Što je metrički prostor r n. Primjena metričkih razmaka

Što je metrika? Zašto služiti? Što je fizičko polje?

Metrika u naše vrijeme je mítsno pov'yazan od teorije gravitacije, zavdyaks djelima Hilberta i Einsteina zajedno s Grossmannom. No, u matematici je won bula uvedena još prije. Nemam milosti, među prvima, pa chi ínakshe ji pobjednički očito, Buli Rimmann i Gauss. Pokušat ćemo razumjeti njegovu ulogu u geometriji, a kasnije ćemo se čuditi da je metrika postala glavna struktura opće relativnosti, neuke teorije vidljivosti.

Na današnji dan, radiestezija vatru i očistite sastanak metrički prostori mlijeko neuglednog izgleda:

Metrički prostor ("sigurnost metrike") u matematici se naziva takav prostor, u kojem se za dvije ili dvije točke reda (tako da se jedna od njih naziva prva, a druga - druga) stvarni broj dodjeljuje kao da je jednak nuli, tada i samo tada, ako bodovi teku, a nejednakost "škakljivog" je prevladana - za bilo koja tri boda (x, y, z) broj za bilo koju okladu (x, y) je više ili manje za zbroj ovih brojeva za druga dva para, (x, z) i (y, z). Također je važno da mi broj cijena nije vidljiv i da se ne mijenja (metrika je simetrična) kada se mijenja redoslijed bodova u paru.

Kako se našao, kako su ga samo oni imenovali, tako se naziv širi i ime širi i na druge, slične prostore. Dakle ovdje. na primjer, strogo formalno, oni neće biti metrički zgídno z tsim vysche vyznachennyam, tako da imaju "metrički" broj, interval, mogu biti nula í za dvije različite točke, a također kvadrat može biti negativan realni broj. Međutim, praktično ih je od samog početka uključiti u obitelj metričkih prostora, jednostavno znímayuchi vídpovídnu vymog u vyznachenní, širenje vnímayuchi vzníchennya.

Osim toga, metrika se također može dodijeliti ne za sve točke u prostoru, već samo za one beskonačno bliske (lokalno). Takav prostor se naziva Riemannov, a drugim riječima, tezh se naziva metrika. Više od toga samom Riemannovom prostoru i razvili metriku takvog pogleda i pridavali poštovanje poput matematičara i fizičara, i znamo nadahnuti bogate ljude, mi nemamo mnogo veze s tim znanostima.

Na kraju, raspravljat ćemo o metrici ovdje stopostotno do Romanova prostranstva, tobto u lokalnom smislu. Í navit lokalno znakovi nisu vidljivi.

Formalna matematička definicija i proširenje - razumijevanje i pojašnjenje razumijevanja metrike. Pitamo se zašto je razumijevanje naraslo, s nekim autoritetima stvarnog svijeta vezano je za leđa.

Svu geometriju vinila lako je razumjeti, jer ju je formalizirao Euclid. Dakle, to je metrika. U Euklidovoj geometriji (radi jednostavnosti i točnosti, govorit ćemo o geometriji dva svijeta, a misliti na geometriji ravnine) - razumjeti udaljenost između dvije točke. Još češće i sada se metrika naziva istim standardom. Prema tome, za euklidsku ravninu ona je metrika, a metrika je standard. I sam sam tako pobijedio da je bula bila shvaćena do samog klipa. Želeći, kao što ću pokušati pokazati, do trenutnog razumijevanja metrike, može se vidjeti samo u tajanstvenom, s bogatim čuvarima i umovima, sensi.

Stajanje na euklidskoj ravnini (na lučnom papiru) je super jednostavan i očit govor. Definitivno, za pomoć linije, možete povući ravnu liniju između dvije točke i učiniti je dugom. Dobit će se broj Otrimane. Nakon što ste uzeli treću točku, možete nacrtati triko i ponovno razmisliti, što (za to postoje li dvije točke na ravnini) točno potvrđuje da ćemo pokazati više na sastanke. Vlasne, vyznachennya i boulo zmalyuvati jedan prema jedan od ovlasti Euklidskog vídstaní na trgu. Í riječ "metrički" na poleđini povezana je s vimiryuvannyam (pomoću mjerača), "Normuvannya" ravnine.

A za što je bilo potrebno vimíryuvat vídstaní, provesti metrizaciju samog područja? Pa, zašto ljudi žive u stvarnom životu kože, pjevajući, maj njihov izgled. I u geometriji su o tome razmišljali na ispravan način, ako su uveli koordinate kako bi na jedinstven i jedinstven način opisali kožnu točku ravnine. Koordinatni sustav na ravnini će očito biti više sklopiv, samo se pomičite između dvije točke. Ovdje je uho uha, osi koordinata i udaljenost (kako se može bez njih?) Od uha uha do točke projekcije na osi. Za što je potreban koordinatni sustav, jasno je - to je jaka mreža linija okomitih jedna na drugu (kao kartezijeve koordinate), popunit ću ravninu i na taj način riješiti problem rješavanja pitanja postoji li točka na tome.

Za izlazak, metrika - vídstaní i koordinate - vídstaní. Koja je razlika? Unesene koordinate. Što je prava metrika? Ríznitsya ê, i duzhe suttêva. Izbor koordinatnih sustava može biti na temelju slobode. U kartezijanskim sustavima mimikrija je poput osi ravnih linija. Ali možemo li se uvijati i krivudati? Možemo. Í sve vrste navijanja tezh. Možemo vimíryuvati vídstan uzdovzh takve linije? Dobro. Vimiryuvannya vídstaní, dozhini uzdovzh liníí ne pov'yazane z tim, kao cijela linija. Na krivudavoj stazi također postoji dovzhina i na njoj možete postaviti miljokaze. A os metrike u euklidskom prostoru nije dovoljna. Cijena je ravna, koja povezuje dvije točke. Direktno. I što je to? Koja je linija ravna, a koja kriva? NA školski tečaj ravno je aksiom. Mi ih bachimo i prihvaćamo ideju. Ale u transcendentalnoj geometriji ravne linije (nazvat ću je sam, yarlik, ne više!) Možete označiti kao deyak moguće su linije sredine sredine, koje povezuju dvije točke. I za sebe, poput najkraćeg, koji si može priuštiti najmanje dovzhina. (I na neki način, za neka matematička prostranstva, navpaki, dozhelezní, scho mayut nabíshu dovzhina.) Bilo bi bolje, uhvatili smo metriku u prilično širokom rasponu između dvije točke. Nije bilo tamo. Išli smo krivim putem. Dakle, sve je točno, ravno – najkraće u euklidskom prostoru. Ale metrika nije samo najkraća dožina. Ni. Tse ji vtorinne vlastívíst. U euklidskom prostoru metrika nije samo između dvije točke. Metrika je, u prvom redu, slika Pitagorine teoreme. Teoremija, koja vam omogućuje izračunavanje broja točaka između dvije točke uz poznavanje njihovih koordinata, dvije druge točke. Štoviše, izračunava se posebno, kao kvadratni korijen zbroja kvadrata koordinatnih linija. Euklidska metrika nije linearni oblik koordinatnih pravaca, već kvadratni! Samo specifična snaga euklidske ravnine najkraćim stazama, Što z'ednuyut bodova, tako jednostavno. Vídstaní zavzhdi ê íníynymíníy funktíyímíshchennya na putu. Metrika je kvadratna funkcija tsikh zsuvív. I tu leži temeljna važnost metrike jer se intuitivno može shvatiti kao linearna funkcija pomicanja od točke. Više od toga, za nas je bila riječ o izravnom druženju sa samim migrantima.

