Niz se zove beskonačno velik. Beskonačno male i beskonačno velike funkcije

Def.: funkcija se poziva beskrajno mali pazi, yakscho .

Na unosu "" to ćemo dopustiti x0 možete to uzeti kao kíntseve značenje: x0= konst, Dakle i bez kože: x0= ∞.

Moć beskonačno malih funkcija:

1) Algebarski zbroj konačnog broja je beskonačno mali za funkcije i beskonačno mali za funkcije.

2) Twir posljednjeg broja je beskonačno mali za funkcije i beskonačno mali za funkcije.

3) Tvír zamezhennuyu funkcija na beskonačno maloj funkciji ê beskonačno mala funkcija.

4) Dio dijeljenja je beskonačno mali u slučaju funkcije na funkciji između kojih je virtualna nula, a beskonačno je mali u slučaju funkcije.

guzicom: funkcija y = 2 + xê beskonačno mali na, da.

Def.: funkcija se poziva beskrajno velik pazi, yakscho .

Snaga beskonačno velikih funkcija:

1) Zbroj neumoljivo velikog u slučaju funkcija je neumoljivo velik u slučaju funkcije.

2) Twír beskonačno veliko u slučaju funkcije na funkciji, između kojih je isto što i nula, i beskonačno veliko u slučaju funkcije.

3) Zbroj je beskonačno velik s funkcijom, a opisana funkcija je beskonačno velika funkcija.

4) Dio dijeljenja koji je beskonačno velik u funkciji funkcije, koji može biti kraj granice, beskonačno je velik u funkciji.

guzicom: funkcija y\u003d Ê beskrajno velik u tome .

Teorema.Veza između beskonačno malih i beskonačno velikih veličina. Ako je funkcija beskonačno mala pri, tada je funkcija beskonačno velika pri. Í natrag, ako je funkcija beskonačno velika at, tada je funkcija beskonačno mala at.

Rođenje dvoje beskonačno malih uzima se za simbol, dva beskrajno velika - za simbol. Uvrijeđeni bluesom, oni su nevidljivi u tom smislu, koji se može koristiti kao granica, pa se ne može koristiti, ali biti jednak stvarnom broju, ili biti neiscrpan u ugaru u obliku specifičnih funkcija, koje su uključeni u nevidljive razlike.

Zločin nebitnosti za um i nevažnosti ê so virazi:

Maloprodaja beskrajno velikih proizvoda istog znaka;

Tvír beskonačno mali do beskonačno velik;

Funkcija koraka prikaza, čija je osnova do 1, a indikator - do;

Show-step funkcija, čija je osnova beskonačno mala, a showman beskrajno velik;

Show-stepping funkcija, pidstava i pokaznik yakoí̈ ê beskonačno mali;

Funkcija show-step, čija je osnova beskrajno velika, a showman beskrajno mali.

Čini se da postoji mjesto beznačajnosti očitog uma. Izračun međunaziva u njihovim kategorijama otvorenost prema beznačajnosti. Za otkrivanje beznačajnosti viraza, koji stoji pod znakom granice, preobrazite se u izgled, koji ne osvećuje beznačajnost.

Kad se broji između vikista, moć između, kao i moć beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija.

Pogledajmo izračun razlike između.

1) . 2) .

4) , Budući da je tvir beskonačno mala funkcija kada se funkcija mijenja ê beskonačno mali.

5) . 6) .

7) = =

. U ovoj situaciji malo je prostora za beznačajnost tipa, koliko je bilo moguće proširiti uz pomoć rasporeda polinoma u množitelje i kratkoće u divlji množitelj.

= .

U ovoj situaciji, malo je prostora za beznačajnost tipa, koliko se moglo proširiti uz pomoć množenja broja i zastave na virazu, pobjedničkoj formuli i dalekom kratkom razlomku na (+ 1).

9)
. U tom je kundaku neznatnost tipa bule otvorio rozpodilom broja i zastava razlomka na seniorskoj stepenici.

čudesne granice

Prva čudesna granica : .

Dovođenje. Pogledajmo jedan krug (slika 3).

sl.3. jednobojno

dođi x- Radianna svijeta središnjeg kuta MOA(), Todi OA = R= 1, MK= grijeh x, NA=tg x. Porívnyuyuchi trg trikutnikov OMA, OTA i sektori OMA, Uzimamo:

,

.

