Vstop

Cilindrične funkcije imenujemo rešitev linearne diferencialne enačbe drugačnega reda

de - kompleksne spremembe,

Parameter, ki se lahko uporablja za govorne ali kompleksne vrednosti.

Izraz "valjaste funkcije" pletenja pridelkov do svojih izletov v tovrstno opremo, ki (1) se razvija ob pogledu na regionalne ustanove, teorijo potenciala valjaste regije.

Za ime Besselovih funkcij so v literaturi navedeni posebni razredi cilindričnih funkcij, v nekaterih primerih pa so pripisani celotnemu razredu valjastih funkcij.

Teorija funkcij je dobro razčlenjena, videz predavalnih miz in široko območje stasosuvana služita kot zadostno sredstvo za približevanje cilindričnih funkcij najpomembnejšim posebnim funkcijam.

Rivnyannya Bessel winykє pіd ura znana rіshennya rіvnyannya Laplace in rіvnyannya Helmholtz na cilindričnih in sferičnih koordinatah. Ta funkcija Bessela bo stagnirala v primeru virusne prtljage o širjenju hwil, statični potencial je premajhen, na primer:

1) elektromagnetni hvily v cilindrični hvilevodі;

2) toplotna prevodnost pri valjastih predmetih;

3) nastanek tanke okrogle membrane;

4) likvidnost delcev v jeklenki, ki je shranjena s črto in ovita okoli svoje osi.

Besselove funkcije se na primer obtičejo na vrhu seznama pred uro obdelave signala.

Od vseh posebnih funkcij so najbolj razširjene Besselove cilindrične funkcije. Vonj številčnih dodatkov v vseh naravoslovnih in tehničnih vedah (zlasti v astronomiji, mehaniki in fiziki). Na nižjem koncu matematične fizike se razvijejo cilindrične funkcije, za katere je argument indeks (eden od teh in eden), dodajajo kompleksne vrednosti. Za numerično določanje takšnih projektov je potrebno razviti algoritme, ki omogočajo natančno izračun Besselove funkcije.

Namen tečajnega robota: vivchennya funkts_ Bessel in zasosuvannya їkh organi v virіshennі diferencial іvnyans.

1) Vivchit Rivnyannya Bessel in modificirana Rivnyannya Bessel.

2) Določite osnovno moč Besselovih funkcij, asimptotične manifestacije.

3) Vidnost diferenciala za dodatno funkcijo Bessela.

Bessel deluje s pozitivno ikono

Za reševanje problemov, povezanih s problemi valjastih funkcij, zadostuje prilagoditev posebnih razredov funkcij, ki so prikazani na določen dan, če je parameter, ki je enak pozitivnemu številu (1), enak nič.

Preden temu razredu damo bolj elementarni značaj, nižjo teorijo, ga lahko štejemo za najpomembnejšo vrednost in smo lahko prijazni do uvedene teorije.

Pokazalo se bo, da je eden od odgovorov

0, 1, 2, …, (1.1)

ê Besselova funkcija je prva, ki naroči, jak za kakršen koli pomen, začni jakov vsota v vrsti

Za dodatne D'Alembertove znake je enostavno obrniti, a vrsta, paziti, se zbližati na celotnem območju kompleksne spremembe, ki predstavlja tudi celotno funkcijo vsega.

Yaksho označimo levi del ryvnyannya (1.1) skozi to, da vnesemo hitrost snemanja predstave v seriji (1.2), z

potem lahko kot rezultat zamenjave

Vyraz viraz zvezde na templjih so zatemnjene na nič. Odže, funkcija je zadovoljiva za standard (1.1), to je cilindrična funkcija.

Najenostavnejše funkcije za razred, kako videti, so Besselove funkcije v vrstnem redu nič in ena:

Pokazalo se bo, da se Besselove funkcije nižjih vrst lahko vrtijo skozi te funkcije. Za dokaz je dovoljeno, da je a bolj pozitivno število, niz (1.2) se pomnoži in diferencira z. Mi otrimaemo todі

Podoben rang, ki pomnoži vrsto z znanim

Ko smo naredili diferenciacijo v enakosti (1,4 - 1,1) in jo pomnožili, pridemo do formul:

zvezde brez sprednje črteê:

Otrimanijeve formule, ki so dobile ime ponavljajočih se razmerij za Besselove funkcije.

