys ( *), ei, pokalbis, ei vektorius V sukasi tiesiškai per vektorių sistemą (*).

Verslo vertė 14. Vektorių sistema (*) vadinama linijinis pūdymas , Todi ir tik todi, jei yra toks nenulinis koeficientų rinkinys a1, a2, ..., an, a1 × A1 + A2 × A2 + ... + × An = 0. Yaksho f a1 × A1 + A2 × A2 + ... + × An = 0 Û a1 = a2 = ... = an = 0, tada iškviečiama sistema (*). Linijinė aikštė.

Linijos ir nepriklausomybės galia.

10. Jei vektorių sistema yra nulinis vektorius, tai ji yra tiesiškai nukritusi.

Tiesą sakant, jei sistemoje (*) vektorius A1 = 0, Tie 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × Аn = 0 .

20. Jeigu vektorių sistema turi du proporcingus vektorius, tai ji tiesiškai nukritusi.

ei A1 = L× A2. Todi 1 × A1 -l × A2 + 0× A3 + … + 0× A N = 0.

30. Kincevo vektorių sistema (*) ties n ³ 2 yra tiesiškai nukrenta į abu ir tik todi, jei norite, kad vienas iš šių vektorių būtų tiesinėje didžiausių visos sistemos vektorių kombinacijoje.

Þ Nekhai (*) lyn_yno pūdymas. Tai yra, yra nenulinis koeficientų a1, a2, ..., an rinkinys, kuriam a1 × A1 + A2 × A2 + ... + × An = 0 . Nepažeisk dvasingumo, gali juo naudotis, bet a1 ¹ 0. Todi isnu i A1 = × a2 × A2 + ... + × an × A N. Otzhe, vektorius A1 є Tiesinis kitų vektorių derinys.

Ü Palikite vieną z vektorių (*) є tiesinę jų kombinaciją. Galite žaisti tuo pačiu vektoriumi, ty E. A1 = B2 A2+ ... + mlrd A N, Zvidsi (-1) × A1 + b2 A2+ ... + mlrd A N = 0 , T.E. (*) Linijinis pūdymas.

Pagarba. Vikoristovuyu likusią galią, galima datuoti linijinio pūdymo ir nebegalinių sistemų ir vektorių nepriklausomumo vertę.

Verslo vertė 15. vektorinė sistema A1, A2, ..., an , ... (**) būti pašauktam Linijinis pūdymas, Norėčiau turėti vieną vektorių tiesinėje tokio paties skaičiaus vektorių kombinacijoje. Apskritai sistema (**) vadinama Linijinė aikštė.

40. Kintsev vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma nuo abiejų ir tik todi, kol galima naudoti tiesinius vektorius per kitus vektorius.

50. Jeigu vektorių sistema tiesiškai nepriklausoma, tai ar vektorių sistema tiesiškai nepriklausoma.

60. Jei tam tikros sistemos ir vektorių posistemis yra tiesiškai apleistas, tai visa sistema taip pat yra apleista.

Tegul yra dvi vektorių sistemos A1, A2, ..., an , ... (16) i В1, В2, ..., ВS, ... (17). Jei sistemos (16) odos vektorius gali būti pavaizduotas Kintz skaičiaus vektorių sistemoje (17) linijinės kombinacijos vaizde, tai galime pasakyti, kad sistema (17) sukasi tiesiškai per sistemą (16). ).

Verslo vertė 16. Vadinamos dvi sistemos ir vektoriai lygiavertis , Yaksho oda iš jų tiesiškai susukta per inšą.

9 teorema (Pagrindinė teorema yra apie nedirbimo liniją).

Labas as - dvi kintsev sistemos ir vektoriai z L ... Jei persha sistema yra tiesiškai kvadratinė ir tiesiškai sukasi per draugą, tada N£ s.

Pristatyta. Priimtinas, scho N> S. Už proto teorema

pamišusi. Taigi, kadangi žmonių yra daugiau nei nevietinių, tai sistemoje yra be galo daug sprendimų. Otzhe, ji nėra nulis X10, x20, ..., xN0... Esant toms pačioms reikšmėms, paritetas (18) bus teisingas, sakydamas, kad vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Otzhe, mūsų pripuschennya netiesa. jau, N£ s.

Slidstvo. Kai tik paskutinėje ir regėjimo linijoje yra dvi vienodos sistemos ir vektoriai, tada smirda atkeršyti tokiam pat skaičiui vektorių.