Ostatak nervoze podijelimo na grijeh x, Uzimamo:

.

Tako kao kad, onda prema moći 5) između

Zvídki i zvorotna vrijednost na, scho th je bio dužan donijeti.

poštovanje: Kao funkcija, on je beskonačno mali at, tobto , Tada prva čudesna granica može izgledati:

.

Pogledajte računicu između pobjeda prve čudesne zemlje.

Prilikom izračuna cijene između vrijednosti izračunata je trigonometrijska formula: .

.

Pogledajmo kalkulaciju između pobjeda još jedne čudesne zemlje.

2) .

3) . Postoji mjesto beznačajnog tipa. Zrobimo zaminu, dakle; na.

funkcija se poziva beskonačno mali pri
ili kod
, Kao
ili
.

Na primjer: funkcija
beskonačno mali pri
; funkcija
beskonačno mali pri
.

Poštovanje 1. Nije moguće imenovati nijednu funkciju bez umetanja izravno u argument beskonačno malog. Da, funkcija
na
ê beskonačno mali, a kada
neće biti premali (
).

Poštovanje 2. Iz definicije granica funkcije u točki, za beskonačno male funkcije, smatra se neravnina
.Cim činjenica mi nadí bit ćemo opetovano koristuvatisya.

Stavimo neke važne stvari moć beskonačno malih funkcija.

teorema (O poveznici funkcije, í̈í između i beskonačno mala): Što je funkcija
može se predstaviti na vidiku zbroja brzog broja A i beskonačno male funkcije
na
, zatim broj

Završeno:

Imajte na umu teoreme, očito je da funkcija
.

znamo svídsi
:
. funkcija kapice
neumoljivo malen, pošteno je za nju
, Isto za izraz (
) Nerívníst također pobjeđuje

A tse to znači
.

teorema (Zvorotna): yakscho
, zatim funkcija
mozhe buti predstavljen je brojem vilyadí sumi A i neumoljivo malen kod
funkcije
, Tobto
.

Završeno:

pa jak
, zatim za
nerívníst
(*) Pogledajmo funkciju
poput jedinstva i nedosljednosti (*) prepisane na vidiku

Od ostatka neravnine, vrijednost (
) Ê beskrajno mali at
. suvislo í̈í̈
.

Zvijezde
. Teorem je dovršen.

teorem 1 . Algebarski zbroj konačnog broja beskonačno malih funkcija je beskonačno mala funkcija.

Završeno:

Provedimo dokaz za dva dodankív, tako da će se za bilo koji konačni broj dodankív inducirati slično.

dođi
і
beskonačno mali pri
funkcije i
- zbroj funkcija. Javite nam zbog čega
, Koristan
Ono što je za svakoga xŠto zadovoljava nervozu
,
.

Dakle, kao funkcija
beskonačno mala funkcija,
Ono što je za svakoga
nerívníst
.

Dakle, kao funkcija
beskonačno mala funkcija,
, I također Ono što je za svakoga
nerívníst
.

uzmi jednak najmanjem broju і , Todi u - susjedstvo točke a bit će nervoza
,
.

Funkcije modula za pohranu
i možemo procijeniti njegov značaj.

Tobto
, Tada je funkcija beskonačno mala, ono što je bilo potrebno donijeti.

Teorem 2. Twir beskonačno male funkcije
na
na razmijenjenu funkciju
ê beskonačno mala funkcija.

Završeno:

Dakle, kao funkcija
resasti, onda je i to pozitivan broj
Ono što je za svakoga nerívníst
.

Dakle, kao funkcija
beskonačno mali pri
, onda - susjedstvo točke Ono što je za svakoga Susjedstvo
.

Pogledajmo funkciju
procjenjujem njen modul

Otzhe
, I onda
- nevjerojatno malen.

Teorem je dovršen.

Teorija o granicama.

Teorem 1. Između algebarskog zbroja konačnog broja funkcija

Završeno:

Da biste to dokazali, pogledajte dvije funkcije, bez uništavanja integriteta svijeta.

dođi
,
.

Prema teoremu o povezivanju funkcija, njezina između i beskonačno male funkcije
і
možete zamisliti
de
і
- beskonačno mali pri
.

