Ar galite parodyti (labai nedrąsu), kad (2) lygu (1), nors tai buvo atimta iš (1) nelygiavertis pertvarkyti. Tse reiškia, kad atitikmuo (2) yra duotosios elipsės atitikmuo. Vono vadinamas kanoninis(Tobto labiausiai atleidžia).

Man pasirodė, kad elipsės lygybė yra lygi kitokiai tvarkai, tobto. elіps-line 2-oji eilė.

Elipsams pristatome supratimą ekscentriškumas. Tse vertė. Dėl elipsės ekscentriškumo. toks jakas hі a vіdomі, tezh vidomy. Viraz elipsės taško M(x, y) židinio spinduliai lengvai paimami iš priekinio veidrodžio: . r 2, žinomas iš lygybės (3)

Pagarba Panašiai įkiškite dvi gėles (F1 ir F2) į stilių, abiem galais pririškite prie jų virvelę, dožina yra didesnė augimui tarp gėlių ( 2a), traukite už virvelės ir maišu veskite lopšį palei stalą, tada sukite uždarą kreivę-elipsą, nes ji yra simetriška abiem ašims ir koordinačių burbuolei.

4. Elipsės formos stebėjimas iš jogo kanoninio lygmens.

Prie gerbiamų mi rkuvanų netikslumų buvo padaryta visnovo apie elipsės formą. Dabar atliksime elipsės formos tyrimą, analizuodami jogo kanoninį derinimą:

Žinome kryžminius taškus su koordinačių ašimis. Jei y = 0, tada , , tada. yra du taškai A1(-a,0) ir A2(a,0). Jei x = 0, tada . Tobto. gali būti du taškai B1(0,-b) ir B2(0,b) (nes, tada). Taškų A1, A2, B1, B2 pavadinimas elipsės viršūnės.

2) Elipsės skalavimo sritis gali būti apibrėžta pagal šią mirkuvaną:

a) iš vienodos elіpsa sld, scho, tobto. , tada. arba .

b) panašiai, tobto. arba . Tse rodo, kad visas roztašovankų elips yra tiesus pjūvis, dygliuotas tiesia i.

3) Toliau, ties x ir y pokyčio elipsės išlygiavimu, įveskite tik dvyniais žingsniais, bet tai reiškia, kad kreivė yra simetriška išilgai odos ašių ir išilgai koordinačių burbuliuko. D-bet, jei spindulys turi tašką (x, y), tada i taškai (x, -y), (-x, y) ir (-x, -y) turėtų gulėti. Jam užtenka pažvelgti į tą elipo dalį, kaip gulint prie pirmo ketvirčio, ​​de i.

4) Pirmoji elipsės eilutė yra maєmo, bet pirmasis ketvirtis. Jei x = 0, tai y = b. Taškas yra B2(0,b). Tegul x padidėja nuo 0 iki a, tada y pasikeičia iš b į 0. Tim tašką M(x, y), pradedant nuo taško B2(0, b), apibūdinantį lanką iki taško A(a, 0) . Galite drąsiai pareikšti, kad iškilimo lankas būtų tiesiai į kalną. Atspindėdami lanką koordinačių ašyse i ant burbuolės, imame visą elipsą. Elipsės simetrijos ašys vadinamos jogo ašimis, taškas Properitinas yra elipsės ix centras. Dovzhina vіdrіzkіv OA1=ОА2=a vadinama didžiuoju pіvvіssya elіps, vіdrіzkіv OV1, OB2=b-small pіvvіssyu elіps, (a>b), c-vieno židinio. Tiesiog geometriškai paaiškinkite vertę.

Kai a \u003d b, imame kanoninį elipsės išlygiavimą – stulpo išlygiavimą. Už statymą, tobto. F1 = F2 = 0. .

Tokia tvarka okremy vipadok žiedas išsiplėtė, jei jogos židiniai eina aplink centrą ir ekscentriškumas = 0. Kuo didesnis ekscentriškumas, tuo didesnis elipų traukimas.

Pagarba. Iš kanoninio elipsės išlyginimo nesunku sukurti visnovokus, kad elipsę būtų galima nustatyti parametrine forma. x=a cos t

y=b sin t, de a, b - dideli ir maži pіvosі, t-kut.

5. Tos hiperbolės kanoninės išlyginimo vizijos įvardijimas.

Hiperbolė vadinamas ploto GMT, esant tam tikram skirtumui tarp dviejų fiksuotų srities taškų F1F2, vadinamų židiniais, є pastovi reikšmė (ne lygi 0 ir mažesnė, mažesnis židinio nuotolis F1F2).

Tarkime, kaip ir anksčiau, F1F2=2с, o skirtumas yra 2а (а<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Tegu M (x, y) – hiperbolės tekėjimo taškas. Pagal susitarimą MF1-MF2= arba r1-r2== arba --(1). -tse i є hiperbolės išlyginimas.

Leidžiamas neracionalumas (1): sakykime, viena šaknis, kvadratą išlyginkime, atimkime: kitu atveju dar kartą pakelkime kvadratą:

Zvіdki.

Padalinkime jį į. Įveskime užrašą. Todi ---(2). Rivnyannya (2), kaip galima parodyti, yra lygesnė nei lygi (1), o tai yra hiperbolė. Jogo vardas kanoniniai hiperbolės lygiai Bachimo, kuris taip pat lygus kito lygio hiperbolei, kitos eilės hiperbolė-linija.

Hiperbolės ekscentriškumas. Viraz židinio spinduliai per lengvai otrimati iš priekio, tada žinome z.

6. Tolesnė hiperbolės forma її kanoniniams lygiems.

Rozmіrkovuєmo panašiai ir anksčiau, kaip ir su paskutine elіpsa.

1. Žinome sankirtos taškus su hiperbolės ašimis. Jei x = 0, tada . Krapok peretina z vsyu OU nėra. Jei y = 0, tada . Atnaujinkite taškus,. Smirdžiai vadinami hiperbolių viršūnės.

