Nuo auktoriteetit ovat väistämättömän suuria. Nimetty vääjäämättömän hienoksi sarjaksi

30.07.2020

Laskee äärettömän pienet ja suuret

Laskeminen äärettömän pieni- laskenta, joka on laskettu äärettömän pienillä arvoilla, jollekin huonolle tulokselle se hyväksytään äärettömän pienten äärettömänä summana. Äärettömän pienten määrien laskenta є syvä ymmärrys differentiaali- ja integraalilaskutoimituksiin, jotka muodostavat modernin korkeamman matematiikan perustan. Äärettömän pienen suuruuden käsite liittyy läheisesti rajan ymmärtämiseen.

Järjettömän pieni

Järjestys a n olla nimeltään äärettömän pieni yakscho. Esimerkiksi numerosarja on äärettömän pieni.

Funktiota kutsutaan äärettömän pieni pisteen laitamilla x 0, niin .

Funktiota kutsutaan äärettömän pieni äärettömän pienellä, Kuten tai .

Se on myös äärettömän pieni funktio, joka on funktion ja її ero, joten , sitten f(x) − a = α( x) , .

Järjettömän suuri arvo

Järjestys a n olla nimeltään äärettömän hienoa, Kuten .

Funktiota kutsutaan äärettömän suuri pisteen laitamilla x 0, niin .

Funktiota kutsutaan väistämättömän suuri väistämättömyydestä, Kuten tai .

Kaikissa moodeissa oikeakätisen oikeakätisyys on vastaavuudesta johtuen laulumerkki (joko "plus" tai "miinus"). Tobto, esimerkiksi toiminto x synti x ei uskomattoman hyvä.

Äärettömän pienen ja äärettömän suuren voima

Äärimmäisen pienten määrien yhdistäminen

Kuinka yhdistää äärettömän pieniä määriä?
Äärettömän pienten arvojen asettaminen tekee siitä niin sanotun merkityksettömyyden.

Nimittäminen

Oletetaan, että meillä on є äärettömän pieni samalla arvolla α( x) ja β( x) (muuten, jos tarkoituksella ei ole merkitystä, sarja on äärettömän pieni).

Tällaisten välittäjien laskemiseen on helppo käyttää Lopital-sääntöä.

Käytä ottelua

Voittoihin Pro-Hyökkäämiseen voidaan kirjoittaa tulosten peruuttamisen symbolit x 5 = o(x 3). Tässä tapauksessa kirjat ovat oikeudenmukaisia 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

Vastaavat arvot

Nimittäminen

Yakscho, silloin kutsutaan äärettömän pieniä määriä α ja β vastaava ().
On selvää, että є:n ekvivalenttiarvoja kutsutaan useiksi äärettömän pieniksi arvoiksi, jotka ovat samaa suuruusluokkaa.

Seuraavien vastaavuussuhteiden oikeudenmukaisuudella: , , .

Lause

Kahden äärettömän pienen määrän yksityisen (näkyvä sininen) välistä rajaa ei voida muuttaa, joten toinen niistä (muuten loukkaava) tulisi korvata vastaavalla arvolla.

Tsya lause voidaan soveltaa arvoa, kun ero (div. Butt).

Butt vikoristannya

Vaihtaminen sin 2x vastaava arvo 2 x, me otamme

historiallinen piirros

Käsite "äärimmäisen pieni", josta keskusteltiin muinaisina aikoina epäjohdonmukaisten atomien käsitteen yhteydessä, ei tullut klassiseen matematiikkaan. Se syntyi uudelleen, kun 1500-luvulla ilmestyi "sopiva menetelmä" - valmiin hahmon murtuminen pienelle ristille.

1600-luvulla lukujen algebra oli äärettömän pieni. Haju alettiin nimetä numeeriseksi arvoksi, pienemmäksi arvoksi mille tahansa äärelliselle (ei-nollalle) arvolle, mutta se ei kuitenkaan ole yhtä suuri kuin nolla. Analyysitieteen piti olla taitettu spivvіdnoshennia, scho kostaa äärettömän pieni (erot), että buv - jooga integraatio.

