Jų galios be galo didelės. Be galo didelės konsistencijos reikšmė

30.07.2020

Skaičiuojant be galo mažus ir didelius

Skaičiuojant be galo mažas- iš be galo mažų kiekių generuojami skaičiavimai, kuriuose galutinis rezultatas suvokiamas kaip begalinė be galo mažų suma. Be galo mažų kiekių skaičiavimas mes suprasime diferencialiniams ir integraliniams skaičiavimams, kurie sudaro šiuolaikinės matematikos pagrindą. Be galo mažo dydžio sąvoka yra glaudžiai susijusi su ribos sąvoka.

Itin mažas

Seka a n paskambino be galo mažas yakscho Pavyzdžiui, skaičių seka yra be galo maža.

Funkcija vadinama be galo mažas taškas pakraštyje x 0, jakscho .

Funkcija vadinama be galo mažas dėl nenuoseklumo, jakscho arba .

Be to, funkcija yra be galo maža, o tai reiškia, kad tarp funkcijų ir ribų yra skirtumas, todėl , Tai f(x) − a = α( x) , .

Be galo didelis dydis

Seka a n paskambino be galo puikus, jakscho .

Funkcija vadinama be galo puikus taško pakraštyje x 0, jakscho .

Funkcija vadinama be galo didelis begalybėje, jakscho arba .

Visais atvejais dešiniarankio nenuoseklumas kartu su lygybe turi stiprų ženklą („pliusas“ arba „minusas“). Pavyzdžiui, funkcija x nuodėmė x nėra be galo puikus.

Be galo mažų ir be galo didelių galių

Be galo mažų kiekių išlyginimas

Kaip sureguliuoti be galo mažus kiekius?
Be galo mažų kiekių nustatymas sukuria vadinamąjį nereikšmingumą.

Viznachennya

Tarkime, kad turime be galo mažas reikšmes tai pačiai reikšmei α( x) ir β( x) (arba, nors reikšmės reikšmės nėra, seka be galo maža).

Norint apskaičiuoti tokius duomenis, patartina naudoti L'Hopital taisyklę.

Taikyti valymą

Z vikoristannyam Apie- Simboliai ir rezultatai gali būti įrašyti realiuoju laiku x 5 = o(x 3). Šiuo atveju sąžiningi įrašai 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

Lygiavertės vertės

Viznachennya

Tiesą sakant, vadinami ypač maži dydžiai α ir β lygiavertis ().
Akivaizdu, kad lygiaverčius kiekius suapvalinsime be galo mažų tos pačios mažumo eilės kiekių serija.

Jei teisingi šie lygiavertiškumo ryšiai: , , .

Teorema

Du be galo maži kiekiai nepasikeis, nebent vienas iš jų (arba pažeidimas) bus pakeistas lygiaverčiu kiekiu.

Ši teorema turi praktinę reikšmę, kai reikia suprasti tarp (div. butt).

Vikoristanny užpakalis

Pakeiskite sin 2x lygiavertė vertė 2 x, praleisti

Istorinis piešinys

Sąvoka „be galo mažas“ buvo aptariama senovėje, kalbant apie nedalomų atomų sąvoką, tačiau ji nepateko į klasikinę matematiką. Ji vėl pradėjo klestėti, XVI amžiuje atsiradus „individualiam metodui“ - tiriamos figūros kūrimui mažomis pjūviais.

XVII amžiuje buvo sukurta be galo mažų skaičių algebrazacija. Jos pradėtos vertinti kaip skaitinės reikšmės, kurios yra mažesnės viena už kitą (ne nulinės) ir vis dėlto nėra lygios nuliui. Analizės tikslas buvo sudėtingame santykyje, kuris vyko be galo mažas (diferencialai), taip pat jo integravime.

Senosios mokyklos matematikai sugalvojo koncepciją be galo mažas griežta kritika. Michelle Rolle rašė, kad naujasis numeris yra „ genialių skanėstų rinkinys"; Volteras labai gerbė skaičiavimo galią apskaičiuoti ir tiksliai užgesinti kalbas, kurių neįmanoma įrodyti. Tačiau Huygensas žinojo, kad supranta aukštesnių kategorijų skirtumus.

Ironiška, kad šimtmečio viduryje galima pastebėti nestandartinės analizės atsiradimą, o tai leidžia manyti, kad pirminis požiūris – tikrosios be galo mažos – taip pat nėra puikus ir gali būti naudojamas kaip analizės pagrindas. .

Div. taip pat

Wikimedia fondas. 2010 m.

Įdomu, kas yra „be galo puiku“ kituose žodynuose:

Be galo maža Y reikšmė apvyniojama be galo maža X verte, kad Y = 1/X... Puikus enciklopedinis žodynas

Be galo maža reikšmė y yra suvyniota į be galo mažą reikšmę x, kad y = 1/x. * * * Be galo GERAS yra be galo didelis, Y kintamoji reikšmė lygi be galo mažai X reikšmei, tada Y = 1/X ... Enciklopedinis žodynas

Matematikoje kintamasis dydis, kuris šiame kitimo procese tampa ir praranda absoliučią reikšmę, didesnę už iš anksto nustatytą skaičių. Vivchennya Bi. b. kiekius galima sumažinti iki be galo mažų. Didžioji Radyanska enciklopedija

Numatyta: Funkcija vadinama be galo mažas adresu , yakscho .