2. Hiperbolės išsiplėtimo sritis: tobto. arba . Tai reiškia, kad hiperbolė yra sudraskyta blankios pozos, apsupta tiesių linijų. x=-aі x = a.

3. Hiperbolė gali būti matoma visa simetrija, nes x i y įeikite prie dviejų laiptų. Jam užtenka pažiūrėti į tą hiperbolės dalį, tarsi ji būtų užslėpta pirmame ketvirtyje.

4. Hiperbolės (2) lygtis pirmąjį mėnesio ketvirtį. Kai x \u003d a, y \u003d 0, yra taškas; , tada. kreivė eiti į kalną į dešinę. Kad būtų aiškiau, galime pažvelgti į dvi papildomas tieses, ty eiti per stačiakampio, kurio kraštinės 2a ir 2b, koordinačių burbulą i є įstrižainės: BCB'C'. Smarvė gali būti vienoda. Galima parodyti, kad hiperbolės M(x, y) srauto taškas, einantis į nenuoseklumą, artėja tiesiai į priekį. Paimk gerą tašką X ir porіvnyaєmo vіdpovіdnі hiperbolės taško ordinatės ir - tiesė. Aišku ką Y>y. MN=Y-y=.

Bachimo, scho, tobto. kreivė yra arti tiesės pasaulyje atstumu nuo koordinačių burbuliuko. Tse atnešti, scho yra tiesioginė hiperbolės asimptotė. Be to, hiperbolė nekeičia asimptotų. Ko pakanka, kad sužadintų dalį hiperbolės. Vaughn yra žvėriškai ant kalvos. Kitos dalys gaunamos simetrijos būdu. Svarbu, kad hiperbolės simetrijos ašys (koordinačių ašys) būtų vadinamos її kirvius, ašių taškas- centras hiperbolė. Viena visa peretinaє hiperbolė (dіysna vіs), іnsha-ni (vyavna). Vіdrіzok a vadinkite tai diysnoy pivvissya, vіdrіzok b-akivaizdu pivvissyu. Stačiakampis BCB'C' vadinamas pagrindiniu hiperbolės stačiakampiu.

Jakšo a=b, tada asimptotai tenkina kuti koordinačių ašis. Ta pati hiperbolė arba skambutis lygus arba lygus. Pagrindinis stačiakampis virsta kvadratu. Asimptotai її yra statmeni vienam vienam.

Pagarba.

Kartais jie žiūri į hiperbolę, kuri kanoniškai lygi – (3). Її vardas pririštas remiantis hiperbole (2). Hiperbolė (3) gali būti vertikaliai vertikali, akivaizdi-horizontali. Її vaizdas iškart atkuriamas, tarsi pertvarkomas Xі adresu, aі b(Ji virsta kolosu). Ale tody hiperbolė (3) gali atrodyti:

Peaks її.

5. Kaip jau minėta, lygiakraščio hiperbolė ( a = b) jei koordinačių ašys zbіgayutsya s ašys hiperbolė, gali atrodyti. (4)

Nes lygiakraštės hiperbolės asimptotika yra statmena, taip pat jas galima laikyti koordinačių ašimis OX 1 ir OU 1 . Verta paversti kolosalią OXY sistemą į pjūvį. Pjovimo įjungimo formulės yra šios:

Todi įeina nauja sistema koordinatės OX 1 Y 1 lygios (4) perrašyti:

Abo abo. Žymiai, otrimaemo arba (5) kaina lygiakraštė hiperbolė, sumažintas iki asimptotų (tokios pačios rūšies hiperbolė buvo pastebėta mokykloje).

Pagarba S = k 2 .

7. Parabolės kanoninės lygiuotės paskyrimas ir apibrėžimas.

parabolė vadinamos vietos GMT, odai sutelkti dėmesį. direktorė(Sufokusuokite direktorės laikyseną).

Svarbu tai, kad skirtumas tarp F ir krypties per p vadinamas parabolės parametru. Pasirenkame tokią koordinačių sistemą: visas OX brėžiamas per tašką F statmenai krypčiai NP. Koordinačių burbuolė yra viberaliai pleišto FP viduryje.

Mano sistemai: .

Iš esamų koordinačių (x, y) paimkime papildomą tašką M(x, y). Tomas

Zvіdsi (1) tse i є rivnyannya parabola. Tiesiog pasakykime:

Abo (2) -ce i є kanoninis parabolės lygiavimas Ar galite parodyti, kad (1) ir (2) yra lygūs.

Nuosavybė (2) yra lygi 2 eilės tobto. 2 eilės parabolė.

8. Doslіdzhennya parabolės formos її kanoniniams lygiams.

(p>0).

1) x=0, y=0 parabolė eina per koordinačių burbuliuką tašką O. Її vadinamas parabolės viršūne.

2), tada. parabolė pasukta į dešinę nuo OS ašies, dešinėje plokštumos pusėje.

3) adresuįeiti į suporuotą pasaulį, parabolė yra simetriška kaip ašis OH, tada tai padaryti per pirmąjį ketvirtį.

4) 1 ketvirtį , tada. parabolė eiti į dešinę. Ar galite man parodyti, kad einu į kalną. Pagal simetriją būsiu žemiau. Visi OU yra dotichna iki parabolės.

Akivaizdu, kad židinio spindulys yra . Nustatymas vadinamas ekscentriškumas: . Visa parabolės simetrija (turime OH) vadinama visa parabole.

Pagarbiai, lygiavimas taip pat yra parabolė, bet jis ištiesintas į priešingą biką. Rivnyannya taip pat nustatė paraboles, all yakikh є all OU.

arba esant didesniam zvichnomu žvilgsniui, de.

Rivnyannia reiškia didelę parabolę su pasislinkusia viršūne.

Pagarba. 1) Mіzh usima chotirma su 2 eilės linijomis yra beveik ginčytina; galutiniai pjūviai. Jei iš dviejų tuščių imama kūgis, tai pjaunant plokštuma, statmena kūgio ašiai, imamas kuolas, kaip žaizdų trejetas, pjaunamas plotas skersai pjūvio; jei plokštuma lygiagreti glostančiajai, tai perimetre yra parabolė, jei plokštuma performuoja nusikaltimą

tuščia-hiperbolė.