Vanhan koulukunnan matemaatikot antoivat käsitteen uskomattoman pieni terävää kritiikkiä. Michel Roll kirjoitti, että uusi numero on " kokoelma loistavia anteeksipyyntöjä»; Voltaire kunnioittaen tarkasti, että se lasketaan laskennan tieteessä ja lasketaan tarkasti puheet, joiden perustaa ei voida tuoda esiin. Navit Huygens tiesi ymmärtävänsä korkeampien luokkien erojen merkityksen.

Ironiana voidaan katsoa vuosisadan epästandardin analyysin ilmenemistä, mikä tarkoittaa, että aamunkoiton ensisijainen piste - ei itse asiassa liian pieni - ei myöskään ole loistava ja sen voisi perustaa. analyysistä.

Div. myös

Wikimedia Foundation. 2010 .

Mieti, mikä on "uskomattoman hieno" muissa sanakirjoissa:

Y:n arvoa muutetaan, kääritään äärettömän pieneksi X:n arvoksi, joten Y = 1/X ... Suuri tietosanakirja

Y:n arvoa muutetaan, kääritään äärettömän pieneksi x:n arvoksi, joten y = 1/x. * * * NOPEASTI SUURI, ÄTTÖMÄTÖN SUURI, muuttuva Y-arvo, käänteinen äärettömän pieni X-arvo, sitten Y = 1/X… Ensyklopedinen sanakirja

Matematiikassa muutosarvosta tulee, kuten tietyssä muutosprosessissa, ja se täytetään absoluuttisella arvolla, joka on suurempi kuin mikä tahansa annettu luku etukäteen. Vivchenya Bi. b. koot voidaan pienentää äärettömän pienen rajaan. Suuri Radianska Encyclopedia

Oletus: Funktiota kutsutaan äärettömän pieni osoitteessa , yakscho .

Tietueessa "" myönnämme sen x0 voit ottaa sen kintseve-merkityksenä: x0= Const, niin ja nyljetön: x0= ∞.

Äärettömän pienten funktioiden voima:

1) Lopullisen luvun algebrallinen summa on äärettömän pieni funktiota kohden ja äärettömän pieni funktiota kohden.

2) Viimeisen luvun Dobutok äärettömän pieni funktiolle ja äärettömän pieni funktiolle.

3) Dobutok vaihtoi toimintoa äärettömän pienellä toiminnolla є äärettömän pienellä toiminnolla.

4) Yksityisesti rozpodіlu äärettömän pieni, jos toiminto on toiminto, jonka välillä vіdminna muodossa nolla, ja äärettömän pieni, jos toiminto.

peppu: Toiminto y = 2 + xє äärettömän pieni , koska .

Oletus: Funktiota kutsutaan äärettömän hienoa osoitteessa , yakscho .

Teho äärettömän mahtavia toimintoja:

1) Summa äärettömän suuri funktioille ja äärettömän suuri funktioille.

2) Twir on vääjäämättömän suuri, jos funktio funktion päälle, jonka välissä on vіdmіnna nollan muodossa, se on vääjäämättömän suuri funktion tapauksessa.

3) Summa on funktiolle vääjäämättömästi suuri ja rajattu funktio on ehtymätön suuri funktio.

4) Yksityisesti se oli äärettömän hieno funktiolle, joka on rajan loppu, se on äärettömän hieno funktiolle.

peppu: Toiminto y= є äärettömän hyvä , koska .

Lause.Yhteys äärettömän pienten ja äärettömän suurten magnitudien välillä. Jos funktio on äärettömän pieni kohdassa , niin funktio on äärettömän suuri kohdassa . Ensinnäkin, koska funktio on äärettömän suuri , niin funktio on äärettömän pieni .

Kahden äärettömän pienen syntymää pidetään symbolina, kahden äärettömän suuren syntymää - symbolina. Loukkaantunut sininen ja näkymätön tuossa mielessä, jota ja rajaa voidaan käyttää, ja іsnuvati, lisää kappaleiden määrää, mutta ei rajoitettu muodossa erityisiä toimintoja, kuten sisällytetään näkymätön puhe.