Zašto je kvadratna funkcija suv tako važna? I s kojim pravom ja mogu imati pravo da me se zove sasvim razumljivom riječju? Je li potrebno dati specifičnu snagu samo euklidskog prostranstva (dobro, određene obitelji prostranstava bliskih euklidskom)?

Mali pomak u stranu i pričajmo o snazi ​​samih na svijetu. Pitam za hranu, koje su linije, da bi bilo moguće staviti koordinatnu mrežu na arch papir? Čvrsto, tvrdo i nepromjenjivo, kažete. Zašto "linije"? Jedan je dovoljan! Verno, moguće je okrenuti papir u kvadrat i prenijeti ga uzicu. Jeste li spomenuli "yakscho"? Dakle, kod nas je moguće koristirati s takvim linearnim stostrukim stanom. Crta sama po sebi, stan sam po sebi, ali stan nam dopušta da svoju crtu "prijavimo" sebi. Što je sa sto i sto sfernih površina? Jak ne nanosite - operite sve na površini. Tako se želim sagnuti, pokrenuti pred tvrdoćom i tvrdoćom. Ostavimo svoje misli čistima. Što još želimo u nizu? Tvrdoća i tvrdoća doista su na rubu da nam budu još važniji u slučaju smrti – jamstvo nepromjenjivosti odabrane linije. Želimo pobijediti u istoj mjeri. Je li potrebno? Jak sad?! Jecaj majke može opravdati rezultate vimiryuvannya posvuda u stanu. Kako nismo okrenuli liniju, kako nismo zmishchuvat - deaky njezina moć, dozhina, može biti zajamčena nepromjenjiva. Dovzhina - tse stajati između dvije točke (na ravnoj liniji) na liniji. To je više kao metrika. Ale, metrika je uvedena (inače) u ravnini, za točke ravnine, zašto postoji linija? I dok to metrički i ê upravo doveden do logičnog zaključka redoslijedom nepromjenjive dugovječnosti apstraktne linije, kidajući najvažniju liniju i dodjeljujući kožnu točku ravnini.

Želeći da naše linije počnu s evníshními objektima za vímíryuvanih ih vídstany na trgu, ali mislimo da su isti kao i unutarnji, da ljestvica leži na trgu. Otzhe, mova go about Plamen moći, Kao i zovníshny linija, tako i unutarnja. Snaga jedne od dvije glave - Vrijednost, dakle, koja pljačka ljestvicu jedinstvenog svijeta (druga moć ljestvice je izravno). Za euklidsko prostranstvo moći, ono je samodostatno u izravnoj liniji i njezinoj poziciji (kao točka prostranstva). Postoje dva načina da se pokaže takva neovisnost. Prvi način, pasivni pogled na govor, je govoriti o nepromjenjivosti količine, te istosti uz dovoljan izbor valjanih koordinata. Drugi način, aktivni pogled, jest govoriti o nepromjenjivosti pri pomaku i skretanju, kao rezultatu eksplicitnog prijelaza od točke do točke. Qi metode nisu ekvivalentne metodi jedan prema jedan. Prvi je jednostavno formalizacija čvrstoće, da je vrijednost koja postoji u danom području (točki) jedna te ista neovisno s točke gledišta. Drugi je isti, da su vrijednosti količina u različitim točkama iste. Jasno je da je bogatiji i jači.

Nastavimo za sada s nepromjenjivošću veličine razmjera s razumnim izborom koordinata. Op-pa! Yak tse? Za dodjeljivanje koordinatne točke koja je već potrebna matičnoj ljestvici. Tobto sama linija. Druge koordinate - što? Druge linije? Zaista tako! Pivo! Oni koji u euklidskoj ravnini mogu rotirati našu liniju do točke koliko želimo, stvarajući privid da se koordinate mogu mijenjati bez promjene linije. Tse ílyuzíya, ali takva pêmna ílyuzíya! Kako smo je zvali! Cijeli sat dok pričamo - koordinatni sustav se okreće. Ova iluzija temelji se na određenom postulatu skale snage u euklidskoj ravnini - nepromjenjivosti ovog "dovzhini" s određenim zaokretom u točki, zatim s poštenom promjenom druge skale snage, ravno. Í tse vlastivist maê mísce u be-yakíy točki euklidske ravnine. Ljestvica posvuda može biti "dovzhina", ne ovisno o lokalnom izboru izravnih koordinatnih osi. Tse postulat za euklidski prostor. Í kako to da mi je qiu dozhina poznata? U koordinatnom sustavu, u takvom mjerilu, jedinstvo je vimiryuvannya za jednu od osi, još je lakše vidjeti - samo isto jedinstvo. A u koordinatnom sustavu (pravokutnom), u kojem slučaju se mjerilo ne mijenja s jednom od osi? Za pomoć s Pitagorinim teoremom. Teoremi su teoremi, pa ovdje postoji nekoliko trikova. Doista, teorem je dovoljno malen da zamijeni aksiome koje je formulirao Euklid. Won im je ekvivalent. Í s udaljenom suženom geometrijom (za velike površine, na primjer) sama se spirala na putu izračuna mjerila. U biti, ispravite, prevedite ovu metodu u kategoriju aksioma.

Ponovimo sada ono što je u osnovi geometrije, što vam omogućuje dodjeljivanje koordinata točkama u ravnini.