2) Galima išaiškinti, kad jei šviesa juda iš parabolės židinio, ji joje matoma, tada ji bus lygiagreti parabolinės-tse ašiai, kad laimėtų, kai projektoriai yra paraboliniai -parabolinis, o židinyje-dzherelo šviesa. Norėdami išeiti tiesinimo potіk svіtla.

3) Kaip aptikti Žemės palydovo paleidimą iš taško T, kuris turi gulėti atmosferoje horizontalia linija, tarsi burbuolė būtų nušluota v 0 stokos, tada kompanionas neapvynios Žemės. Pasiekęs pirmąjį skrydį į kosmosą, palydovas apsisuks aplink Žemę žiedine orbita, kurio centras yra Žemės centre. Jei norite padidinti burbuolės plotį, tada įvyniojimas bus elipsė, Žemės centras bus viename iš židinių. Pasiekus 2 kosminį skrydį trajektorija taps paraboline ir palydovas nesisuks į tašką T, bet pasikeisime ribas Sonyachna sistema. Tobto. Parabola є Elips su vienu be galo nutolusiu židiniu. Toliau didėjant burbuolės vingumui, trajektorija taps hiperboliška ir iš kitos pusės atsiras kitas židinys. Orbitos židinyje visą valandą yra Žemės centras. Kompanionas pіde mezhі Sonyachnі sistemai.

Algebros ir geometrijos paskaitos. 1 semestras

15 paskaita. Elips.

Rozdil 15. Elips.

1 punktas. Pagrindinis susitikimas.

Paskyrimas. Elipsė yra iki dviejų fiksuotų ploto taškų, vadinamų židiniais, sumos ploto GMT ir yra pastovi reikšmė.

Paskyrimas. Atstumas nuo mažo plokštumos M taško iki elipsės židinio vadinamas taško M židinio spinduliu.

Pavadinimas:
- elipsės gudrybės,
- M taško židinio spinduliai.

Elipsės tikslais taškas M yra elipsės taškas, o tada, jei
- Pastovi vertė. Qiu postiynu priimta reikšti 2a:

. (1)

Mes tai gerbiame
.

Elipsės tikslais jos židinys yra taško fiksacija, todėl šiai elipsei yra pastovi reikšmė.

Paskyrimas. Stovėjimas tarp elipsės židinių vadinamas židinio nuotoliu.

Pavadinimas:
.

3 trikutnik
rėkia ką
, tada.

.

Žymiai per b yra brangus skaičius
, tada.

. (2)

Paskyrimas. Nustatymas

(3)

vadinamas elipsės ekscentriškumu.

Šioje plokštumoje pristatome koordinačių sistemą, kuri vadinama elipsės kanonine.

Paskyrimas. Visuma, ant kurios guli elipsės židinys, vadinama židinio tašku.

Būkime kanoniniai PDSC elipsei, div. pav.2.

Kaip abscisių ašį pasirenkame židinio ašį, o visa ordinatė nubrėžiama per vdrіzk vidurį
statmenai židinio ašiai.

Tiesiog sutelkite dėmesį į koordinates
,
.

2 punktas. Kanoninė elipsės lygybė.

Teorema. Kanoninės elipsės koordinačių sistemos elipsės lygiavimas gali atrodyti taip:

. (4)

Atneša. Įrodymas bus atliekamas dviem etapais. Pirmajame etape žinome, kad bet kurio taško, esančio elipsėje, koordinatės yra patenkintos išlygiavimu (4). Kitame etape galėsime pasakyti, ar sprendinys (4) pateikia taško, esančio elipsėje, koordinates. Zvіdsi vyplivatime, scho lygus (4) tenkina koordinačių plokštumos ti ir ti taškus, patinka gulėti ant elіpsі. Zvіdsi i vyznachennya іvnyannja krivoї sіduvat, shko іvnyannja (4) є іvnyannâ elіpsa.

1) Tegul taškas M (x, y) yra elipsės taškas tobto. її židinio spindulių suma yra 2а:

.

Paspartiname formulę tarp dviejų koordinačių plokštumos taškų ir žinome nurodyto taško M židinio spindulio formulę:

,
, paimtos žvaigždės:

Perkelkime vieną šaknį į dešinę pusiausvyros dalį ir žvaigždutę į kvadratą:

Greitai, otrimuemo:

Mes siūlome panašiai, netrukus 4 ir usamіtnyuemo radikaliai:

.

Žvodimo aikštėje

Atidarykite arkas ir greitai įjunkite
:

laukiamos žvaigždės:

Vicorist rіvnіst (2), otrimuemo:

.

Išskirstęs likusį pavydą ant
, Reikalingas lygumas (4) ir kt.

2) Tegul dabar skaičių pora (x, y) tenkina lygiavimą (4) ir tegul M(x, y) – atitinkamas taškas koordinačių plokštumoje Oxy.

Temos (4) aiškios:

.

Taško M židinio spindulius pakeičiant lygybe:

.

Čia mus pagyvino pavydas (2) ir (3).

tokiu būdu,
. Panašiai
.

Dabar garbinga, kad iš pavydo (4) rėki

arba
ir todėl
, tada kyla akivaizdus nerimas:

.

Zvіdsi, prie tavo pusės, rėkia, scho

arba
і

,
. (5)

Trys lygybės (5)
, tada. taškas M(x, y) yra elipsės taškas ir kt.

Teorema baigta.

Paskyrimas. Išlygiavimas (4) vadinamas kanoniniu elipsės išlygiavimu.

Paskyrimas. Kanoninės elipsų koordinačių ašys vadinamos elipų galvos ašimis.

Paskyrimas. Elipsės kanoninės koordinačių sistemos burbuolė vadinama elipsės centru.

3 punktas. Elipsės dominavimas.

Teorema. (Elipsės galia.)