Prvi korak je omogočiti funkciji, da deluje po vrstnem redu preko funkcije nič in ena, tako da se lahko robot hitro premakne iz zložljivih miz Besselovih funkcij.

Drugi spіvdnoshennya omogoča davke izgubljenih iz Besselovih funkcij prek Besselovih funkcij. Za celotno spіvvіdnoshennya maє buti se nadomesti s formulo

brez prednastavitve teh funkcij.

Funkcije Bessela prvega rodu so preprosto povezane s funkcijami Laurentove vrstice):

Koeficiente porazdelitve lahko izračunamo z množenjem vrstice v državni lasti:

tista delitev članov, kako se maščevati istim korakom. Viconavshi tse, otrimaєmo:

viglyad zvezde

Funkcija se imenuje funkcija, scho viroblyaє, za Besselove funkcije s celotno ikono; Znanje o komunikaciji (1.12) je podano v teoriji teh funkcij.

Da bi zanikali domačo integracijo ryvnyannya (1.1), ki daje širok nabor valjastih funkcij z eno samo ikono, je treba uporabiti druge enako pomembne rešitve. Kot takšna rešitev je mogoče vzeti funkcijo Bessela drugega rodu, čeprav ni pomembno, da se analogni viraz obravnava kot število

(- Post-Eiler) і, včasih, pershu і, če vsota pade na nič.

Funkcija je redna na območju z rastjo. Sama posebnost navidezne odločitve terena je v tem, da se lahko spremeni v nesmisel, če je. Zagalni viraz cilindrične funkcije je linearna kombinacija spodbudnih rešitev

de і - dober postіynі,

Da bi prešli k reševanju problemov o tvorbi krožne membrane, smo krivi najprej spoznati Besselove funkcije. Besselove funkcije so rešitve linearne diferencialne enačbe drugačnega reda zaradi spreminjajoče se zmogljivosti

Cena se imenuje Besselova družina. Prva stvar in druga rešitev ni le v nalogah okrogle membrane, ampak v drugem velikem številu zgradb.

Parameter k, ki ga je treba vnesti na nivoju (10.1), se morda zdi zagal, vendar je nekaj pozitivnih vrednosti. Za dani k se rešitve imenujejo funkcije brez semen reda k (imenujejo se tudi cilindrične funkcije). To je enostavno videti v detajlih, če nimamo preprostih padcev, če se poskušamo znebiti neselevske funkcije ničle tistega prvega reda, če imajo druge zmage nekaj točk.

Za zalny vivchennya funkcij brez semen od bralca do posebnih knjig (razd., na primer, / n, (4.5)

de 1, 2, ..., n - vypadkovі splav;

n - število vimiriv.

Srednja kvadratna korekcija temelji na zgoraj omenjenem kriteriju za oceno točnosti vimiriva. Oglejte si malokrat, da dosežete slog in si dobro predstavljajte manifestacijo velike vrste pomilostitev, ki se, mimogrede, pravzaprav začnejo.

Formula (4.5) je določena za izračun srednjega kvadratnega odklona, ​​če obstaja referenčna vrednost za količino. Cene za vadbo so še slabše. Referenčna vrednost določene vrednosti praviloma ni na voljo, vendar je mogoče odšteti najpomembnejši rezultat - aritmetično sredino. Lahko sprejmemo formulo za izračun srednjega kvadratnega napačnega vedenja za dodatno fiksiranje rezultatov v aritmetično sredino za tako imenovano ymovy misbehavior V.

Nekhai l 1, l 2, ..., l n - rezultati natančnih vrednosti enake velikosti, katerih pomen je X, aritmetična sredina pa L. Todi je mogoče izračunati n vrst napak

Δ i = l i - X (4.6)

in najuspešnejše napake

V i = l i - L. (4.7)

Vsota denarja (4,7)

[V] = [l] - nL. (4.8)

Ale, glede na enakovrednost (4.4) nL = [l], da

tako da je vsota zadnjih zlorab kriva nič stroškov.