Įrašą „“ leisime x 0 gali būti laikoma galutine verte: x 0= Сonst, taip ir be galo: x 0= ∞.

Be galo mažų funkcijų galia:

1) Galutinio begalinio mažumo skaičiaus už funkcijos ir be galo mažų skaičių už funkcijos algebrinė suma.

2) be galo mažų skaičių už funkcijos ir be galo mažų skaičių už funkcijos pridėjimas.

3) Sujungtos funkcijos pridėjimas prie be galo mažos funkcijos su be galo maža funkcija.

4) Padalinio privatumas yra be galo mažas, kai funkcija yra funkcijoje, tarp bet kokio nulio pakeitimo, ir be galo mažas, kai funkcija.

užpakalis: Funkcija y = 2 + xє be galo mažas at , nes .

Numatyta: Funkcija vadinama be galo puikus adresu , yakscho .

Be galo didelių funkcijų galia:

1) Be galo didelis funkcijos dydis yra be galo didelis funkcijai.

2) Jis yra be galo didelis su funkcijos funkcija, tarp kurių ji atimama iš nulio, ir be galo didelė su funkcija.

3) Suma yra be galo didelė funkcijai ir tarpusavyje susijusiai funkcijai bei be galo didelei funkcijai.

4) Skyriaus privatumas yra be galo didelis, kai kalbama apie funkciją, kuri žymi galutinę ribą, ir yra be galo puiki funkcijai.

užpakalis: Funkcija y= є be galo puikus , nes .

Teorema.Ryšys tarp be galo mažų ir be galo didelių kiekių. Kadangi funkcija yra be galo maža , funkcija yra be galo didelė . Ir, beje, kadangi funkcija yra be galo didelė ties , funkcija yra be galo maža ties .

Santykis tarp dviejų be galo mažų dažniausiai įvardijamas kaip simbolis, o tarp dviejų be galo didelių – kaip simbolis. Užrašų nuoskaudos yra nesvarbios pojūčiams, kad tarp jų galima rasti ir rasti, suderinti su skaičiumi, kuris yra begalinis dėl specifinių funkcijų, įtrauktų į nežinomą sąlygą, tipo.

Be iš pažiūros nereikšmingų dalykų, šie posakiai yra nereikšmingi:

Įvairovė be galo daugiau vienam ženklui;

Pasaulis yra be galo mažas ir be galo didelis;

Ekrano žingsnio funkcija, kurios pagrindas yra pragne 1, o ekranas yra iki;

Ekrano scenos funkcija, kurios pagrindas yra be galo mažas, o ekranas – be galo puikus;

Tai rodymo-statistinė funkcija, kurios pagrindas ir atvaizdavimas yra be galo mažas;

Tai puiku funkcija, kurios pagrindas yra be galo puikus, o ekranas – be galo mažas.

Sakyti, kad tai reiškia rūšies nereikšmingumą. Šiais atvejais vadinami skaičiavimai tarp ribų į menkumo apreiškimus. Norint atskleisti menkavertiškumą, po ribos ženklu stovinti išraiška pakeičiama išvaizda, kad neatkeršytų už menkumą.

Skaičiuojant tarp vikoristų, tarp autoritetų ir be galo mažų bei be galo didelių funkcijų autoritetų.

Pažiūrėkime, kaip apskaičiuoti skirtumus tarp.

1) . 2) .

4) , nes be galo mažos funkcijos pridėjimas ribojant funkciją - be galo mažas.

5) . 6) .

7) = =

. Šiuo atveju yra nedidelė tipo nereikšmingumo vieta, nes buvo galima papildomiems tikslams atverti turtingųjų narių skirstymą į daugiklius ir trumpinimą į paslėptąjį daugiklį.

= .

Šiuo atveju yra nedidelė tipo nereikšmingumo vieta, nes buvo galima atidaryti skaičių ir ženklą papildomai dauginti iš išraiškos, vietinės formulės ir toliau trumpinti trupmeną (+1) .

9)
. Šiuo atveju tipo nereikšmingumą atskleidė bendras numerio karininko ir ženklų karininko padalijimas į aukštesnes pareigas.

Stebuklų ribos

Persha Chudova riba : .

Baigta. Pažvelkime į vieną kolo (3 pav.).

3 pav. Vienvietis kolo

Eime X– centrinio banko radialinis įėjimas MOA(), tada OA = R= 1, MK= nuodėmė x, AT= tg x. Lygios trikūnės sritys OMA, OTA tą sektorių OMA, Mes atmetame:

Likusį nervingumą padalinkime į nuodėmę x, Mes atmetame:

Taigi, jei , tada po 5) tarp

Žvaigždės ir vertė apskaičiuojami pagal tai, ką reikėjo pasiekti.