1. Elipsės kanoninė koordinačių sistema, visa

elipsės taškai yra šalia stačiakampio

,
.

2. Krapki guli

3. Elіps є kreivė, simetriškas shdo

nuosavos galvos ašys

4. Elipsės centras yra simetrijos centras.

Atneša. 1, 2) Matote kanoninį elipsės išlygiavimą.

3, 4) Tegul M (x, y) – pakankamai elipsės taško. Tada koordinatės tenkinamos išlygiavimu (4). Bet tada koordinačių taškai taip pat tenkinami su lygiavimu (4), i, taip pat su elipsės taškais, žvaigždėmis ir teoremos įrodymu.

Teorema baigta.

Paskyrimas. Reikšmė 2a vadinama didžiuoju elipsės svoriu, reikšmė vadinama didžiuoju elipsės svoriu.

Paskyrimas. Reikšmė 2b vadinama mažu elipsės svoriu, o reikšmė b vadinama mažu elipsės svoriu.

Paskyrimas. Elipsės tinklo dėmės su galvos ašimis vadinamos elipsės viršūnėmis.

Pagarba. Elips gali būti skatinamas tokiu būdu. Bute šalia židinio „mes plaktuku ant gėlių“ ir pritvirtiname prie jų zavdovkos siūlą
. Paimkime alyvuogę ir su pagalba traukime siūlą. Tada perbraukiame alyvuogių rašiklį per plokščią, susiuvame už jo, kad siūlas būtų įtemptas.

Iš ekscentriškumo taško matome tai

Fiksuojame skaičių a ir nukreipiame skaičių nuo nulio. Todi kada
,
і
. Tarp mūsų yra priimtina

arba
– Vienodas statymas.

Tiesiogiai dabar
. Todi
,
ir mi bachimo, kad tarp dramblių virodzhuєtsya ties vіdrіzok tiesiomis linijomis
turėti mažą kūdikį 3.

4 punktas. Parametrinis elipsės lygiavimas.

Teorema. Nagi
- Prevіlnі dіysnі skaičiai. Tas pats sistemos išlyginimas

,
(6)

є elipsės kanoninės parametrinės išlyginimai elipsės koordinačių sistemai.

Atneša. Dosit, kad sistema būtų lygi (6) є lygi (4), tobto. smirdėti gali tą patį beasmenį sprendimą.

1) Nagi (x, y) – pakanka sistemos (6) sprendimo. Padalinkime pirmąjį lygų ant a, kitą - iš b, padalinsime lygų kvadratą ir pridėsime:

.

Tobto. ar sistemos (6) sprendinį (x, y) tenkina lygtis (4).

2) Atgal, tegul pora (x, y) є sprendimai lygūs (4), tobto.

.

Z tsієї rіvnostі viplivaє, scho taško z koordinatės
guli ant vieno spindulio ilgio, kurio centras yra ant koordinačių burbuliuko, tai yra. є trigonometrinio statymo taškas
:

Žvelgiant iš sinuso ir kosinuso taško, iš karto akivaizdu, kad

,
, de
, sekančios žvaigždės, kokia pora (x, y) yra sistemos (6) sprendiniai ir kt.

Teorema baigta.

Pagarba. Elips gali būti paimtas vienodai „suspaudus“ spindulio a kuoliuką su abscisių ašimi.

Nagi
- Sulygiuokite kuoliuką su centru ant koordinačių burbuliuko. Stulpelio „stisk“ į abscisių ašį yra ne kas kita, kaip koordinačių plokštumos transformacija, kuri vadovaujasi ateinančia taisykle. Odos taškas M(x, y) nustatomas plokštumos taške
, de
,
- „suspaudimo“ koeficientas.

Esant bet kokiai transformacijai, kuolo odos taškas „pereina“ į kitą plokštumos tašką, kuris sudaro pačią abscisę, bet sumažina ordinates. Virasimo senoji taško ordinatė per naują:

ir gali būti atstovaujama lygiomis dalimis:

.

Atkreipkite dėmesį:

. (7)

Matote, kad prieš „suspaudimo“ transformaciją taškas M (x, y) gulėjo ant kuolo, tobto. її koordinatės buvo patenkintos statymo lygiu, tada po "suspaudimo" transformacijos taškas "perėjo" į tašką
koordinates, atitinkančias elipsės išlyginimą (7). Jei norime paimti elipsės išlyginimą iš mažo pіvvіssyu b, reikia paimti suspaudimo koeficientą

.

5 punktas. Stosovno elіpsa.

Teorema. Nagi
- Gražus elipsės taškas

.

Todi lygus tsієї elіpsu taškais
gali atrodyti:

. (8)

Atneša. Pakanka pažvelgti į nuolydį, jei sukimo taškas yra pirmoje ar kitoje koordinačių plokštumos ketvirtoje:
. Elipsės išlygiavimas viršutinio aukšto viršuje gali atrodyti taip:

. (9)

Greitai suderinsime šventės grafiką
taške
:

de
- panašios funkcijos reikšmė taške
. Pirmojo ketvirčio elips gali būti vertinamas kaip funkcijų grafikas (8). Mes žinome, її pokhіdnu її, kad її znachenya taške dotik:

,

. Čia susiglaudėme, kokia prasmė kankintis
є elipsės taškas ir її koordinatės tenkina elipsės (9) išlyginimą, tai yra.

.

Pateikiame žinomą panašaus vienodo taško reikšmę (10):

,

laukiamos žvaigždės:

Garsai šaukia:

Padalinkime šį pavydą į
:

.

Praradau pagarbą, scho
, nes margas
guli ant elіpsu ir її koordinatės yra patenkintos joga lygi.

Panašiai nustatomas taško (8) išlygiavimas taške dotik, kuris yra trečiame arba ketvirtame koordinačių plokštumos ketvirtyje.

І, nareshti, lengvai perekonuєmosya, scho išlyginimas (8) suteikia taškų išlyginimą taškuose
,
:

arba
, і
arba
.

Teorema baigta.

6 punktas. Elipsės veidrodinė galia.