Mova idi sama po svijetu, skala. Ljestvica je u bilo kojoj točki. Svibanj veličine - "dovzhina" i ravno. Dovzhina je nepromjenjiv (ne mijenja se) kada se mijenja izravno u točkama. Za pravokutne koordinate u euklidskom prostoru, kvadrat je više od mjerila, ravno iz točke je prilično, više od zbroja kvadrata njegovih projekcija na os. Takva se geometrijska veličina još naziva i vektor. Znači da je skala vektor. A "dovzhina" vektora također se naziva normom. Dobre. Ale, gdje je ovdje metrika? ALI metrika uz takav pristup i ê način dodjele norme bilo kojem vektoru u kožnoj točki, Metoda izračunavanja broja normi na dovoljnoj poziciji vektora bilo kojeg vektora, koji je baza, mjerilo(Tiho, yakí vyznachayut izravno osi koordinata iz danih točaka i može imati jednu normu kako dodijeliti, zatim jedan vimir). Još su važnije one koje takva metoda dodjele za kožu točke prostora (područja u danom smjeru). U ovom rangu kriva je snaga prostora i unutarnjih vektora, a ne objekti koji su do prostora.

Oprostite, ali na samom početku dobili smo oznaku metričkih prostora. Novi termin? Í chi uzgozhuêtsya od starog? A sada os. Ovdje smo istaknuli kako se pitati, pokazati isti dan broj. I sama, između točaka jedan "dovzhin", norma vektora, scho z'ednuê tsí točke (u euklidskom prostoru). Oni da vektor ima istu normu, neovisno o točki praznine na novom (odabir mjerila) - odredištu vektora. Jedna pamet, Yake i rob s bilo kojim metričkim prostorom, moguće je, da su vektori iz dane norme bili utemeljeni u kožnoj točki prostora na svim ravnim linijama. Í tse imenovanje u cjelini uzgodzhuêtsya s ukazivanjem na sam klip. Možete li dodijeliti metriku u bilo kojem drugom prostoru? Uglavnom, možete. Í navit bagatma načine. Tek tada će postojati druge klase prostora koje ne uključuju euklidsko prostranstvo u sebi, poput okremy vpadok.

Zašto je euklidski prostor poseban za nas? Pa, što ima? Na prvi pogled, takvim moćima moći, mogu otvoriti i sebe, u kojem živimo. Dakle, s više poštovanja, ne zovemo ih tako. Ale f ê raznitsa mizh "nije zovsí takav" i "zovsím nije takav" ?! Želim birati riječi za kshtalt istog. Budući da naše prostranstvo-sat još uvijek nije euklidsko, onda za raspjevane umove možete biti još bliže novom. Otzhe, izaberi moje odgovornosti iz tíêí̈ sím'í̈ prostorív, u yakíy Euklidskom prostranstvu ê. Dakle, mi radimo. No, naposljetku, što je tako posebno u euklidskom prostranstvu, što je to znati svoj izraz u pjevačkim moćima yoga metrike? Da se vlasti dosta dokrajči, o većem broju njih više se već nagađalo. Pokušat ću sažeto formulirati ovu posebnost. Euklidova prostranstva takva da je u novom moguće odabrati mjerilo (upisati koordinate) tako da izgleda kao pravokutna koordinatna mreža. Moguće je ako je metrika u prostoru kožnih točaka jedna te ista. U biti, tse znači da je potrebno da se ova skala istraži u kožnoj točki prostora i svi su smradovi isti do jednoga. Za čitavo prostranstvo dovoljna je jedna linija, kao da se može pomaknuti do točke (u aktivnom osjetilu) a da joj se ne promijeni veličina i smjer.

Još važnije, stavio sam snagu, zašto je metrika kvadratna funkcija zsuvu. Vín je još uvijek pust bez opravdanja. Doći ćemo u neko obov'yazkovo. I odmah ćete sami vidjeti budućnost - metrika u obitelji prostora koje trebamo - vrijednost je nepromjenjiva na bilo koji način mijenjanja koordinata. Za sada smo pričali o Kartezijevim koordinatama, ali ja sam tu da dodam stolicu - to vrijedi za svaku transformaciju koordinata, koja je prihvatljiva u ovoj točki ovog prostora. Veličina koja je nepromjenjiva (koja se ne mijenja) pri transformaciji koordinata može u geometriji imati još jedan poseban naziv - skalar. Pitam se koliko imena za jedno te isto - postina, nepromjenjiva, skalarna... Možda čak i više, ne razmišljam dva puta. Ne govorite o važnosti samog razumijevanja. Dakle, os, metrika je skalar u pjevačkom smislu. Očito, u geometriji postoje skalari.

Zašto u "pjevačkoj senzaciji"? To, scho, dvije su točke uključene u razumijevanje metrike, a ne jedna! A vektor dodjela (imenovanja) je samo s jednom točkom. Hoću li te odvesti u Oman? Ne, samo ne govorim sve što treba reći. I potrebno je reći da je metrika norma ne dovoljnog vektora, već samo vektora beskonačno malog pomaka iz dane točke u prilično ravnoj liniji. Ako norma ne leži u ravnoj liniji od točke, tada se skalarna vrijednost može promatrati kao potencija samo jedne točke. U ovom slučaju, svejedno, također je pokriveno pravilom za izračunavanje norme za bilo koji drugi vektor. Os tako.

Nije moguće konvergirati ... Norme su različite za različite vektore! I metrika je skalar, vrijednost je ista. Brisanje!

Bez brisanja. Pa jasno kažem – pravilo računice. Za sve vektore. I sama specifična vrijednost, koja se također naziva metrikom, izračunava se prema ovom pravilu samo za jedan vektor, pomak. Mova naš zvichny na vílnosti, zamovchuvan, skorochen ... Axis i pozvao me da pozovem metriku i skalare i pravilo yogo izračuna. Istina, oni mogu biti jedno te isto. Mayzhe, ali ne zovemo. Važno je, međutim, izbalansirati razliku između pravila i rezultata, mi ćemo to uzeti u pomoć. I što je važnije - pravilo ili rezultat? Nije iznenađujuće, u ovom slučaju pravilo ... Zato je često bogatije geometrijom i fizikom, ako govorimo o metrici, to je samo pravilo. No, na matematičarima je da kraće govore o rezultatu. Í tsomu ê razlozi, ali o njima na drugom mjestu.

Također bih želio pokazati da se s zvjezdanijim načinom oblaganja, ako se koncepti vektorskih prostora uzmu kao osnova, metrika uvodi kao skalarni par twir svih vektora u bazi, mjerilo. Na taj je način skalarni dobutok vektor u maju buti postavljen kao prekretnica. I usput, kao što sam ovdje pratio, sama prisutnost metričkog tenzora u prostoru omogućuje vam da uvedete, odredite skalarni dobutok vektora. Ovdje je metrika primarna, njezina prisutnost omogućuje vam da uvedete skalarni twír, poput invarijante koja povezuje dva različita vektora. Ako se uz pomoć metrike računa skalar za jedan te isti vektor, onda je to samo još jedna norma. Ako se ovaj skalar izračunava za dva različita vektora, onda su svi skalarni dodaci. Budući da je to norma beskonačno malog vektora, tada je potpuno dopušteno nazvati ga jednostavno metrikom u danoj točki.