Znamo zbroj funkcija
і

veličina
ê konstantna vrijednost,
- vrijednost je beskonačno mala. Dakle, funkcija
predstavljeno naizgled zbrojem konstantne veličine i beskonačno male funkcije.

isti broj
ê granična funkcija
, Tobto

Teorem je dovršen.

teorem 2 . Kreirajte između zadnjeg broja funkcija

Završeno:

Bez uništavanja integriteta zrcala, izvest ćemo dokaz za dvije funkcije
і
.

Hajde hajde
,

Upoznajte svoje TV funkcije
і

veličina
ê konstantna vrijednost, beskonačno mala funkcija. Otac, broj
ê granična funkcija
, Tobto poštena ekvivalentnost

posljedica:
.

Teorem 3. Granica između privatne dvije funkcije ista je kao i privatna između ovih funkcija, poput granice između standarda vídmínny víd nula

.

Dokaz: Hajde
,

također
,
.

znamo privatno a nad njim lebdimo za djela iste preobrazbe

veličina brzo, suho
neumoljivo malen. Oče, funkcija predstavljen naizgled zbrojem konstantnog broja i beskonačno male funkcije.

također
.

Poštovanje. Teoreme 1-3 dovedene su do točke
. Međutim, smrad može ustajati kada
, Oskílki provedennya teoremi na isti način treba provesti na sličan način.

Na primjer. Znati između:

Prvo i druga čuda između.

funkcija nije dodijeljen na
. Međutim, njene vrijednosti u blizini nulte točke su jasne. Stoga možete vidjeti između funkcija
. Qia između zvonjenja prvi čudesno između .

Vin može izgledati:
.

na primjer . Upoznajte granice: 1.
. označavati
, Kao
, onda
.
; 2.
. Prepravimo ovaj izraz tako da granica zvoni do prve čudesne granice.
; 3..

Pogledajmo promjenu veličine uma
, u yakíy prihvatiti vrijednosti prirodnih brojeva po redoslijedu njihovog rasta. damo različita značenja: yakscho

davanje nadolazeća značenja iz bezličnog
, Nije važno pričati, scho viraz
na
htjeti
. Više od toga, da se donese, scho
može biti između. Qia između je označena slovom :
.

broj iracionalno:
.

Pogledajmo sada međufunkcije
na
. Granica se zove još jedna čudesna granica

Vín maê vyglyad
.

Na primjer.

a)
. viraz
umjesto kreativnosti isti suputnici
, Zastosuêmo teorem o stvaranju granice i još jedne čudesne granice; b)
. odgovarati
, onda
,
.

Još jedna čudesna granica vikoristovuêtsya u zadaci o neprekidnom nakupljanju vode

Kada zarađujete novčane prihode za depozite, oni su često pokriveni formulom preklapanja prihoda, kao što vidim:

,

de - depozit klipa,

- banka banka vídsotok,

- broj narahuvan vídsotkív po rík,

- sat, u stijenama.

Međutim, u teorijskim studijama, kada se zaokružuju odluke o ulaganju, one su često obuhvaćene formulom eksponencijalnog (pokaznog) zakona rasta

.

Formula za pokazivanje zakona rasta oduzeta je kao rezultat slaganja još jedne divne zemlje u formulu za sklapanje prozora

Neprekidne funkcije.

Pogledajmo funkciju
pjevati u deakíy točki ja deyakomu blizu točke . Neka funkcija ima vrijednost u točki
.

Funkcija 1. Funkcija
pozvao neprekinut do točke , kao što je prikazano u blizini točke, uključujući samu točku i
.

Značenje kontinuiteta može se drugačije formulirati.

neka funkcija
dodijeljen po stvarnoj vrijednosti ,
. kao argument dati povećanje
, zatim funkcija za dobivanje zbílshennya

Neka funkcija ide do točke nepostojan (zbog prve oznake nepostojanosti funkcije u točki),

Budući da funkcija nije prekinuta u točki , zatim beskonačno mali porast argumenta
u ovoj točki pokazuje beskonačno mali porast funkcije.

To je poštena i nepovratna tvrdnja: ako beskonačno mali porast argumenta rezultira beskonačno malim povećanjem funkcije, tada se funkcija ne prekida.