Teorema. Dotychna iki elіpsa gali būti lygus pjūviams su sukimo taško židinio spinduliais.

Nagi
- sukimo taškas,
,
- taško židinio spinduliai dotik, P ir Q - židinių projekcijos taške, nubrėžtos iki elipsės taške
.

Teorema tai įrodo

. (11)

Ši pusiausvyra gali būti aiškinama kaip kritimo ir šviesos fermentacijos elipsės pavidalo pusiausvyra, išlaisvinta iš jogo dėmesio. Tsya galia laimėjo elipsės veidrodinės galios pavadinimą:

Paskirkite šviesą, atleiskite nuo elipsės židinio, pamatę, kaip elipsės veidrodis praeina per kitą elipsės židinį.

Teoremos įrodymas. Norėdami įrodyti kutiv (11) lygiavertiškumą, pateikiame trikutnikovo panašumą
і
, kuria kryptimi
і
bus panašus. Oskіlki trikutnika tiesaus pjovimo, pakanka pareikšti lygiavertiškumą

. (12)

Dėl pažadinimo
- Žiūrėk nefokusuota į tašką L (pad. 7 pav.),
. Paspartinkite formulę nuo taško iki tiesės plokštumoje:

Taigi, kiek taškas yra elipsės taškas
gali atrodyti

,

,

.

Čia mes naudojome elipsės taško židinio spindulių formules (5).

Teorema baigta.

Kitas teoremos įrodymas:

,
,
- Dotic L normalusis vektorius.

. Zvidsi,
.

Panašiai mes žinome
і
, Ch.t.d.

7 punktas. Elipsės katalogai.

Paskyrimas. Elipų kryptys vadinamos dviem tiesiomis linijomis, kurios kanoninėje elipų koordinačių sistemoje gali būti lygios

arba
. (13)

Teorema. Nagi M - pakankamai elipsės taško, , - її židinio spinduliai, - Eikite iš taško M į kairę kryptį, - Į dešinę. Todi

, (14)

de - Elipsės ekscentriškumas.

Atneša.

Tegu M(x, y) – elipsės dalinio taško koordinatės. Todi

,
,

žvaigždes ir šauktis ramybės (14).

Teorema baigta.

8 punktas. Elipsės židinio parametras.

Paskyrimas. Elipsės židinio parametras yra statmens ilgis, kuris tęsiasi nuo židinio iki linijos su elipse.

Židinio parametras imamas žymimas raide.

Svarbu žinoti, koks yra židinio parametras

.

Teorema. Elipsės židinio parametras yra didesnis

. (15)

Atneša. Taigi taškas N (-c; p) yra elipso taškas
, tada її koordinatės yra patenkintos jo išlygiavimu:

.

Žvіdsi žinoti

,

žvaigždutės šalia (15).

Teorema baigta.

9 punktas. Kitas elipsės pavadinimas.

Teorema і iš 7 punkto. galite naudoti elipsą.

Paskyrimas. Elipsė yra GMT bet kokiam atstumui iki fiksuoto plokštumos taško, vadinamo židiniu, iki atstumo iki fiksuotos tiesės, vadinamos krypties, pastovios vertės, mažesnės už vieną, vadinamą ekscentriškumu:

.

Akivaizdu, kad kartais, kol eooips paskyrimas yra teorema, būtina ją iškelti.

Įėjimas

Anksčiau kitos eilės kreivės buvo susuktos vienu iš Platono mokymų. Jogo robotas įsmeigė į puolimą: jei paimsite dvi tiesias linijas, kurios yra susipynusios, ir apvyniojate jas aplink jų sukurtą kutės bisektriką, tada weide yra kūgio formos paviršius. Jei apverssite paviršių lygiu paviršiumi, perimetras skirsis geometrines figūras, Ir tos pačios virogeninių figūrų elipsės, kolo, parabolės, hiperbolės ir šprotai.

Tačiau XVII amžiuje mokslo žinios žinojo mažiau, jei paaiškėjo, kad planetos griūva elipsinėmis trajektorijomis, o harmoninis sviedinys skrenda paraboliškai. Dar blogiau pasidarė žinant, kad kūnui duoti pirmąjį skrydį į kosmosą, jis subyrės palei kuolą šalia Žemės, padidėjus vėjo tankiui - išilgai elipsės, o pasiekęs kitą kosminį lakštą, kūnas sugrius. prarasti gravitacijos lauką parabole.

Elіps ta yogo rivnyannia

Paskyrimas 1. Beasmenis taškas plokštumoje vadinamas elipsė;

Elipsės židiniai žymimi raidėmis ir tarp židinių – per, o elipsės taškų sumos iki židinio suma – per. Be to, 2a > 2c.

Kanoninis elipsės išlyginimas gali atrodyti:

de pov'yazanі mіzh i vіvnіstyu a 2 + b 2 \u003d c 2 (arba b 2 - a 2 \u003d c 2).

Dydis vadinamas didžiuoju svoriu, o mažasis elipsės svoriu.

Pavadinimas 2. Ekscentriškumas elipsė vadinamas perėjimu tarp židinių iki senosios didžiosios ašies.

Tai reiškia raide.

2a>2c susitikimų šukės, ekscentriškumas visada išreiškiamas tinkama trupmena, tai yra. .

Paskyrimas 7.1. Daug visų plokštumos taškų, bet kokiai sumai iki dviejų fiksuotų taškų F 1 ir F 2 є pateikiama pastovi reikšmė, vadinama elipsė.

Elipsės žymėjimas suteikia tokį jogos geometrinio įkvėpimo būdą. Ji fiksuota dviejų taškų F 1 ir F 2 plokštumoje, o nepastebima pastovioji reikšmė reikšminga per 2a. Pereikime tarp taškų F1 ir F2 iki 2c. Akivaizdu, kad neištemptas siūlas su dvigubu 2a yra užfiksuotas taškuose F 1 ir F 2, pavyzdžiui, už dviejų galvučių. Supratau, kad tai įmanoma tik ≥ c. Alyvuke ištraukę siūlą kirtome liniją, tarsi elipsę (7.1 pav.).