Verslo vertė 17. Vektorių sistema vadinama Maksimali vektorių linijinė kvadratinė sistema eilutės erdvė L , Yaksho laimėjo yra tiesiškai kvadratas, ale, pridėjus prie jos, bet koks vektorius z L Jūs neturėtumėte būti sistemos dalimi, jūs nebūsite vienoje linijoje su pūdymu.

10 teorema. Būti kaip du didžiausių tiesinių nepriklausomų sistemų ir vektorių taškai L Atkeršyti tiek pat vektorių.

Dovedennya be to, ar yra dvi maksimalios tiesinės nepriklausomos sistemos ir vektoriai, lygūs .

Vektorių sistemą lengva iškelti į erdvę L galima pridėti prie maksimalaus tiesiškai nepriklausomų sistemų ir vektorių platybėse.

Užsidėk:

1. Visiems kolineariniams geometriniams vektoriams, ar tai būtų sistema, kuri sudės iki vieno nulinio vektoriaus, є didžiausio tiesinio kvadrato.

2. Ar du netiesiniai vektoriai visų lygiagrečių geometrinių vektorių atveju tampa maksimalia tiesiškai nepriklausoma sistema.

3. Esant neįmanomiems trivialios Euklido erdvės geometriniams vektoriams, ar tai būtų trijų nevienaplanių vektorių sistema є maksimalus tiesinis kvadratas.

4. Visi žingsnio daugianariai neturi a N Daugiavardžių sistema su efektyviu (sudėtingu) veikimu 1, x, x2, ..., xnЄ didžiausias tiesinis kvadratas.

5. Visiems daugianariams be efektyviųjų (sudėtingų) funkcijų maksimalios tiesinės nepriklausomos sistemos užpakalis є

a) 1, x, x2, ..., xn, ...;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,...

6. Laisvos erdvės matricos M´ Nє eilutės tarpas (pasukite tse). Taikant maksimalią tiesinio kvadrato sistemą visoje erdvėje є matricų sistema E11= , E12 =, ..., EMn = .

Pateikiame vektorių sistemą C1, c2, ..., žr. (*). Vektorių s (*) posistemė vadinama Didžiausias tiesinis kvadratas pidsistema sistemos ( *) Jis neguli plokščiai, bet pridėjus bet kurį vektorių, valio sistema tapo tiesiškai nedirbama. Jei sistema (*) yra kintsev, tai ar ji yra maksimaliai tiesiškai nepriklausoma, posistemis turės vieną ir tą patį vektorių skaičių. (Įrodymas atlikti savarankiškai). Vadinamas vektorių skaičius didžiausioje tiesinėje nepriklausomoje sistemos posistemėje (*). rangas Tsієї sistemos. Akivaizdu, kad lygiavertės sistemos ir vektoriai gali būti to paties rango.

Linijinis pūdymas ir vektorių nepriklausomumas

Vektorių linijinių pūdymų ir nedirbimo sistemų reikšmė

vertė 22

Paleiskite sistemą su n-vektoriais ir skaičių rinkiniu
, todі

(11)

vadinti linijiniu tam tikros sistemos ir vektorių deriniu su tam tikra funkcijų rinkiniu.

vertė 23

vektorinė sistema
vadinti giminės pūdymu, nes yra toks funkcijų rinkinys
Noriu, kad vienas nenueitų į nulį, bet tam tikros sistemos ir vektorių linijų derinys su funkcijų rinkiniu eina į nulinį vektorių:

ei
, todі

Verslo vertė 24 ( per vieno sistemos vektoriaus pasireiškimą linijų derinio vaizde)

vektorinė sistema
gali būti vadinamas linijos pūdymu, jei norite, kad vienas iš visos sistemos vektorių ir būtų pavaizduotas kitų visos sistemos vektorių linijų derinio vaizde.

sukietėjęs 3

Vertės 23 ir 24 ekvivalentai.

vertė 25(Per nulinių eilučių derinį)

vektorinė sistema
vadinama nepriklausoma nuo linijos, nes visos sistemos eilutės derinys yra nulinis ir gali būti atimta
lygus nuliui.

vertė 26(Dėl nenoro duoti vieną sistemos vektorių linijinio jų derinio žiūrovams)

vektorinė sistema
Neįmanoma vadinti tiesiniu kvadratu, nes daugiau nei vienas visos sistemos vektorius negali būti pavaizduotas kitų visos sistemos vektorių tiesinės kombinacijos vaizde.