Funkcija 2. Funkcija
naziva se neprekidnim kada
(Do točke );
.

Gledajući unatrag na prvo i drugo, važnost neprekidne funkcije u točki može se uzeti u obzir kada dođe do stvrdnjavanja:

ili
, pivo
, onda
.

Također, kako bi se znala razlika između non-stop funkcije kada
dodaj analitičkom prikazu funkcije zamijeni argument Pošaljite svoje značenje .

Imenovanje 3. Funkcija, bez prekida u koži točka aktivnog područja se zove neprekinuto u ovoj regiji.

na primjer:

Primjer 1. Donesite što je funkcija
kontinuirano je na svim točkama odredišnog područja.

Ubrzavamo na druge dodjele kontinuiteta funkcije do točke. Za koga je moguće uzeti vrijednost argumenta i damo youmu inkrement
. Poznajemo inkrementalnu funkciju

Primjer 2. Donesite što je funkcija
nekontinuirano u svim točkama h
.

damo argument prirast
, Ista funkcija za povećanje

To znamo kao funkciju
, Tobto je resast.

Slično, može se zaključiti da su sve glavne elementarne funkcije neprekidne u svim točkama područja njihove dodjele, tako da se područje dodjele elementarne funkcije proširuje iz područja kontinuiteta.

Imenovanje 4. Koja je funkcija
kontinuirano u točki kože trenutnog intervala
, zatim recite da je funkcija nestalna na ovom intervalu.

Značenje te moći je beskonačno malo i beskrajno veliko funkcionira do točke. Dokažite potencije i teoreme. Veza između beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija.

zmist

Div. također: Neoprostivo male posljedice – imenovanje i vlast
Moć beskrajno velikih sekvenci

Označene beskonačno male i beskonačno velike funkcije

javi mi x 0 ê krajnja ili beskonačno udaljena točka: ∞, -∞ ili + ∞.

Određene beskonačno male funkcije
funkcija α (X) pozvao beskrajno mali na x pragne do x 0 0 , Í on dorivnuê nulu:
.

Određen beskonačno velikom funkcijom
funkcija f (X) pozvao beskrajno velik na x pragne do x 0 , Kako funkcija može biti između kao x → x 0 , ja vin dorivnyu neskíchennosti:
.

Snaga beskonačno malih funkcija

Snaga zbroja, maloprodaje i dobutku beskonačno malih funkcija

Količina, maloprodaja i TV krajnji broj beskonačno malih funkcija kao x → x 0 ê beskonačno mala funkcija kao x → x 0 .

Tsya snaga je izravni potomak aritmetičkih snaga između funkcija.

Teorem o twir-u funkcije koja se svodi na beskonačno malu

TV funkcije na deakíy probušenoj periferiji točke x 0 , Beskonačno mali, kao x → x 0 , Ê beskonačno mala funkcija kao x → x 0 .

Snaga o zadanoj funkciji pri pogledu na zbroj stalnih i beskonačno malih funkcija

Da bi funkcija f (X) mala međa granica, nužna i dovoljna, schob
,
de - beskonačno mala funkcija kao x → x 0 .

Snaga beskonačno velikih funkcija

Teorem o zbroju ograničene funkcije i beskonačno velike

Zbroj ili razlika obrubljene funkcije, na stvarnom probušenom rubu točke x 0 , I beskonačno velika funkcija, kao x → x 0 , Ê beskonačno velika funkcija kao x → x 0 .

Teorem o privatnom pogledu dijeljenja funkcije podskupa na beskonačno veliku

Kao funkcija f (X)ê beskonačno veliko kao x → x 0 , A funkcija g (X)- omeđen deakíy probušenim rubom točke x 0 , onda
.

Teorem o privatnom pogledu na podjelu funkcije svedene odozdo na beskonačno malu

Isto tako, funkcija je, na stvarnoj probušenoj točki blizu točke, okružena pozitivnim brojem odozdo u apsolutnoj vrijednosti:
,
a funkcija je beskonačno mala kao x → x 0 :
,
i ísnuê probušen blizu točke, na yakíy, zatim
.

Moć nedosljednosti beskonačno velikih funkcija

Ova je funkcija beskrajno izvrsna u:
,
i funkcije i, na stvarnom probušenom oko točke, točke su zadovoljne neravninama:
,
tada je funkcija također beskonačno velika za:
.