Otzhe, daugiklis nėra tuščias, yakscho a ≥ s. Kai a \u003d elips є vіdrіzok z kіntsami F 1 ir F 2, o kai c \u003d 0, tada. kur fiksuoti taškai yra fiksuoti nurodytoje elipsėje, vin yra netoli spindulio a. Atsižvelgiant į tai, kad rudenį yra virogenų, turėsime spėti, kad > z > 0.

Tvirtinimo taškai F 1 ir F 2 nurodytose 7.1 elipsėse (pad. 7.1 pav.) vadinami elipsės triukai, tarp jų, pažymėta per 2c, - židinio taškas ir rodyklės F 1 M ir F 2 M, kurios su savo židiniais pakankamai uždaro elipsės tašką M, - židinio spinduliai.

Labiau tikėtina, kad pamatysite elipsę | F 1 F 2 | \u003d 2 su і parametru a, kaip padėtis plokštumoje - taškų pora F 1 і F 2.

Elipsės žymėjimas yra aiškus, kad vena būtų simetriška, kiek tiesi, pereiti per židinius F 1 ir F 2, taip pat kaip tiesiai, kad F 1 F 2 padalijimas navp_l ir būtų statmenas joma (7.2 pav. a). Qi tiesioginis vardas elipsės ašys. Taškas O yra skersinis, elipsės simetrijos centras, o skambutis elipsės centras, O elipsės linijos taškai su simetrijos ašimis (taškai A, B, C ir D 7.2 pav., a) - elipsės viršūnės.

Pavadinkite numerį puikus pіvvіssyu elіps, ir b = √(a 2 - c 2) – joga mažas pіvvіssyu. Nesvarbu pažymėti, kad esant c > 0, atstumas iki elipsės centro yra didelis iki tyliųjų viršūnių, nes jos yra toje pačioje ašyje su elipsės židiniais (viršūnės A ir B 7.2 pav. a). ), o atstumas iki centro mažas iki dviejų kitų viršūnių (viršūnių C ir D 7.2 pav., a).

Rivnyannia elips. Pažiūrėkime į plokščią elipsę su židiniais didžiojo dangaus 2a taškuose F 1 ir F 2. Nagi 2c – židinio nuotolis, 2c = | F1F2 |

Mes pasirenkame stačiakampę koordinačių sistemą Oxy plokštumoje taip, kad burbuolės spivpav іz elipų centre, o židiniai būtų ant abscisių ašis(7.2 pav., b). Ši koordinačių sistema vadinama kanoninis analizuojamai elipsei ir kitiems pakitimams - kanoninis.

Pasirinktoje koordinačių sistemoje gali būti fokusuojamos koordinatės F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Vikoristovuyuchi formulė vіdstanі mіzh taškų, užsirašykite mintis | F 1 M | + | F 2 M | = 2a koordinatėmis:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Tsіvnyannya nėra patogu, naujajame yra du kvadratiniai radikalai. Todėl užsiimkime joga. Perkeliant į lygų (7.2) kitą radikalą y į dešinę dalį ir y žvaigždutės kvadratą:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Atidarius lanką ir atnešus panašius dodankіv otrimuєemo

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

de ε = c/a. Kvadratavimo operaciją kartojame, kad gautume i kitą radikalą: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 arba, pakeitus įvesto parametro ε reikšmę, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Skіlki a 2 - c 2 \u003d b 2\u003e 0, tada

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Išlygiavimas (7.4) atitinka visų elipsėje esančių taškų koordinates. Ale, išvedant pergalingą išlyginimą, buvo neekvivalentiškos išorinės išlyginimo (7.2) permutacijos - dvi kvadratinės grandys, kurios paima kvadratinius radikalus. Vienetai yra lygūs kvadratui є lygiaverčiai transformacijoms, todėl abiejose jo dalyse reikšmės yra tame pačiame ženkle, jie nepakeitė savo transformacijų alchemijos.

Negalime per daug galvoti apie transformacijos lygiavertiškumą, tarsi ji būtų neteisinga. Taškų pora F 1 ir F 2 | F 1 F 2 | \u003d 2c, plokštumos apibrėžia elipsių šeimą su židiniais šiuose taškuose. Plokštumos odos taškas, vіrіzka F 1 F 2 raukšlės taškas atsigulkite kaip nurodytos šeimos elpsu. Bet kuriuo metu dvi elipsės nesutampa, židinio spindulių suma vienareikšmiškai rodo konkrečią elipsę. Vėliau aprašoma elipsių šeima be tiltelių, apimanti visą plotą, tamsiai raudonas taškas F1F2. Pažvelkime į beasmenis taškus, kurių koordinatės atitinka lygiavimą (7.4) su parametro a reikšmėmis. Ką gali daug rozpodіlyatisya tarp kіlkom elipsami? Dalis daugiklio taškų guli ant elіpsu su didžiuoju pіvvіssya a. Tebūnie taškas šioje daugialypėje, kuri yra elipsėje nuo didžiosios pivvisijos. Tada taškų koordinatės yra lygios

tobto. lygiavertiškumas (7.4) ir (7.5) gali turėti didelių sprendimų. Tačiau lengva susipainioti, kad sistema

ã ≠ a sprendimo nėra. Kam pakanka įtraukti, pavyzdžiui, x iš pirmosios lygybės:

scho po perdirbimo išauklėti lygius

negali priimti sprendimo, kai ã ≠ a, šukės. Taip pat (7.4) є elipsės išlyginimas su didžiuoju pіvvіssyu a > 0 і mažasis pіvvіssyu b = √ (a 2 - c 2) > 0. į kanoninius elipso lygius.