Što možemo reći o metrici kao pravilu? Ovdje se događa da koristimo formule. Neka su koordinate osi s brojem i dodijeljene kao x i. Pomak od zadanih bodova do terena dx i. Kunem vam se - koordinate NISU vektor! A pomak je vektor! Za takva značenja, metrička "udaljenost" između središnje točke i točke održavanja, očito do Pitagorinog poučka, izračunat će se za dodatnu formulu

ds 2 = g ik dx i dx k

Zlo je ovdje kvadrat metričke "širine" između točaka, "koordinata" (to jest, prema rubu kože koordinatne crte) između njih dana je vektorom pomaka dx i. S desne strane, zbroj padajućih indeksa svih uparenih tvorbi vektorskih komponenti zamijenjen je odgovarajućim koeficijentima. A njegova tablica, matrica koeficijenata g ik, koja postavlja pravilo za izračunavanje metričke norme, naziva se metrički tenzor. Sam tenzor se u većini slučajeva naziva metrikom. Izraz "" ovdje je jako važan. Í znači on, da će u drugom koordinatnom sustavu formula biti napisana vjerojatnije da će biti ista, samo će tablica sadržavati druge (u zaokruženom obliku) koeficijente, koji se izračunavaju na strogo određen način preko brojeva koeficijenata transformacije koordinata. Za Euklida je karakteristično da je u Kartezijevim koordinatama oblik ovog tenzora superprost i jedan te isti u svim Kartezijevim koordinatama. Matrica g ik može sadržavati samo jedinice na dijagonali (za i = k), a ostali brojevi su nula. Ako u euklidskom prostoru nema Kartezijevih koordinata, tada matrica u njima neće izgledati tako jednostavno.

Kasnije smo zapisali pravilo koje definira metričku "udaljenost" između dvije točke u euklidskom prostoru. Ovo pravilo je napisano za dvije točke koje su uvijek blizu. U euklidskom prostoru, na način da metrički tenzor može biti dijagonalan s jedinicama na dijagonali u realnom koordinatnom sustavu u kožnoj točki, nema temeljne razlike između konačnih i beskonačno malih vektora zsuvu. Ale us more tsíkavit vipadok rímanov prostranstva (kao što je površina kuli, na primjer), de tsya ríznitsya ístotna. Dakle, priznajemo da metrički tenzor u zagalnoj kapi nije dijagonalan i mijenja se kada se kreće od točke do točke u prostoru. Ali rezultat ovog zastosuvannya, ds 2, preplavljen je izborom u točki kože neovisno o izboru izravne veze sa samom točkom. Tse zhorstku umova (manje zhorstka, nizh umova Euklidski) i u isto vrijeme vikonanní prostranstvo i poziv rímanovo.

Vi ste pjevajući uzvratili svoje poštovanje, da još češće uzimam riječi "dovzhina" i "dovzhina" u svoje šape. Zazirem od ove osovine. Štoviše, uvedena je da formalizira rad s rezultatima simulacija. Ne, smrad deshcho ja sam lišen, ali oni koji su bili lišeni prestali su biti dijete (u obliku djeteta).

Pretpostavljam - metrički "vídstan" ne može se pohraniti u izboru kartezijanskih (i ne samo) koordinata, recimo, na lučnom papiru. Idemo u istim koordinatama, ako možete pronaći između dvije točke na koordinatnoj osi 10. Možete li odrediti druge koordinate, na kojim će mjestima između samih dviju točaka biti 1? Nema problema. Samo stavite u istu jedinicu, od samih istih osi, novu jedinicu, jednaku 10 ispred. Koliko se promijenio euklidski prostor? Što je desno? A desno, u tome, ako možemo pobijediti, nije nam dovoljno znati broj. Moramo znati više, ako ste jedini koji su odlučili preuzeti broj. Matematika u zvichniy sogodní svi oblici tsim ne skviče. Vaughn može biti u pravu samo s brojevima. Izbor biti sam, vimiryuvannya zrobleny na zastosuvannya matematiku i zmínyuvatis više nije kriv! Ale naša pamet, ne govorite nam ništa bez izjave o mjerilu! Ali matematika je ista. Ako se jezik odnosi na metriku "vídstaní", ona formalno zastosuvannya baiduzhe do izbora razmjera. Vruć metar, vruća čađa. Važne su samo brojke. Os toga stavljam šape. Znate li kakva nuspojava može biti takav pidkhid u matematici rimskog prostora? A os je jak. Nije moguće vidjeti promjenu mjerila od točke do točke. Samo izravno promijenite jogu. Pa iako je promjena mjerila za dodatne transformacije koordinata u takvoj geometriji cijela svakodnevica. Što se može uključiti u geometriju posljednjeg pregleda moći mjerila u svima njima? Moguće je, moguće je. samo za koje je moguće pospremiti bezlične usluge i naviknuti se da govore nazivaju vlastitim, ispravnim imenima. Jedan od prvih koraka bit će svjestan činjenice da se nijedna metrika zapravo ne može koristiti. Vaughn, ludo, maê pjevati fizički zmíst, tako puno više poštovanja. Ale ínshiy.

Kod fizičara, poštovanje uloge metrike stečeno je pojavom teorije održivosti - malo posebne, zatim zagalne, u kojoj je metrika postala središnja struktura teorije. Posebna teorija opstojnosti formulirana je na temelju činjenice da trivimerly nije skalar sa stajališta ukupnosti inercije, da se jednako i pravocrtno fizički sustavi urušavaju jedan po jedan. Skalar, invarijanta, bila je druga vrijednost, koja se zvala interval. Razmak između podija. Í za izračun ove vrijednosti, potrebno je vrahuvati i razmak od sat vremena između ovih mahuna. Više od toga, pokazalo se da je pravilo izračunavanja metrike (i interval koji se opet vidi u kvaliteti metrike u ujedinjenom prostoru-satu, prostoru podjela) slično zvučnom Euklidu u trivi- svjetski prostor. Izgleda malo više. Vidpovidne metrički prostor Herman Minkovski, Počeli su dozivati. Poštovanje fizičara, uključujući Einsteina, okrenulo je samog robota Mankivskog prema važnosti razumijevanja metrike kao fizičke veličine, a ne samo matematičke.