Merkityksen kerma näyttää olevan merkityksetön ja niin virazi:

Yhden kyltin hinta on äärettömän suurempi;

Tvіr äärettömän pienestä äärettömän suureen;

Suuntaviiva-askelfunktio, jonka perustana on pragne 1, ja indikaattori on enintään;

Show-step-funktio, jonka perusta on äärettömän pieni, ja showman on äärettömän suuri;

Show-state-funktio, jonka esitys perustuu siihen, että se on äärettömän pieni;

Show-state-toiminto, jonka perusta on äärettömän suuri ja showman äärettömän pieni.

Sanoa selvästi, että merkityksettömyyden paikka on olemassa. Välinimettyjen laskenta tsikh vipadkahissa avoimuus merkityksettömyydelle. Rajamerkin alla seisovan virazin merkityksettömyyden paljastamiseksi he muuttavat sen ilmeeksi, joka ei kosta merkityksettömyyttä.

Kun lasketaan vikaristien välistä voimaa, ja navigoi äärettömän pienten ja äärettömän suurten toimintojen voimaa.

Katsotaanpa eron laskemista.

1) . 2) .

4) , koska äärettömän pienen funktion lisääminen funktiota korvattaessa є äärettömän pieni.

5) . 6) .

7) = =

. Tässä tilanteessa merkityksettömyyden paikka tyypille on pieni, koska oli mahdollista avata avuksi rikkaasti artikuloitujen kertoimien järjestely, tuo lyhyys villiin kertojaan.

= .

Tässä tilanteessa tyypin merkityksettömyydelle on vähän tilaa, koska virazin numeron ja bannerin kertoimen, kaavan korvaaminen ja kaukana lyhyen murto-osan avulla saatiin selville. päällä (+1).

9)
. Tässä perässä bulan tyypin merkityksettömyyden paljasti numeron jäsenkohtainen jako ja murto-osan lippu yläasteella.

Upeat rajat

Pershan ihmeen raja : .

Tuominen. Katsotaanpa yhtä saraketta (kuva 3).

Kuva 3. Yksin Colo

Älä viitsi X– Keskikuteen säteittäinen lähestyminen MOA(), siis OA = R= 1, MK= synti x, AT=tg x. Porіvnyuyuchi neliö trikutnikov OMA, OTA tuolle sektorille OMA, Me otamme:

Jaetaan loput hermostuneisuudesta synniksi x, Me otamme:

Joten jakki, sitten yakistyu 5) välillä

Tähdet ja arvo on kääritty, koska se oli tarpeen tuoda.

merkintä: Tämä toiminto on silloin jopa pieni. , niin ensimmäinen ihme välillä voi näyttää:

Katsotaanpa ensimmäisen ihmeellisen rajan voittojen välistä laskelmaa.

Arvojen välistä hintaa laskettaessa laskettiin trigonometrinen kaava: .

Katsotaanpa toisen ihmeellisen rajan voittojen välistä laskelmaa.

2) .

3) . Tyypin kannalta on merkityksetön paikka. Zrobimo zaminu siis; osoitteessa .

Toiminto y=f(x) olla nimeltään äärettömän pieni klo x→a tai klo x→∞, kuten abo, thatto. äärettömän pieni funktio - ce-funktio, jonka välillä ts_y-pisteissä on nolla.

Käytä.

1. Toiminto f(x)=(x-1) 2 є äärettömän pieni x→1, sirpaleita (jako pieni).

2. Toiminto f(x)=tg x- äärettömän pieni x→0.

3. f(x)= log(1+ x) - äärettömän pieni x→0.

4. f(x) = 1/x- äärettömän pieni x→∞.

Haetaan tärkeämpää apua:

Lause. Mikä on toiminto y=f(x) edustava osoitteessa x→a kiinteän luvun summan nähdessään b tuo äärettömän pieni arvo α(x): f(x)=b+ α(x) nuo.

Takaisin, joo, sitten f(x)=b+α(x), de kirves)- äärettömän pieni x→a.

Tuominen.