Elipsės apžvalga. Pažangesnis geometrinis būdas skatinti elipsę suteikia pakankamai informacijos apie senamadiškas elipsė. Ale, elipso tipas gali buti isveistas ir yogo pagalba kanoninis ekvivalentas (7.4). Pavyzdžiui, atsižvelgiant į y ≥ 0, galite žiūrėti per x: y \u003d b√ (1 - x 2 / a 2), i, atlikę šią funkciją, indukuoti її grafiką. Yra dar vienas būdas sukelti elipsę. Spindulio a stulpelis, kurio centras yra elipsės (7.4) kanoninės koordinačių sistemos burbule, apibūdinamas lygybėmis x 2 + y 2 = a 2 . Kaip її išspausti, kai koeficientas a / b > 1 vzdovzh ordinačių ašys, tada nubrėžkite kreivę, kaip aprašyta x 2 + (ya/b) 2 = a 2 tada elips.

Pagarba 7.1. Kaip išspausti tą patį kiekį naudojant a / b koeficientą

Elipsės ekscentriškumas. Elipsės židinio nuotolio išplėtimas iki jogos didžiosios ašies vadinamas elipsės ekscentriškumas ir pažymėti ε. Už pateiktą elipsę

kanoninės lygybės (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Kaip (7.4) parametrai a ir b yra susiję su a nenuoseklumu

Kai c = 0, jei elіps virsta apskritimu, i ε = 0. Kitais atvejais 0

Lygtis (7.3) lygi (7.4), skeveldros lygi (7.4) ir (7.2) . Elipsa yra lygi tam (7,3). Be to, spіvvіdnoshennia (7.3) cіkave tim, scho suteikia paprastą, nereikia keršyti radikalams, formulė dozhini | F 2 M | vienas iš elipsės taško M(x; y) židinio spindulių: | F 2 M | = a + εx.

Panaši kito židinio spindulio formulė yra ta, kad jį galima atimti iš įklotų pasikartojimų simetrijos, kai pirmasis radikalas perkeliamas į dešinę pusę, o ne kitas. Taip pat bet kuriam taškui M(x; y) ant elіpsі (dal. 7.2 pav.)

|F 1 M | = a - ?x, | F 2 M | = a + εx, (7.6)

ir oda iš tsikh rivnyan є elipsė lygi.

7.1 pavyzdys. Mes žinome kanoninį elipsės išlygiavimą su didžiuoju pіvvіssyu 5 ir ekscentriškumą 0,8 ir bus jogas.

Žinodami didįjį pіvvіs elіps a = 5 ir ekscentricitetą ε = 0,8, žinome mažąjį pіvvіs b. Oskilki b \u003d √ (a 2 - z 2) ir c \u003d εa \u003d 4, tada b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Tai reiškia kanoniškai vienodą išvaizdą x 2 / 5 2 + 2 / 3 2 \u003d 1. Norėdami sukurti elipsę, rankiniu būdu nubrėžkite stačiakampį, kurio centras yra ant kanoninės koordinačių sistemos burbulo, kurio kraštinės yra lygiagrečios elipsės simetrijos ašims ir sutampa su atitinkamomis ašimis (7.4 pav.). Tsei rectocart gudrauja

elіps ašys savo viršūnėse A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), be to, pats elps turi įrašus naujoje. Ant pav. 7,4 taip pat nurodė židinius F 1,2 (±4; 0) elipsės.

Geometrinė elipsės galia. Perrašykime ankstesnę lygybę (7.6) atsižvelgiant į |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Svarbu tai, kad a / ε - x reikšmė a > h yra teigiama, bet židinys F 1 nėra elipsėje. Tsya vertė є iki vertikalios tiesės d: x \u003d a / ε taške M (x; y), kuris turėtų būti kaire ranka tiesės kryptimi. Rivnyannya elіpsa gali būti parašyta akyse

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

Tai reiškia, kad šis elіpas yra sulankstytas nuo tylių plokštumos taškų M (x; y), kuriems židinio spindulio F 1 M išplėtimas iki tiesės d yra pastovi reikšmė, kuri yra daugiau ε (7.5 pav.) .

Tiesi linija d є "dvіynik" - vertikali linija d", yra simetriška d kaip elіp centras, todėl x = -a / ε yra lygus. Nusikaltimai tiesiai d ir d pavadinimas elipsės režisieriai. Elipsės kryptys yra statmenos elipsės tiєї simetrijos ašiai, savotiškai paryškindamos židinius, ir stovi elipsės centre atstumu a/ε = a 2 /c (pav. 7.5).

Vіdstan p vіd Directrix į arčiausiai jos dėmesio vadinamas elipso židinio parametras. Šis parametras yra brangesnis

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elips yra dar vienas svarbus dalykas geometrinė galia: židinio spinduliai F 1 M ir F 2 M sumuojasi nuo taško iki elіps taške M lygūs cuti (7.6 pav.).

Tsya vlastіvіst maє naochny fіzichny zmіst. Jei fokusas F 1 turi šviesos blyksnį, tada laikas išeiti iš to židinio, pataikius į elipsę skirtingu židinio spinduliu, taigi, pataikę į vyną, pakeisime jį tuo pačiu pjūviu į kreivę, tada į smūgį. Tokiu būdu visi pokyčiai, kurie išeina iš fokuso F 1, sukoncentruojami kitame židinyje F 2 ir taip pat. Remiantis šiuo aiškinimu, autoritetai priskirti pavadinimui elipsės optinė galia.

Kreivės kitokia tvarka tiesės yra vadinamos plokščiomis, kurios yra pažymėtos lygiais, kai kuriose kintančiose koordinatėse xі yžengti žingsnį kitame žingsnyje. Prieš juos matyti elipsės, hiperbolės ir parabolės.

Žagalnas kitokios eilės kreivės vaizdas:

de A, B, C, D, E, F- skaičiai ir norintis būti vienu iš koeficientų A, B, C nelygu nuliui.

Kai tvarka pakeičiama iš kitos eilės kreivių, dažniausiai matomas kanoninis elipsės, hiperbolės ir parabolės išsidėstymas. Į juos lengva patekti į viršutinius lygius, kuriems bus priskirtas 1 užduočių su elipsėmis užpakalis.

Elips, priskyrimas kanoniniams lygiems

Paskirta elipsė. Elipsė yra bevardis trumpas plokštumos taškas, toks, esant tam tikram atstumui iki taškų, vadinamų židiniais, yra pastovi reikšmė ir didesnė, mažesnė tarp židinių.