Ekvivalentnost (4.6) Enakovrednost (4.7), prepoznavna

Δ i - V i = L - X. (4.10)

V desnem delu ryvnosti (4.10) je trik aritmetične sredine. Pustimo njeno skozi ε. Todi

Δi = V i + ε. (4.11)

Vnesemo v kvadrat enakosti (4.11), vzamemo vsoto in jo damo na n:

[Δ 2] / n = / n + nε 2 / n + 2ε [V] / n. (4.12)

Liva je del cene denarja je ne tako іnshe yak m2. Preostanek desnega dela skozi enakost (4.9) je enak nič.

m 2 = / n + ε 2. (4.13)

Vipadkovo napačno vedenje ε nadomesti povprečne vrednosti, to je povprečna kvadratna povprečna aritmetična sredina. Dno bo prineslo, oh srednja kvadratna razlika aritmetične sredine

M 2 = ε 2 = m 2 / n. (4.14)

m 2 - m 2 / n = / n ali m 2 (n - 1) / n = / n,

zvezde ___________

m 2 = / (n - 1) ali m = √ / (n - 1). (4,15)

Formula (4.15) se imenuje po Besselovi formuli ta velika je bolj praktična. Vaughn vam omogoča, da izračunate povprečno kvadratno prilagoditev za okusne izboljšave rezultatov v obliki aritmetične sredine.

Za povprečno kvadratno napačno vedenje lahko povprečje raste, lahko sem prepričan o napačnem vedenju.

Srednje napačno vedenje (Θ) se imenuje aritmetična sredina absolutnih vrednosti napačnega vedenja, tobto.

Θ = (| Δ 1 | + | Δ 2 | +… + | Δ n |) / n = [| Δ |] / n. (4.16)

Teoretično je napaka mogoče narediti, n → ∞ = 0,8 m, vendar za m = 1,25 ?.

Pri aplicirani hrani se pritožujejo lačen sem r. Isti pomen se imenuje hudobna prevara v eni vrsti enakih vimiriv, vendar je ravno toliko, kolikor je mogoče zanikati, zato je manjša vrednost, za absolutno vrednost. Za znakhozhennya r usi navade dano številko lahko na svojem lastnem rangu po vrstnem redu rasti absolutne vrednosti in te vrednosti izberejo, kot je izposoja srednjega položaja, tako da je manjša od tega sloga, ampak vedno več. Ymovіrna splav je vezan, če je srednji kvadrat manjvrednosti r = 2/3 m = 0,67 m za m = 1,5 r.

Yak bachimo, m> Θ і m> r, kako sklepati, da povprečno kvadratno napačno vedenje bolje označuje natančnost vimirіv, nіzh srednji і imovirna deny.

Oceno natančnosti takšnih spremenljivk, kot so črte, površine in območja, se pogosto vrti za pomoč dopustna prevara... Ime absolutnega napačnega vedenja do vrednosti vimrianske vrednosti je pravo napačno vedenje. Pogosta napaka je, da zapišete kot ulomek, v številu katerega je ena, in standardu - številko, ki vam pokaže del vrednosti velikosti, postane dovoljeno narediti napako. Na primer, na strani D = 150 m vimirja z absolutnim nagibom m d = 0,05 m. Tudi razlika do rezultata wimirja postane m d / D = 0,05 m / 150 m = 1/3000.

Vrednost 1/3000 pomeni, da je na 3000 m od stojala dovoljen ugrabitev na 1 m. Za natančnost vseh linearnih posnetkov v geodeziji je treba zagotoviti natančnost, saj je treba voditi s splošnimi navodili in navodili za izvedbo tovrstnih geodetskih robotov.

ZVEZNA AGENCIJA ZA USTANOVITVO

STERLITAMATSKA FILIA

DOMAČA KNJIGA

VISCHOЇ PROFESSIONO EVOLVE

"UNIVERZA BASHKIRSKIY DERŽAVNIY"

Ekonomska fakulteta

Oddelek za matematiko in informatiko

Tečajni robot

na temo:

Besselove funkcije

Vikonav študent 2 tečaj

skupina PMII-08

Alexandrova A.Yu._______

"___" ____________ 2010r.

Naukovy Kerivnik

dr., umetnost. in.

Sidorenko O. G. _______

"___" ____________ 2010r.