Zagalna teorija vidljivosti uključila je u pregled ubrzanog još jedan fizički sustav u pogledu. Ja bih, u takvom rangu, mogao dati opis gravitacijskih pojava u novim razmjerima Newtonovoj teoriji. Mogao sam posegnuti izvan pomoći osjetila fizičkog polja do same metrike - veličine i pravila, metričkog tenzora. U isto vrijeme, matematička konstrukcija Rimanovljevog prostora je kao slika prostora-sata. Nećemo ići predaleko u detalje ove teorije. Krím ugogo ínshgo, tsya teorija stverdzhuê, shko svít (prostor-sat), u čemu ê masivna tijela, tako da se tijela privlače jedno na jedno, maê metrički vídmínnu víd nastílki priemnoí̈ nas evklídovoí̈ metrike. Sve prostorije ispod tvrdoće ekvivalentne su:

Fizička tvrdoća. Točkice tijela koje čine masu privlače se jedna prema jedna.

U prostornim satima, u tako masivnom tijelu, nije moguće svugdje uvesti jednostavnu pravocrtnu mrežu. Ne postoje takvi vimiruvalnyh priladív, yakí dopuštaju tse robiti. Sigurno, kao i uvijek, "isječci" dobivene mreže bit će iskrivljeni chotirikutnik.

Možete odabrati ljestvicu s jednom te istom vrijednošću (normom) za cijeli prostor-sat. Ako se takva ljestvica može pomaknuti s prve točke na drugu točku i izjednačiti s već tamo postojećom. PIVO! Navít yakscho zsuv neumoljivo male, ravne linije na vagi u divljini neće zbígatisya. Tim je jači, što je vaga bliže tijelu, to je masa moćnija i sama masa veća. Samo tu nema mase (iako vam je os hrana - ali što je sa samom vagom?) One će ići ravno.

U polju prostor-vremena, koje avenije masivna tijela nemaju takav koordinatni sustav, u metričkom tenzoru u kožnoj točki prikaza matricom, posvuda nula, krim dijagonale, na kojima postoje jedinice.

Vidministička metrika u obliku euklidske ê manifestacije očitovanja gravitacijskog polja (polja gravitacije). Štoviše, polje metričkog tenzora je gravitacijsko polje.

Bilo bi moguće dovesti više takvih uporišta, ali bih u isto vrijeme želio vratiti vaše poštovanje prema ostalima. Zakrivljenost. Tse schos, scho još nismo razgovarali. Yake vídnoshennia van maê to metritsí? Iza velikog rakhunoka - nitko! ê razumjeti više o nižoj metrici. U kojem smislu?

Obitelj rimskog prostora, koja uključuje euklidski prostor, sama je dio veće obitelji. Cí prostor, vzagalí naizgled, ne marite za utjecaj takve vrijednosti, kao što je metrika, za točku klađenja vaše kože. Zatim, za potrebnu snagu, postoji temelj dviju drugih struktura, povezanih jedna po jedna - afine veze i zakrivljenosti. Samo s pjevanjem umova na zakrivljenosti (ili zv'yaznist), u takvim prostranstvima postoji metrika. Todí tsí prostor i nazovi Rímanovo. Bilo to Riemannova prostranstva, zv'yaznist i zakrivljenost. Ale ne iz vedra neba.

Ali nije moguće reći da je metrika sekundarna u smislu zrelosti u odnosu na glatkost ili zakrivljenost. Ni. Osnova metrike je izjava o snazi ​​karike, a time i zakrivljenosti. U standardnom tumačenju opće relativnosti, metrika se smatra važnijom, budući da uspostavlja oblik teorije, strukturu. Afina povezanost i zakrivljenost pojavljuju se u slučaju čega su sekundarne, slične vrste metrike. Ovo tumačenje postavio je Einstein, u tim satima, ako matematika još nije zamislila doseći napredno i posljedično razumijevanje hijerarhije izvan razine važnosti struktura, oni označavaju moć obitelji prostora, koji vode do euklidskog . Već nakon stvaranja GR aparata, ponajprije od strane Weila i Schoutena (očito ne samih), matematika je bila fragmentirana na otvorenim prostorima atenske koherencije. Vlasne, robota je potaknula pojava opće relativnosti. Poput Bachitea, kanonsko tumačenje važnosti struktura u općoj teoriji relativnosti ne odudara od modernog pogleda matematike na njihov odnos. Tsya kanonska interpretacija nije ništa drugo, kao poistovjećivanje drugih matematičkih struktura s fizičkim poljima. Nadannya í̈m fizički osjećaj.

U općoj teoriji relativnosti postoje dva plana za opisivanje svemirskog sata. Prvi od njih je sam prostor-čas, poput prostranstva podzemlja. Podíí̈, bezperervnyayut je li područje prostor-vrijeme karakterizirano dodatnim koordinatama. Također, uvode se i koordinatni sustavi. Sam naziv teorije naglašava poštovanje prema sebi na tsoma - zakonima prirode, može se u takvom prostoru-sat treba formulirati međutim, bilo koji dopušteni sustav koordinata. Tsya bi se mogla nazvati načelom globalne vidljivosti. Značajno je da ovaj plan teorije ne govori ništa o prisutnosti metrike u prostor-satima, već daje osnovu za uspostavljanje nove afine veze (zajedno s zakrivljenošću i drugim sličnim matematičkim strukturama). Naravno, već na ovoj razini postoji potreba da se matematičkim objektima teorije da fizička senzacija. Osovina vina Točka na satu prikazuje dno, s jedne strane karakterizirana je stanicom i trenutkom sata, s druge - koordinatama. Kako je divno? Hiba nije ista? Ali nema osi. U općoj teoriji relativnosti oni nisu isti. Koordinate najzloglasnijih vrsta, dopuštenih u teoriji, ne mogu se tumačiti kao položaj i trenutak sata. Takva mogućnost postulirana je samo za užu skupinu koordinata - lokalno inercijalnih, koje se mogu naći samo u blizini kožne točke, ali ne iu cijelom području koje pokriva okovani sustav koordinate. Još jedan postulat teorije. Evo takvog hibrida. Sam ću se pobrinuti da ovdje ima puno OTO problema, ali neću se njima baviti odjednom uz dopuštenje.