Fokusai pažymėti kaip šiek tiek žemiau.

Kanoninis elipsės išlyginimas gali atrodyti:

de aі b (a > b) - Dovzhini pіvosey, tai yra dovzhin vіdrіzkіv pusės, kurios rodomos kaip elіps ant koordinačių ašių.

Tiesi linija, einanti per elipsės židinius, yra tokios pat simetrijos. Antroji elipsės simetrijos pusė yra tiesi, kuri eina per šonkaulio vidurį statmenai tam šonkauliui. Krapka Pro Peretin tsikh linijos yra elipsės simetrijos centras arba tiesiog elipsės centras.

Visos abscisių elipsės susipina taškuose ( a, Pro) ta (- a, Pro), o visos ordinatės – taškuose ( b, Pro) ta (- b, Pro). Taškų skaičius vadinamas elipsės viršūnėmis. Kelias tarp elipsės viršūnių abscisių ašyje vadinamas didžiuoju aukščiu, o ordinačių ašyje - mažuoju aukščiu. Iš viršaus iki elipsės centro esančios keteros vadinamos šerdimis.

Jakšo a = b, tada elipsės lygybė iš pirmo žvilgsnio išsipučia. Tsіvnyannya statymo spindulys a, A colo - okremy vipadok elіpsa. Elips gali būti paimtas nuo kuolo iki spindulio a, įspausti її a/b kartų uzdovzh ašį Ach .

1 pavyzdys. Perevіriti, chi є linija, duota neišmanantiems lygiems , elipsė.

Sprendimas. Atliekame liūdnai pagarsėjusios rivnyanijos perdirbimą. Zastosovumoly perkeliant laisvąjį narį į dešinę, narys po nario pakilo lygus vienam ir tam pačiam trupmenų skaičiui ir greičiui:

Vidpovidas. Otrimanas dėl lygybių transformacijos į elipsės kanonines lygybes. Otzhe, tsya linija - elips.

užpakalis 2. Nustatykite kanoninį elipsės išlyginimą taip, lyg tai būtų 5 ir 4.

Sprendimas. Mes stebimės kanoninės elipsės ekvivalento formule ir įsivaizduojame: Didysis pivvis - tse a= 5, mensha pіvvіs - tse b= 4. Imame kanoninį elipsės išlyginimą:

Didesnėje ašyje žaliai pažymėti taškai, de

paskambino gudrybės.

paskambino ekscentriškumas elipsė.

Nustatymas b/a apibūdina elipsės „išlyginimą“. Kas yra mažiau nei vіdnoshennia, tada stipresnis yra didžiosios ašies elіps vityagnuty vzdovzh. Tačiau elipsės kreivumo žingsniai dažnai imami suktis per ekscentriškumą, kurio formulė siūloma aukštesnė. Skirtingoms elipsėms ekscentriškumas keičiasi nuo 0 iki 1, paliekant mažiau nei vieną.

3 pavyzdys. Sulenkite kanoniškai lygią elipsę, kad gražiau matytumėte tarp židinių 8 ir dar gražiau 10.

Sprendimas. Robimo nerangus visnovki:

Jei daugiau nei pusė yra brangesnė 10, tada її pusė, tada pіvvіs a = 5 ,

Jei matote tarp triukų brangesni 8, tada skaičius c iš židinio koordinačių 4.

Pakeiskite ir apskaičiuokite:

Rezultatas yra kanoninis elipsės išlyginimas:

užpakalis 4. Nustatykite kanoninį elipsės išlyginimą, tarsi jis būtų brangesnis 26 ir ekscentriškumas.

Sprendimas. Kaip užkimimas ir nuo didesnės ašies išsiplėtimo, o nuo vienodo iki ekscentriškumo, didelė pіvvіs elіpsa a= 13. Z lygus skaičiaus orientacijai c, reikia apskaičiuoti reikalingą pinigų sumą:

.

Apskaičiuokite dozhini mažesnio dydžio kvadratą:

Sulenkiame kanoninį elipsės išlyginimą:

5 pavyzdys. Nurodykite elipsės židinį, nurodytą kanoniniais lygiais.

Sprendimas. Šalia žinoti numerį c, kuris nurodo pirmąsias elipsės židinių koordinates:

.

Pašalinkite elipsės židinį:

6 pavyzdys. Focus elіpsa roztashovanі ant ašies Jautis simetriškai koordinačių burbuolei. Sulenkite kanoninį elipsės išlyginimą taip:

1) stovėti tarp 30 židinių ir visų 34 didelių

2) mažas yra 24, o vienas iš židinių yra taške (-5; 0)

3) ekscentriškumas, o vienas iš židinių yra taške (6; 0)

Mes ir toliau vienu metu atliekame misiją elipsėje

Jei elipsės taško pakanka (ant fotelio jis pažymėtas žalia spalva viršutinėje dešinėje elipsės dalyje) ir pasiekia židinio taško centrą, tada žingsnio formulės yra šios:

Odos taško, kuris turėtų būti elipsėje, židinio taškų skaičiaus suma yra pastovi reikšmė, lygi 2 a.

Tiesus, o tai reiškia lygus

paskambino režisieriai elіpsa (ant fotelio - raudonos linijos išilgai kraštų).

Iš dviejų vishchenovednyh yra lygus vyplyvay, scho bet kuriam elipsės taškui

,

de і - pašalinkite tsієї taškus į kryptį і.

7 pavyzdys. Danius Elips. Paguldykite jogos direktores.

Sprendimas. Stebimės režisierių lygmeniu ir matome, kad reikia žinoti elipsės, tobto ekscentriškumą. Usі duomenys tsgogo є. Mes skaičiuojame:

.

Atsižvelgiame į vienodus elipsės katalogus:

8 pavyzdys. Sulenkite elipsę kanoniškai tolygiai, tarsi su židiniais – taškais, o režisieriais – tiesiomis linijomis.