1. Tuomme ensimmäisen osan kovetuksesta. Z rivnosti f(x)=b+α(x) Seuraava | f(x) - b | = | α|. Ale niin jakki kirves)- äärettömän pieni, niin riittävällä ε:lla on δ - pisteen lähialue a, ollenkaan x mille tahansa merkitykselle kirves) ole kiltti |α(x)|< ε. Todi |f(x) – b|< ε. Ja tse tarkoittaa mitä.

2. Yakscho, sitten mille tahansa ε:lle >0 kaikille X z deykoї δ - pisteen lähialue a tahtoa |f(x) – b|< ε. Voi kuinka merkittävää f(x) - b = a, sitten |α(x)|< ε ja tse tarkoittaa sitä a- uskomattoman pieni.

Katsotaanpa äärettömän pienten funktioiden päävoimaa.

Lause 1. Kahden, kolmen ja yhden viimeisen luvun algebrallinen summa on äärettömän pieni ja funktio on äärettömän pieni.

Tuominen. Antakaamme todiste kahdelle dodankіv. Älä viitsi f(x)=α(x)+β(x), de i . Meidän täytyy tuoda, scho kanssa tarpeeksi kuin pieni? > 0 löytyy δ> 0, minkä takia x, tyydyttämään hermostuneisuutta | x – a |<δ , voittaa |f(x)|< ε.

Lisäksi korjaamme melkoisen luvun ε > 0. Sirpaleet mentaalisen lauseen takana α(x)- äärettömän pieni funktio, onko sellaista sitten olemassa? > 0 mitä varten | x – a |< δ 1 majoneesia |α(x)|< ε / 2. Samoin kampasimpukat β(x)- äärettömän pieni, silloin on myös δ 2 > 0 mitä varten | x – a |< δ 2 ehkä | β(x)|< ε / 2.

Vіzmemo δ=min(δ1 , δ2 } . Todi pisteen laitamilla a säde δ voittaa ihon ärtyneisyys |α(x)|< ε / 2 että | β(x)|< ε / 2. Otzhe, tulevaisuuden laitamillasi

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tobto. |f(x)|< ε, joka oli tarpeen tuoda.

Lause 2. Dobutok äärettömän pieniä toimintoja kirves) vaihdettuun toimintoon f(x) klo x→a(muuten kun x→∞) on äärettömän pieni funktio.

Tuominen. Oskilki-toiminto f(x) fringed, sitten іsnuє kilkіst M niin mikä on tarkoitus x deyakoї pisteen laitamilta a|f(x)|≤M. Lisäksi sirpaleita kirves)- äärettömän pieni toiminto x→a, sitten riittävälle ε:lle > 0 löytyi pisteen ympäriltä a, jossa on levottomuutta |α(x)|< ε /M. Todі vähemmän s tsikh lähellä maєmo | αf|< ε /M= ε. Ja tse tarkoittaa sitä af- uskomattoman pieni. Vipadulle x→∞ Todistaminen suoritetaan samalla tavalla.

Seuraavat lauseet tuodaan esiin:

Viimeinen 1. Yakscho minä siis.

Viimeiset 2. Yakshcho i c= const, sitten .

Lause 3. Ehdotus äärettömän pienestä funktiosta α(x) toimintoa kohti f(x), jonka välissä näkyy nollasta, on äärettömän pieni funktio.

Tuominen. Älä viitsi. Todi 1 /f(x)є Toiminto on rajoitettu. Siksi drіb є tvіr neskіchenno ї malї ї ї ї ї ї ї ї ї zamezhenu FUNCTION, that. toiminto on äärettömän pieni.

Laskee äärettömän pienet ja suuret

Laskeminen äärettömän pieni- laskenta, joka on laskettu äärettömän pienillä arvoilla, jollekin huonolle tulokselle se hyväksytään äärettömän pienten äärettömänä summana. Äärettömän pienten suureiden laskenta on peruskäsite differentiaali- ja integraalilaskunnassa, jotka muodostavat modernin matematiikan perustan. Äärettömän pienen suuruuden käsite liittyy läheisesti rajan ymmärtämiseen.