Tse vlastíst maê dva okremih vpadki.

Hajde, na deyakíy probušenoj periferiji točke, funkcije i zadovolji nedosljednosti:
.
Bilo kako bilo, onda ja.
Yakscho, zatim ja.

Veza između beskonačno velikih i beskonačno malih funkcija

Od dvije frontalne moći, postoji snažna veza između beskonačno velikih i beskonačno malih funkcija.

Ako je funkcija beskonačno velika pri, tada je funkcija beskonačno mala pri.

Ako je funkcija beskonačno mala na, i, tada je funkcija beskonačno velika na.

Veza između beskonačno male i beskonačno velike funkcije može se objesiti simboličkim redoslijedom:
, .

Budući da funkcija ima beskonačno mali predznak at, koji je pozitivan (ili negativan) na stvarnom probušenom području oko točke, može se napisati na sljedeći način:
.
Točno na isti način, funkcija glavnog znaka at je beskonačno velika, a zatim napišite:
, Abo.

Ista simbolička veza između beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija može se nadopuniti uvredljivim spivdenima:
, ,
, .

Dodatne formule koje povezuju simbole nedosljednosti mogu se naći sa strane
"Beskonačno u daljini točaka i njihova moć".

Dokaz potencija i teorema

Dokaz teorema o twir-u funkcije koja se svodi na beskonačno malu

Kako bismo teorem iznijeli u prvi plan, ubrzat ćemo ga. I također pobjednička snaga bezbroj malih sekvenci,

Neka je funkcija beskonačno mala na, a funkcija je okružena probijenim područjem oko točke:
na.

Krhotine granice, zatim točka oko točke je probušena, na kojoj je dodijeljena funkcija. Neka ê peretin oko i. Isto za dodijeljenu funkciju i.

.
,
niz je beskonačno mali:
.

Ubrzajmo taj twir opisanog niza na beskonačno malom i beskonačno malom nizu:
.
.

Teorem je dovršen.

Dokaz moći o davanju funkcije naizgled zbroju trajnih i beskonačno malih funkcija

nužnost. Neka je funkcija na točki kraja granice
.
Pogledajmo funkciju:
.
Vikoristička snaga između različitih funkcija, možda:
.
To je beskonačno mala funkcija u.

dostatnost. ajde ja. Ovisno o snazi ​​između zbroja funkcija:
.

Snaga donesena.

Dokaz teorema o zbroju ograničene funkcije i beskonačno velike

Da bismo doveli teorem, brzo smo postavili granice funkcije prema Heineu

na.

Krhotine granice, zatim točka oko točke je probušena, za koju je dodijeljena funkcija. Neka ê peretin oko i. Isto za dodijeljenu funkciju i.

Neka bude dovoljno niza koji konvergira elementima koji leže okolo:
.
Todi je odredio sekvencu i. Štoviše, slijed je obmezhenoy:
,
niz je beskonačno velik:
.

Oskílki suma ili roznitsa zamezhena sledovnosti i beskrajno velik
.
Todí, zgídno z termini između sekvenci iz Heinea,
.

Teorem je dovršen.

Dokaz teorema o privatnom pogledu dijeljenja funkcije podskupa na beskonačno veliku

Radi dokaza, ubrzavamo označavanje granica funkcije prema Heineu. To je također pobjeda za moć beskonačno velikih sekvenci, zgídno z yakim i beskonačno male sekvence.

Neka je funkcija beskonačno velika pri, a funkcija je okružena probijenim područjem oko točke:
na.

Ako je funkcija neumoljivo velika, tada je točka oko točke probijena, na kojoj je označena i ne okreće se na nulu:
na.
Neka ê peretin oko i. Isto za dodijeljenu funkciju i.

Neka bude dovoljno niza koji konvergira elementima koji leže okolo:
.
Todi je odredio sekvencu i. Štoviše, slijed je obmezhenoy:
,
niz je beskonačno velik s vodećim nultim članovima:
, .

Krhotine dijela u udaljenosti opisanog niza na beskonačno velikom i beskonačno malom nizu, zatim
.
Todí, zgídno z termini između sekvenci iz Heinea,
.

Teorem je dovršen.