Sterlitamak 2010

Vstop

1 Bessel deluje s pozitivnim predznakom

2 Besselovi funkciji z enim predznakom

3 Dom manifestacije Cilindrične funkcije. Besselove funkcije drugega rodu

4 Razširitev številnih Besselovih funkcij drugega rodu s celotno ikono

5 Besselove funkcije tretje vrste

6 Besselove funkcije eksplicitnega argumenta

7 Cilindrične funkcije z indeksom, ki stanejo polovico neparnega celega števila

8 Asimptotično določanje cilindričnih funkcij za velike vrednosti argumenta

9 Funkcije brez cilindra

Visnovok

Seznam literature

Vstop

Cilindrične funkcije imenujemo rešitev linearne diferencialne enačbe drugačnega reda

, (1) - kompleksna sprememba, - parameter, ki se lahko uporablja za govor ali kompleksni pomen.

Izraz "valjaste funkcije" pletenja pridelkov do svojih izletov v tovrstno opremo, ki (1) se razvija ob pogledu na regionalne ustanove, teorijo potenciala valjaste regije.

Za ime Besselovih funkcij so v literaturi navedeni posebni razredi cilindričnih funkcij, v nekaterih primerih pa so pripisani celotnemu razredu valjastih funkcij.

Teorija funkcij je dobro razčlenjena, videz predavalnih miz in široko območje stasosuvana služita kot zadostno sredstvo za približevanje cilindričnih funkcij najpomembnejšim posebnim funkcijam.

Rivnyannya Bessel winykє pіd ura znana rіshennya rіvnyannya Laplace in rіvnyannya Helmholtz na cilindričnih in sferičnih koordinatah. Ta funkcija Bessela bo stagnirala v primeru virusne prtljage o širjenju hwil, statični potencial je premajhen, na primer:

1) elektromagnetni hvily v cilindrični hvilevodі;

2) toplotna prevodnost pri valjastih predmetih;

3) nastanek tanke okrogle membrane;

4) likvidnost delcev v jeklenki, ki je shranjena s črto in ovita okoli svoje osi.

Besselove funkcije se na primer obtičejo na vrhu seznama pred uro obdelave signala.

Od vseh posebnih funkcij so najbolj razširjene Besselove cilindrične funkcije. Vonj številčnih dodatkov v vseh naravoslovnih in tehničnih vedah (zlasti v astronomiji, mehaniki in fiziki). Na nižjem koncu matematične fizike se razvijejo cilindrične funkcije, za katere je argument indeks (eden od teh in eden), dodajajo kompleksne vrednosti. Za numerično določanje takšnih projektov je potrebno razviti algoritme, ki omogočajo natančno izračun Besselove funkcije.

Namen tečajnega robota: vivchennya funkts_ Bessel in zasosuvannya їkh organi v virіshennі diferencial іvnyans.

Zavdannya:

1) Vivchit Rivnyannya Bessel in modificirana Rivnyannya Bessel.

2) Določite osnovno moč Besselovih funkcij, asimptotične manifestacije.

3) Vidnost diferenciala za dodatno funkcijo Bessela.

1 Bessel deluje s pozitivnim predznakom

Za pregled težav, povezanih s funkcijami cilindra, zadostuje, da se prilagodijo posebni razredi funkcij, ki so prikazani na določen dan, če je parameter

v družini (1) je nič in celo pozitivno število.

Do konca razreda nositi bolj osnovni značaj, nižjo teorijo, ki se šteje za prevladujočo vrednost

, і je lahko dober uvod v teorijo.

Pokazalo se bo, da je eden od odgovorov

0, 1, 2, …, (1.1)

є Besselova funkcija prve vrste

yak za be-yak vrednost, tj. začetna vsota jakov v vrsti (1.2)

Za dodatne znake d'Alemberta je enostavno obrniti, toda vrsta, da je pozorna, se zbliža na celotnem območju kompleksne spremembe, ki predstavlja tudi celotno funkcijo

.

Kako označimo levi del enačbe (1.1) skozi

in vnesite hitrostni zapis izvedbe v vrstico (1.2), po

potem lahko kot rezultat zamenjave

naslednje zvezde

Poleg tega so krivulje na templjih zatemnjene na nič. Odže, funkcija je zadovoljiva za standard (1.1), to je cilindrična funkcija.