Drugim planom teorije moguće je uzeti u obzir onaj dio postulata, kao uvesti u pogled na prostorne sate fizičkog bića - gravitaciju, koja međusobno privlači masivna tijela. Tvrdi se da se ovaj fizički fenomen može obuzdati za pjevačke umove jednostavnim izborom održivog sustava na sličan način, koji je i sam lokalno inercijalan. Za sva tijela koja još uvijek mogu biti ubrzana (slobodni pad) nakon prisutnosti u malom području gravitacijskog polja udaljenog masivnog tijela, to se polje ne opaža u trenutnom sustavu u daljini. Formalno, postulati završavaju na ovome, ali zapravo se osnovna razina teorije, kao i uvođenje metrike, također može dovesti do postulata, i kao matematičko učvršćivanje, i kao fizikalno. Iako ne želim ulaziti u detalje ekvalizacije (zapravo, ekvilizacijskih sustava), ali svejedno, strašno je majko jogo pred očima:

R ik \u003d -c (T ik - 1/2 T g ik)

Ovdje je vrijedan naziv Ricci tenzora, jednostavnog nabora (kombinacija skladišnih komponenti) tenzora ukupne zakrivljenosti. S punim pravom, nju možemo nazvati i zakrivljenošću. S desne strane je konstrukcija tenzora impulsa energije (ovo je fizikalna veličina u općoj teoriji relativnosti, jednina za masivna tijela i svemir za prostor-sat, kao za impuls energije u ovoj teoriji, samo trošenje) i metrika Štoviše, metrički tsya, kao skalarna veličina, viroblen je metričkim tenzorom, ali je isti za sve točke regije. Više ê razmírna brzo s, proporcionalno gravitacijskom brzom. S ove razine jasno je da se iza velike rahunke uspostavlja zakrivljenost s energetskim impulsom i metrikom. Fizička senzorna metrika pripisuje se GR-u već nakon što je donesena odluka ovih jednakih. Oskílki u tsomu rješenju koeficijenata metrike povezani su s linearnim potencijalom gravitacijskog polja (izračunatim kroz novi), zatim s metričkim tenzorom i pripisuje se senzoru potencijalnog polja. S takvim pristupom, sličan osjećaj je krivnja majke i zakrivljenosti. A afina veza se tumači kao snaga polja. Tumačenje nije točno, oprostite zbog paradoksa u tumačenju koordinata, koji je već spomenut gore. Naravno, za teoriju, to ne prolazi bez traga i očituje se u nizu dobronamjernih problema (nelokalizacija energije gravitacijskog polja, interpretacija singulariteta), koji, kada se doda ispravan fizički osjećaj geometrijskim vrijednostima, jednostavno se ne može kriviti. Navodno, o svemu se govori u knjizi "".

Međutim, u općoj teoriji relativnosti, metrika je mimička, zločin osjeta koji joj se nameće dio po dio, postoji samo jedna fizička razlika. Pogodite što karakterizira metriku u smislu euklidskog prostora? Još jedna važna stvar za život u prostornim satima je mogućnost uvođenja jorstke u ovaj prostor, ravnomjerno ispunjavajući cijelo područje pravocrtnom koordinatnom mrežom. Qiu mreža se u fizici naziva inercijskim sustavom promatranja. Takav referentni sustav (koordinatni sustav) podržava jedan i samo jedan standardni oblik metričkog tenzora. U sustavima vídlíku, prilično se urušava shdo ínertíalníy, tip metričkog tenzora vídmínniy víd standard. S fizičkog gledišta, uloga "sitka da vidi" je dovoljna da se vidi. Ako imate čvrsto tijelo za gledanje, čija je točka kože sigurna s istim godinama, u satu, tada će također ostvariti takvu mrežu. Za prazno prostranstvo, jednostavno domislyuêmo takvo tijelo za vídlíku, osiguravajući jogu (ekspanziju) s točno istom metrikom. U tako razumnom, metričkom tenzoru, u obliku standardnog euklidskog, čini se da je sustav opažanja (koordinata) inspiriran pomoću nečvrstog tijela, a, možda, i godišnjak može ići u drugačiji način u njezinim točkama. Što želim reći tsim? I što onda metrički tenzor je matematički poredak nekih od najvažnijih potencija sustava za nas. Mirne snage, kao apsolutni rang, karakteriziraju strukturu samog sustava u vidlíku, omogućuju vam da označite, koliko neće "garne", koliko izgledaju kao ideal - inercijski sustav. Os opće relativnosti i metrički tenzor jednaki su takvoj slici. jak slika varijabilnih spojeva, koja je podijeljena u području reperne vrijednosti, može mijenjati svoju orijentaciju od točke do točke, ali može biti posvuda ista norma, koja je zajednička za sve vektore reperne vrijednosti.. Mjerni podatak koji se promatra kao skalar i predstavlja normu, vrijednost na ljestvici. Metrika vam, poput tenzora, omogućuje da vidite više Vídnosni Rukh jedna za jednu od svih vaga, koja je presavijena da stane. Í OTO opisuje takvu situaciju, ako je u prostor-vremenu moguće matirati takvo tijelo, ono je stvarnije ili očitije.

Ovaj pogled na metriku je suludo točan. Štoviše, vino je i produktivno, oskolki još jednom iskazuju poštovanje prema onome što su izgubili u OTO milosti. Zapravo, dopustili smo sustavu da varira ovisno o mjerilu, u različitim točkama, mogu biti orijentirani na drugačiji način (u chotirivimir svijetu, orijentacija uključuje isto i ruh). Pa ipak, ostaje vidjeti da je deak apsolutna karakteristika ljestvice, ali je norma (interval) ostala ista. Kasnije, uostalom, čvrstoća OTO-a, koju je potrebno prije gledanja svih mogućih sustava, bila je površna. Chi nije tako nečuveno, vidljivost u ovoj teoriji.

© Gavryu V.G.
Objavljeni materijali na stranici mogu se citirati prema dotrimanim pravilima citiranja.

Jedna od najvažnijih analiza je prelazak granice. Osnova ove operacije leži u činjenici da se na brojevnom pravcu pridružuje jedna točka drugoj. Mnoge temeljne činjenice analize nisu povezane s algebrom po prirodi stvarnih brojeva (tj. zato što smrad čini polje), već spiralno izlaze iz razumijevanja. Uzagalnyuyuchi govoreći o stvarnim brojevima kao o neosobnim, u kojima se uvodi između elemenata, dolazimo do razumijevanja metričkog prostora - jednog od najvažnijih za razumijevanje moderne matematike.

metrički prostran nazvao par (X, r),što ide u akciju bezličan(Prostor) X elementi(točka) i vídstaní, tj. nenegativnu realnu funkciju r(x, y), pjevanje za be-yakah xі na h x i podredjen sljedeća tri aksioma:

1) r (x, y)= 0 čak i ako samo x = y,

2) r(x, y) = r(y, x)(Aksiom simetrije),

3) r(x, z)≤ r (x, y)+ r(y,r)(Aksiom trikutnika).

Isti metrički prostor, tj. par (X, p), mislit ćemo, u pravilu, na jedno slovo:

R = (X, p).

U vipadkama, ako je nerazumljivo isključeno, često ćemo označiti metrički prostor istim simbolom kao i samu "rezervu bodova". x.

Primijenimo metričke prostore. Neki od tih prostora igraju važnu ulogu u analizi.

1. Poklavshi za elemente prilično bezličan

uzimamo, očito, metrički prostor. Jogu možemo nazvati prostranstvom izoliranih točaka.