Tiesinio pūdymo ir nepriklausomų vektorių sistemų galia

teorema 2 (Nulis vektorius vektorinėse sistemose)

Jei vektorių sistemoje є yra nulinis vektorius, tai sistema yra tiesiškai pasenusi.

 Nagi
, Todis.

otrimaєmo
Be to, remiantis pūdymo linijos sistemos verte ir vektoriais per nulinių linijų derinį (12) sistema tiesiškai pasenusi. 

teorema 3 (Prarastas posistemis vektorinėse sistemose)

Jei posistemis yra vienoje linijoje su vektorine sistema, tada visa sistema yra išeikvota.

 Nagi
- Linijinis išeikvotas posistemis
, Tarp tų, kurie norėtų būti tokiu, kuris nebus per brangus:

Tai reiškia, kad po 23 reikšmės sistema yra tiesiškai pasenusi. 

4 teorema

Ar posistemis yra nuo linijos nepriklausoma sistema ir nuo linijos nepriklausoma.

 Priešingai. Nesijaudinkite, sistema yra tiesiškai nepriklausoma, o posistemis nėra vienoje eilėje. Kai tik bus laikomasi 3 teoremos, visa sistema taip pat sugrius. Protir_chchya. Otzhe, nuo linijos nepriklausomos sistemos posistemis negali būti linijos pūdymas. 

Geometrinis linijos pojūtis ir sistemų bei vektorių nepriklausomumas

5 teorema

du vektoriai і linijinis pūdymas ir tik todis, jei
.

 Būtinybė.

і - linijinis pūdymas
, Scho vikonutsya umova
... Todi
, Tobto
.

Pakankamumas.

Linijiniai indėliai. 

paveldėjimas 5.1

Nulinis vektorius yra kolinearinis bet kuriam vektoriui

paveldėjimas 5.2

Tam du vektoriai bus tiesiškai nepriklausomi, tai būtina ir pakanka, bet ne bula colinear .

6 teorema

Tam tikslui bus tiesiškai nukritusi trijų vektorių sistema, būtina ir pakanka, jei vektoriai bus lygiagrečiai .

 Būtinybė.

- Linijinis pūdymas, taip pat vienas vektorius gali būti pavaizduotas dviejų linijų kombinacijos vaizde.

, (13)

de
і
... Už lygiagretainio taisyklės є įstrižainės lygiagretainis su kraštinėmis
, Ale lygiagretainis - plokščia figūra
bendraplaniškumas
- taip pat koplanarumas.

gausa.

- Laikymasis. Iki taško B galima pranešti apie tris vektorius:

C

B'

- Linijiniai indėliai 

paveldėjimas 6.1

Nulinis vektorius yra lygiagretus bet kuriai vektorių porai.

paveldėjimas 6.2

Šiam vektoriui
Bully, būtina tai užbaigti, bet tai nėra vienaplanė.

paveldėjimas 6.3

Ar ploto vektorius gali būti pavaizduotas dviejų netiesinių vektorių toje pačioje srityje tiesinės kombinacijos vaizde.

7 teorema

Būkite kaip chotiri vektoriai atviroje erdvėje .

 Galimi 4 tipų kirtikliai:

Nubrėžkite plotą per vektorių, tada plotą per vektorių ir plotą per vektorių. Tada nubrėžiame plotą, einantį per tašką D, lygiagrečiai vektorių poroms; ; tikrai. Išilgai linijų bus lygiagrečios žemės linijos OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Aišku OB 1 D 1 C 1 - lygiagretainis z skatina lygiagretainio taisyklę
.

Rodomas OADD 1 – lygiagretainis (iš gretasienio galios)
, todі

Įterpti lygtį. 3.

Pagal 1 teoremą
taki, scho. Todi
, І reikšmei 24 vektorių sistema yra tiesėje. 

paveldėjimas 7.1

Apibendrinsiu tris nevienaplanius vektorius erdvėje є vektorius, kad būtų galima išeiti iš gretasienio įstrižainės, paragintos pagal tuos pačius tris vektorius, taikomus burbuolės gale, be to, gretasienio burbuolės. vektorius sumuoja iš trijų vektorių burbuolės galo.

praeiti 7.2

Jei atviroje erdvėje paimsite 3 nevienaplanius vektorius, tada ar vektorius gali būti išplėstas į šių trijų vektorių tiesinę kombinaciją.