Najenostavnejše funkcije za razred, kako videti, so Besselove funkcije v vrstnem redu nič in ena:

(1.3)

Pokazalo se bo, da se Besselove funkcije nižjih vrst lahko vrtijo skozi te funkcije. Za potrditev predpostavljamo, da je a pozitivno število, niz (1.2) se pomnoži z

і svetuje. Mi otrimaemo todi (1.4)

Podoben rang, ki pomnoži vrstico z

znano (1,5)

Diferenciranje v enakosti (1,4 - 1,1) in množitelju

, Prišli smo do formul: (1.6)

zvezde brez sprednje črteê:

(1.7) (1.8)

Otrimanijeve formule, ki so dobile ime ponavljajočih se razmerij za Besselove funkcije.

Naročite.

hočem (- α) (\ displaystyle (- \ alpha)) vzgajajte isto rivnyannya, pokličite domov o tistih, ki so videli različne funkcije (poskusite na primer, da bi Besselova funkcija postala gladka α (\ displaystyle \ alpha)).

Besselove funkcije je prvi poimenoval švicarski matematik Daniel Bernoulli in poimenoval po Fridrikhu Beselu.

Enciklopedični YouTube

1 / 5

✪ Zmіshane zavdannya koli. Besselove funkcije

✪ Diferencial Rivnyannya | Rivnyannya Bessel in pidhid v revizijo yogo

✪ Metode matematične fizike. Profesor Tikhonov Mykola Andriyovich (predavanje 1)

✪ Diferencial Rivnyannya | Integralna detekcija Besselovih funkcij 1

✪ 13. Spodbude za Walsheve funkcije

Podnaslov

Gagging

Rivnyannya Besselova winnyaє pіd ura rіvnyannya rіvnyannya Laplace in rіvnyannya Helmholtz v cilindričnih in sferičnih koordinatah. Ta funkcija Bessela bo stagnirala v primeru virusne prtljage o širjenju hwil, statični potencial je premajhen, na primer:

• elektromagnetni hvily v cilindrični hvilevodі;
• toplotna prevodnost pri valjastih predmetih;
• nastanek kolonije tanke okrogle membrane;
• vrtnica jakosti svetlobe, odklona na okrogli odprtini;
• majhnost delcev v valjastem, zapomnjena s črto in ovita okoli svoje osi;
• Hvilyovi deluje na sferično simetričnih potencialnih zaslonih.

Besselove funkcije se na primer obtičejo na vrhu seznama pred uro obdelave signala.

Viznachennya

Oskіlki nominiran іvnyannya є linіynim diferencial enak v drugem vrstnem redu ima novi maє dve linijski neodvisni rešitvi. Vendar globoko iz okolice vibrira porast števila odločitev. Njihov deyaki je obrnjen spodaj.

Besselove funkcije prvega rodu

Funkcije Bessela prvega rodu, ki pomenijo, є raztopina, kintsev na točkah x = 0 (\ displaystyle x = 0) z vsemi ljudmi, ki niso α (\ displaystyle \ alpha)... Vibir posebnih funkcij in normalizacijo sprožijo oblasti. Funkcijo je mogoče uporabiti za dodatno umestitev v Taylorjevo vrstico nič (ali v večjo vrstico stanja z α (\ displaystyle \ alpha)):

J α (x) = ∑ m = 0 ∞ (−1) m m! Γ (m + α + 1) (x 2) 2 m + α (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) = \ vsota _ (m = 0) ^ (\ infty) (\ frac ((-1) ^ (m)) (m! \, \ Gama (m + \ alfa +1))) (\ levo ((\ frac (x) (2)) \ desno)) ^ (2m + \ alpha))

tukaj Γ (z) (\ slog prikaza \ gama (z))- Eulerjeva gama funkcija, ki pripisuje faktor neciljnim vrednostim. Graf Besselovih funkcij je podoben sinusoidi, katere število sorazmerno zbledi 1 x (\ displaystyle (\ frac (1) (\ sqrt (x)))), želim, da zaradi ničelne funkcije roseting ne občasno.

Grafi so prikazani spodaj J α (x) (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x)) za, 1 in 2:

Neumannove funkcije imenujemo tudi Besselove funkcije druge vrste. Črtna kombinacija funkcij Besselove prve in druge strani є zunaj odločitve Rivnyannya Bessel:

y (x) = C 1 J α (x) + C 2 Y α (x). (\ displaystyle y (x) = C_ (1) J _ (\ alpha) (x) + C_ (2) Y _ (\ alpha) (x).)