2. Višestrukost realnih brojeva iz standarda

p(x, y) = | x - y |

uspostaviti metrički prostor R 1 .

3. Anonimno naručivanje skupova P realni brojevi iz standarda

nazvao P-mirni aritmetički euklidski prostor Rn.

4. Pogledajmo iste bezlične skupove P realni brojevi

Valjanost aksioma 1) -3) ovdje je očita. Značajno metričko proširenje simbola Rn 1 .

5. Dopustite mi da obnovim iste bezlične stvari koje se nalaze u kundacima 3 i 4, a značajne su između elemenata formule

Valjanost aksioma 1) -3) je očita. Tse prostranstvo, koje mi znači Rn¥ u bogatoj nutricionističkoj analizi nije manje zgodan, niže euklidsko prostranstvo Rn.

Ostala tri kundaka pokazuju da su ponekad i upravo bitno različiti za najveći metrički prostor i za bezličnu točku, tako da se jedna te ista zališna točka može različito mjeriti.

6. Bezlich W sve nestalne funkcionalne funkcije dodijeljene namotu Iz daljine

također uspostaviti metrički prostor. Aksiomi 1) -3) se neselektivno petljaju. Ovaj prostor ima važnu ulogu u analizi. Istim simbolom označit ćemo i yogo W Ono što je najbezličnija točka ovog prostora.

7. Pogledajmo, kao u stražnjici 6, slijed svih funkcija, bez prekida za oko IZ, ale vídstan ínznačajno ínakshe, ali as, míž dr

Takav metrički prostor ćemo značiti W 2 i ime prostranstvo neprekinutih funkcija s kvadratnom metrikom.

Prije Rímana, Lobačevskog, Einsteina i drugih drugova, geometrija se sastojala od ravnina, nevidljivih točaka i ravnih linija koje nisu bile odsječene u suprotnom smjeru. Iznad ravnog trivimera svjetlo, ponosno glavni sat, doživljavamo kao proces, kvantiziran radi otkucaja srca i zveketa godine. Sve je glasno, jednostavno, razumno, snažno, tri koordinate u prostoru se mogu sigurno odrediti - samo malo zakucajte.

Kraj idila došao je s pojavom matematičara, yakí doslídzhuyut na vrhu pera bogata prostranstva. Smrad je bio sklopivi, bogato koordinirani objekti i sustavi, neshvatljivi ljudskom oku i razumljivi, na primjer, poznata chotirivimirny kocka, Mobiusova linija i više. Korak po korak, navedeno je da se prividno prostranstvo neobov'yazkovo može saviti iz ravnih i ravnih linija s procesnim satom, može se saviti, na primjer, iz ravnog lista nepravilnog oblika savijenog u cijev, štoviše. , sat je dvostruka os, nacrtana u središtu cijevi. Točka je postavljena u takvom "neispravnom" prostranstvu, ali ono već nema tri nama poznate koordinate, tako da im vožnja u kilogramu ne može pomoći da umru. Položaj zadane točke u neeuklidskom prostoru bit će potrebno prikazati u vizualnom nizu brojeva koji se stalno mijenja prema postojećim pravilima. Sama pravila u vigadanomi kože su njihova vlastita. Takav niz brojeva naziva se tenzor, on uzima podatke o točkama prostora približno na isti način, na koji se slika slika u igri "slika cvijeća": duljina smicanja kože je vektor, koji je prikazan na točki prema jednoj od koordinata, koje su prikazane danas, pojedinačne i neponavljajuće.

Tenzori su sklopivi objekti, ali imaju jedan veliki prostor - tenzor poput niza vektorskih nizova može se "prekrižiti" označavanjem matrice tenzora - tablice dva svijeta, u kojoj je zamjena najvećih brojeva formula koja opisuje pravila ove transformacije. Matrica je jednostavan objekt, operacije s nekom vrstom dobrote razvijene su prije više od jednog stoljeća. Počele su jačati glave matematičarima, iznositi najsofisticiranije formule, stvarati tenzore za same točke nedokučivih prostranstava. Najjednostavniji tenzori, koji su opisani s dovoljnom točnošću, a mi ih možemo prihvatiti s dovoljnom točnošću, su trodimenzionalni euklidski prostor i sat-proces. IH matrice i nazivaju se metrike.

Nadal je došlo do saznanja da je, zbog jakosti gustoće koju je Einstein uzeo kao osnovu, metrika Minkovskog postala neprihvatljiva u vakuumu na luku velikih udaljenosti između točaka, ili na luku visokih pokazatelja gravitacije. interakcija. Opet su radile glave matematičara, već u sprezi s fizičarima, kao da se šale s eksperimentalnim potvrđivanjem teorija. Tako se, na primjer, pojavila Schwarzschildova metrika, kao da opisuje naš svijet množenjem matrica tenzora u dvosvjetnoj kvadratnoj ravnini i dvosvjetnoj sferi (postoji dobro poznati krug, ali možete vidjeti cijeli prostranstvo). Schwarzschildova metrika omogućila je opisivanje zašto mi sami, a ne inače, percipiramo kretanje objekata nebeske sfere. Sat u níy je konstantna vrijednost (!), koja se uvodi u kožu brojanice, a kada vidite točku na posterigaču, to je zapravo vektor, koji daje opis duljine prostora (-sat ) između dva predmeta, alepodia.

Glavni funkcionalni prostor

predavanje 5

Jedna od najvažnijih analiza je prelazak granice. Osnova ove operacije leži u činjenici da se na brojevnom pravcu pridružuje jedna točka drugoj. Mnoge temeljne činjenice analize nisu povezane s algebrom po prirodi stvarnih brojeva (tj. zato što smrad čini polje), već spiralno izlaze iz razumijevanja. Uzagalnyuyuchi govoreći o stvarnim brojevima kao o neosobnim, u kojima se uvodi između elemenata, dolazimo do razumijevanja metričkog prostora - jednog od najvažnijih za razumijevanje moderne matematike.

Ugovoreni sastanak.

Par se naziva metrički prostor (X, p). x elementi (točka) i vidstani, tj. jednoznačna, nenegativna, djelotvorna funkcija p(x, y), Određen za be-jekat xі g h x i podređen nadolazećim aksiomima;

1. ρ (x, y) ≥ 0 za sve x, y,

2. ρ (x, y) = 0 tada, i samo jednom, ako x = y,

3. ρ(x, y) = ρ(y, x)(Aksiom simetrije),

4. ρ (x, z) £ ρ (x, y) + ρ (y, z)(Aksiom trikutnika).

Isti metrički prostor, tj. par (X, p), Označit ćemo, u pravilu, jedno slovo R = (X, p).

U vipadkama, ako je nerazumljivo isključeno, često ćemo označiti metrički prostor istim simbolom kao i samu "rezervu bodova". x.