Dokaz teorema o privatnom pogledu na podjelu funkcije podijeljene odozdo na beskonačno malu

Da bismo dokazali tu moć, brzo smo postavili granice funkcije prema Heineu. Dakle, pobjednička snaga beskonačno velikih sekvenci velika sukcesija.

Neka je funkcija beskonačno mala na, a funkcija je u apsolutnoj vrijednosti odozdo okružena pozitivnim brojem, na probušenoj točki bez kiseline oko točke:
na.

Iza uma je probušena točka oko točke kojoj je funkcija dodijeljena i ne prelazi na nulu:
na.
Neka ê peretin oko i. Isto za dodijeljenu funkciju i. I zašto ja.

Neka bude dovoljno niza koji konvergira elementima koji leže okolo:
.
Todi je odredio sekvencu i. Štoviše, slijed je obrubljen odozdo:
,
a niz je neumoljivo mali s identičnim nultim članovima:
, .

Oskílki chastka víd dílennya zamezhennya znídovností na neskíchenno mali ê neskíchenno veliki sledovnistyu, zatim
.
I neka bude probušena blizu vrha, na yakíy
na.

Vízmemo dovílnu sledovníst, scho konvergiraju u. Todi, počevši od deyakogo broja N, elementi niza će ležati pored:
na.
također
na.

Zgídno z vznachennyam granične funkcije prema Heineu,
.
Todí za snagu nedosljednosti beskonačno velikih sekvenci,
.
Dovoljno je Oskílki sekvenciranje koje konvergira do, zatim izvan određenih granica funkcije prema Heineu,
.

Snaga donesena.

Wikoristan literatura:
L.D. Kudryavtsev. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.

Div. također:

Brojeći bezbroj malih i velikih

Izračun beskonačno malog- Izračun, varijabilnost s beskonačno malim vrijednostima, s tako lošim rezultatom, izgleda kao beskonačan zbroj beskonačno malih. Proračun beskonačno malih količina ê duboko razumijevanje za diferencijalne i integralne brojeve, koji čine osnovu moderne više matematike. Koncept beskonačno male veličine usko je povezan s razumijevanjem granice.

nevjerojatno malen

sukcesija a n pozvao beskrajno mali, Yakscho. Na primjer, niz brojeva je beskonačno mali.

funkcija se poziva beskonačno mali u blizini točke x 0, da .

funkcija se poziva beskonačno mali na beskonačno mali, Kao ili .

To je također beskonačno mala funkcija, koja predstavlja razliku u funkcijama i njeno između, tako da , onda f(x) − a = α( x) , .

Neumoljivo velika vrijednost

sukcesija a n pozvao beskrajno velik, Kao .

funkcija se poziva beskrajno velika u blizini točke x 0, da .

funkcija se poziva neumoljivo velik na neumoljivosti, Kao ili .

U svim načinima, dešnjak je, zbog ekvivalencije, na rubu pjevačkog znaka (bilo "plus", ili "minus"). Tobto, na primjer, funkcija x grijeh x nije nezamislivo sjajan u.

Moć beskonačno malog i beskonačno velikog

Uparivanje beskonačno malih količina

Kako uskladiti beskonačno male količine?
Postavljanje beskonačno malih vrijednosti čini ga takozvanim beznačajnim.

ugovoreni sastanak

Pretpostavimo da imamo ê beskonačno malo za jednu te istu vrijednost α ( x) І β ( x) (U suprotnom, ako nema smisla za imenovanje, postoje beskonačno male sekvence).

Za izračun sličnih brojeva lako je koristiti Lopitalovo pravilo.

primijeniti par

Do pobjeda Pro-u ofenzivi se mogu ispisati simboli poništavanja rezultata x 5 = o(x 3). U ovom slučaju, evidencija je poštena 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

ekvivalentne vrijednosti

ugovoreni sastanak

Međutim, beskonačno male količine α i β nazivaju se ekvivalent ().
Očito je da će se ekvivalentne vrijednosti ê zvati niz beskonačno malih vrijednosti istog reda veličine.

S poštenim početkom spivvídnoshnja ekvivalentnosti:,, .

teorema

Granica između privatne (vidljivo plave) dvije beskonačno male količine ne može se promijeniti, tako da jednu od njih (ili uvredljivu) treba zamijeniti ekvivalentnom vrijednošću.