Graf je prikazan spodaj Y α (x) (\ displaystyle Y _ (\ alpha) (x)) za α = 0 (\ slog prikaza \ alfa = 0), 1 in 2:

∫ 0 1 x J α (μ 1 x) J α (μ 2 x) dx = (0; μ 1 ≠ μ 2 1 2 (J α '(μ 1)) 2; \ int _ (0) ^ (1 ) (xJ _ (\ alpha) (\ mu _ (1) x) J _ (\ alpha) (\ mu _ (2) x) dx) = \ levo \ ((\ začetek (matrika) 0 & (\ mbox (;) ) \ quad \ mu _ (1) \ neq \ mu _ (2) \\\\ (\ frac (1) (2)) (J "_ (\ alpha) (\ mu _ (1)) ) ^ ( 2) & (\ mbox (;)) \ quad \ mu _ (1) = \ mu _ (2) \ end (matrika)) \ desno ..)

Asimptotika

Za Besselove funkcije sta prva in druga vrsta podani z asimptotičnimi formulami. Z majhnimi argumenti (0 < x ≪ α + 1) {\displaystyle (0 to ni α (\ displaystyle \ alpha) smrad izgleda takole:

J α (x) → 1 Γ (α + 1) (x 2) α, (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) \ rightarrow (\ frac (1) (\ Gamma (\ alpha +1))) \ levo ((\ frac (x) (2)) \ desno) ^ (\ alpha),) Y α (x) → (2 π [ln ⁡ (x / 2) + γ]; α = 0 - Γ (α) π (2 x) α; α> 0,) \ puščica desno \ levo \ ((\ začetek (matrika) (\ frac (2) (\ pi)) \ levo [\ ln (x / 2) + \ gamma \ desno] & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha = 0 \\\ - (\ frac (\ Gamma (\ alpha)) (\ pi)) \ levo ((\ frac (2) (x)) \ desno) ^ (\ alpha) & (\ mbox (;)) \ quad \ alpha> 0 \ konec (matrika)) \ desno.,)

de γ (\ slog prikaza \ gama)- Postyna Eyler-Maskeroni (0,5772 ...), in Γ (\ displaystyle \ gama)- Eulerjeva gama funkcija. Za odlične argumente ( x ≫ | α 2 - 1/4 | (\ displaystyle x \ gg | \ alpha ^ (2) -1/4 |)) formule izgledajo takole:

J α (x) → 2 π x cos ⁡ (x - α π 2 - π 4), (\ displaystyle J _ (\ alpha) (x) \ puščica desno (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x) ) ) \ cos \ levo (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ desno),) Y α (x) → 2 π x sin ⁡ (x - α π 2 - π 4). (\ displaystyle Y _ (\ alpha) (x) \ puščica desno (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x))) \ sin \ left (x - (\ frac (\ alpha \ pi) (2)) - (\ frac (\ pi) (4)) \ desno).)

Hipergeometrijske serije

Besselove funkcije je mogoče zasukati s hipergeometrično funkcijo:

J α (z) = (z / 2) α Γ (α + 1) 0 F 1 (α + 1; - z 2/4). (\ displaystyle J _ (\ alpha) (z) = (\ frac ((z / 2) ^ (\ alpha)) (\ gama (\ alpha +1))) () _ (0) F_ (1) ( \ alfa +1; -z ^ (2) / 4).)

V takem rangu, za celoto α (\ displaystyle \ alpha) Besselova funkcija nedvoumna analitika, in za ne-tsіlich - smiselna analitična.

Funkcija Virobnycha

Obstaja jasna izjava za funkcije Bessela prve vrste in v celotnem redu preko Laurentovih funkcij, funkcije edninske oblike in same:

e z 2 (w - 1 w) = ∑ n = - ∞ + ∞ J n (z) w n. (\ displaystyle e ^ ((\ frac (z) (2)) \ levo (w - (\ frac (1) (w)) \ desno)) = \ vsota _ (n = - \ infty) ^ (+ \ infty) J_ (n) (z) w ^ (n).)