Primijenimo metričke prostore. Deyakí z tsikh prostranstva igraju važnu ulogu u analizi.

1. Poklavshi za elemente prilično bezličan

uzimamo, očito, metrički prostor. Jogu možemo nazvati prostranstvom izoliranih točaka.

2. Višestrukost realnih brojeva iz standarda

uspostaviti metrički prostor R1.

3. Anonimne grupe za naručivanje n realni brojevi x = (X 1, ..., x n) Iz daljine

nazvao n-mirni aritmetički euklidski prostor R n. Pravednost aksioma 1) - 3) za R n očito. Pokažimo to u R n Vikonan i aksiom trikutnika.

dođi x = (x 1, ..., x n), y = (y 1, ..., y n),

z = (z 1, ..., z n);

onda je aksiom trikstera zapisan od strane gledatelja

Vvahayuchi, otrimuemo, a neravnine (2) poprimaju bilo koji oblik

Pa ipak, nervoza se odmah vidi iz prividne nervoze Kosh-Bunyakovskog

Stvarno, zbog ove nervoze, moguće je

nerívníst (3), a također i í (2), koje je on donio.

4. Pogledajmo iste bezlične uređene grupe n brojevi dana x = (x 1, ..., x n) ali neka bude značajan u novoj formuli

Ovdje je valjanost aksioma očita.

Menadžer. Donesite aksiom 4.

Značajno metričko proširenje simbola.

5. Dopustite mi da obnovim iste bezlične stvari koje se nalaze u kundacima 3 i 4, a značajne su između elemenata formule

Valjanost aksioma 1) - 3) je očita.

Menadžer. Donesite aksiom 4.

Ovo prostranstvo, koje je za nas značajno, za bogate izvore analize nije manje zgodno, donje euklidsko prostranstvo R n.

Ostala tri kundaka pokazuju da su ponekad i upravo bitno različiti za najveći metrički prostor i za bezličnu točku, tako da se jedna te ista zališna točka može različito mjeriti.

6. Bezlich C sve nestalne funkcionalne funkcije dodijeljene segmentu , Tri puta dnevno

također uspostaviti metrički prostor. Aksiomi 1) - 3) ponovno se razmatraju bez posrednika.

Menadžer. Donesite aksiom 4.

Ovaj prostor ima važnu ulogu u analizi. Istim simbolom označit ćemo i yogo C Ono što je najbezličnija točka ovog prostora. zamjenik C pisat ćemo jednostavno W.

7. Značajno kroz l 2 metričko prostranstvo, čije točke služe kao sve sukcesije x = (x 1, ..., x n, ...) pravi brojevi koji gode umu,

i vídstan vyznaêtsya formula

Iz elementarne neravnine vidljivo je da funkcija p(x, y) maê smisla za sve konvergirati, kao

Pokažimo sada da funkcija (8) zadovoljava aksiome metričkog prostora. Aksiomi 1) - 3) su očiti, a aksiom trikutnika ovdje ima oblik

Na temelju onoga što je gore rečeno, tri retka pisanja ovdje se spajaju. S druge strane, na koži n s pravom neravnomjeran

(Div. Kundak 4). Prolazeći ovuda do granice na n®∞ otrimuemo (8), tako da neravnine triko in l 2.

8. Pogledajmo, kao u zadnjici 6, redoslijed svih funkcija, bez prekida .

Takav metrički prostor ćemo značiti Z 2 i nazvati ga prostorom neprekinutih funkcija s kvadratnom metrikom. Ovdje su svi aksiomi metričkog prostora očiti, a aksiom trikutnika bez sredine trešti iz integralnog oblika neravnine Cauchy-Bunjakovskog.

9. Pogledajmo bezličnost svih podnizova x = (x 1, ..., x n, ...) realnih brojeva.

uzimamo metrički prostor, jer je značajan m. Valjanost aksioma je očita.

10. Anonimne grupe za naručivanje n realni brojevi iz standarda

de R- da li postoji fiksni broj ≥ 1 , To je metrički prostor, jer je značajan.

Vratimo se na aksiom 4.

dođi x = (x 1, ..., x n), y = (y 1, ..., y n), z = (z 1, ..., z n).

Idemo, čak i nerívníst

uspostaviti pravdu za koga sam kriv, vidjet ću

Tse je ime Minkovskyjeve nervoze. na p=1 Minkowskijeva neravnomjernost je očita (zbroj modula ne prelazi zbroj modula), uzet će se u obzir da p > 1.

Dokaz neravnine (13) sa p > 1 na temelju takozvane Hölderove nervoze

de brojevi p > 1і q > 1 vezan umom

Poštujemo da je neravnina (14) ista. Tse znači da je u redu za dva vektora a = (a 1, ..., a n),і b = (b 1, ..., b n), onda vono vikonano i za vector_v λaі μb, de λ і μ - priličan broj. Tome nerívníst (14) završiti donijeti za vipadku, ako

Oče, neka Vikonan Umov (16); javite nam to

Pogledajmo trg (ξ,η) krivo, kao da su jednaki η = ξp -1 (ξ> 0), Abo, što su isti, jednaki ξp -1 (η> 0)(Sl. 1). Iz malenog je jasno da pri svakom izboru pozitivnih vrijednosti aі b htjeti S 1 + S 2 > ab. prebrojivo područje S1і S2:

U takvom je rangu brojčana nedosljednost opravdana

zamjena ovdje a na | A k |і b na | B k | i pídsumovuyuchi na k od 1 do n, Otrimaêmo, vrakhovuchi (15) i (16),

Nerívnístí (17), i, kasnije, í zagalne írívnístí (14) donio.

na p = 2 Nerívníst Hölder (14) pretvaraju se u Nerívníst Koshi - Bunyakovsky (4).

Sada prijeđimo na donošenje nervoze Minkovskog. Za koje možemo vidjeti istovjetnost

Zamjena istovjetnosti u napisanom a na a kі b na b k i pídsumovuyuchi na k pogled 1 prije n poduzete

Zastosovuchi sada do kože za dva iznosa, stajati desnom rukom, Gelderova nervoza i vrakhovuuchi, tako (P - 1) q = str, Dobiti x (t), uzeti

Na taj je način otkrivena formula (18) lp, Deisno maê sens za be-yakah. Noćna neravnomjernost (19) pokazuje da in lp vikonana axiom trikutnik. Reshta aksiomi su očiti.

Pregršt udaljenih kundaka nije okružen ofenzivnim prijemom. dođi R = (X, p)- metrički prostor i M- biti multiplikator u x. također M s istom funkcijom p(x, y), Yaku mi vvazhaemo sada pjeva za xі na h M, Tezh ê metrički prostor; naziva se potprostor prostora R.