Pastaba: Kadangi funkcija yra net maža , tada. , tada pirmoji Chudovos riba gali atrodyti taip:

Pažvelkime į skaičiavimus tarp pirmųjų stebuklų ribų vikorstanų.

Skaičiuojant ribų vertę, buvo naudojama trigonometrinė formulė: .

Pažvelkime į skaičiavimus tarp kitų stebuklingų ribų vikorstanų.

2) .

3) . Tipo nereikšmingumui vietos nėra. Tada mes tikrai jį pakeisime; adresu .

Funkcija y=f(x) paskambino be galo mažas adresu x→a arba pas x→∞, arba ne. Be galo maža funkcija yra funkcija, kurios taškai lygūs nuliui.

taikyti jį.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 є be galo mažas ties x→1, skeveldros (div. mažas).

2. Funkcija f(x)= tg x- be galo mažas at x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – be galo mažas at x→0.

4. f(x) = 1/x- be galo mažas at x→∞.

Užmegzkime svarbesnius santykius:

Teorema. Kokia funkcija y=f(x) reprezentatyvus su x→a atrodo, kad turite fiksuotą numerį b ir be galo mažo masto α(x): f(x)=b+ α(x) tie.

Tada f(x)=b+α(x), de a(x)- be galo mažas at x→a.

Baigta.

1. Užbaikime šiek tiek kietėjimo. Su uolumu f(x)=b+α(x) pėdsaką | f (x) – b | = | α|. Ale toks jakas a(x)– yra be galo mažas, tada pakankamam ε rasime δ – taško išorę a, visų akivaizdoje x Kokiam tikslui a(x) patenkintas santykiais |α(x)|< ε. Todi |f(x) – b|< ε. O tse reiškia ką.

2. Yakshto, tada bet kokiam ε >0 visiems X su veiksmu δ – aplink tašką a valios |f(x) – b|< ε. Ale yakscho yra reikšmingas f(x) - b = α, Tai |α(x)|< ε, o ce reiškia tai a- be galo mažas.

Pažvelkime į pagrindinę be galo mažų funkcijų galią.

1 teorema. Dviejų, trijų ir net bet kurio baigtinio skaičiaus begalinių mažų algebrinė suma yra be galo maža funkcija.

Baigta. Pateikime dviejų Dodankų įrodymą. Eime f(x)=α(x)+β(x), de i . Ar reikia perteikti, kad tai, kas tinka gėriui, yra naudinga mažiesiems? > 0 zinau δ> 0, tai už ką x, kurie patenkina nelygumus | x – a |<δ , vikonuvetsya |f(x)|< ε.

Taigi, nustatykime pakankamą skaičių ε > 0. Mentinės teoremos liekanos α(x)- funkcija labai maža, tada ar yra toks dalykas? > 0, už ką | x – a |< δ 1 maєmo |α(x)|< ε / 2. Panašiai ir fragmentai β(x)- yra be galo mažas, tada taip pat bus δ 2 > 0, už ką | x – a |< δ 2 maєmo | β(x)|< ε / 2.

Paimkim δ=min(δ 1 , δ2 } . Todi punkto pakraštyje a spindulys δ Yra odos nelygumai |α(x)|< ε / 2 ta | β(x)|< ε / 2. Na, šiame pakraštyje jūs būsite

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tobto. |f(x)|< ε, ką reikėjo auklėti.

2 teorema. Be galo mažos funkcijos papildymas a(x)į tarpusavyje susijusią funkciją f(x) adresu x→a(arba jeigu x→∞) yra labai maža funkcija.

Baigta. Funkcijos likučiai f(x) yra apsuptas, tada yra daug M taigi, ką tai reiškia visiems? x iš aplink tašką a|f(x)|≤M. Be to, fragmentai a(x)- ypač maža funkcija, kai x→a, tada pakankamam ε > 0 rasite aplink tašką a kur yra nelygybė |α(x)|< ε /M. Todi mažiausiai iš šios aplinkos gali būti | αf|< ε /M= ε. O tai reiškia, kad af- be galo mažas. Dėl vipadku x→∞Įrodymas atliekamas panašiai.

Toliau pateikiama tokia teorema:

Nasledok 1. Tada Yakshcho i.

Naslidok 2. Jakšto i c= const, tada .

3 teorema. Ryšys su be galo maža funkcija α(x) funkcionuoti f(x), tarp bet kokio skirtumo nuo nulio, yra be galo maža funkcija.

Baigta. Paleisk. Todis 1 /f(x) Funkcija ribota. Todėl tai reiškia, kad yra be galo maža tarpusavyje sujungtos funkcijos funkcija. funkcija yra be galo maža.

Skaičiuojant be galo mažus ir didelius

Skaičiuojant be galo mažas- iš be galo mažų kiekių generuojami skaičiavimai, kuriuose galutinis rezultatas suvokiamas kaip begalinė be galo mažų suma. Be galo mažų dydžių skaičiavimai yra pagrindinės diferencialinių ir integralinių skaičiavimų sąvokos, kurios sudaro šiuolaikinės matematikos pagrindą. Be galo mažo dydžio sąvoka yra glaudžiai susijusi su ribos sąvoka.