Dat je teorem koji je od praktične važnosti kada je razlika između (razd. Primijenjeno).

victoria guza

zamjenjujući sin 2x ekvivalentna vrijednost 2 x, uzimamo

povijesni crtež

Koncept "izuzetno malog" o kojemu se raspravljalo u antici u sprezi s konceptom nekonzistentnih atoma, nije dospio u klasičnu matematiku. Ponovno je rođen pojavom u 16. stoljeću “nepravilne metode” - lomljenja starog lika na beskonačno maloj peretini.

U 17. stoljeću uvedena je algebraizacija brojanja beskonačno malog. Smrad se počeo pojavljivati ​​kao brojčana vrijednost, manja od bilo koje krajnje (ne-nulte) vrijednosti, a opet nije jednaka nuli. Znanost analize stavljena je u presavijeni spívvídshennya, scho da se osveti beskonačno malenim (diferencijali), a zatim - u integraciji joge.

Matematičari stare škole dali su koncept nevjerojatno malen oštre kritike. Michel Rolle je napisao da je novi doslovni broj “ zbirka briljantnih oprosta»; Voltaire, izvanredno poštujući da je brojanje umjetnost brojanja i preciznog simuliranja govora, čija se osnova ne može iznijeti na vidjelo. Navit Huygens je znao da ne razumije smisao razlika viših redova.

Kao ironija, može se pogledati pojava usred stoljeća nestandardne analize, što će reći da primarna točka zore - zapravo ne premala - također nije vrhunska i da bi se mogla staviti u osnovu analize.

Div. također

Zaklada Wikimedia. Rock iz 2010.

Pitam se što je "nevjerojatno sjajno" u drugim rječnicima:

Promijenjena vrijednost Y, obrnuta beskonačno mala vrijednost X, tako da je Y = 1 / X ... Veliki enciklopedijski rječnik

Promijenjena vrijednost y, obrnuta beskonačno mala vrijednost x, tako da je y = 1 / x. * * * NEVJEROJATNO ODLIČNO NEVJEROJATNO SJAJNO, varijabla Y vrijednost, obrnuta beskonačno mala vrijednost X, zatim Y = 1 / X ... enciklopedijski rječnik

U matematici, vrijednost promjene, kao u danom procesu promjene, postaje i prevladava u apsolutnoj vrijednosti više od bilo kojeg danog broja unaprijed. Vivchennya B. b. vrijednosti se mogu dovesti do granice beskonačno malih (Div. ... ... Velika Radijanska enciklopedija

Beskonačno male funkcije

Poziva se funkcija %% f (x) %%. beskrajno mali(B.m.) na %% x \ do a \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, čak i ako je argument između funkcija jednak nuli.

Razumjeti b.m. funkcije su neraskidivo povezane sa zadacima o promjeni argumenta. Možete govoriti o b.m. funkcije za %% a \ do a + 0 %% i za %% a \ do a - 0 %%. Prsten b.m. funkcije označavaju prva slova grčke abecede %% \ alpha, \ beta, \ gamma, \ ldots %%

primijeniti

1. Funkcija %% f (x) = x %% ê b.m. na %% x \ do 0 %%, skaliranje njezinog sučelja na %% a = 0 %% na nulu. Zgídno z teorem o vezama dvostranog međusučelja s jednostranim funkcijama - b.m. kao sa %% x \ do + 0 %%, tako i sa %% x \ do -0 %%.
2. Funkcija %% f (x) = 1 / (x ^ 2) %% - b.m. sa %% x \ do \ infty %% (i također sa %% x \ to + \ infty %% i sa %% x \ do - \ infty %%).

Vidjeti nulu je konstantan broj, kao da nije mali za apsolutne vrijednosti, a ne ê b.m. funkcija. Za konstantan broj trsova, postaje manji od nule;

teorema

Funkcija %% f (x) %% max u točki %% a \ in \ overline (\ mathbb (R)) dodaj zbroj broja %% b %% i b.m. funkcije %% \ alpha (x) %% za %% x \ do %%, ili $$ \ postoji ~ \ lim \ limits_ (x \ do a) (f (x)) = b \ in \ mathbb (R )\Leftrightarrow \left(f(x)=b+\alpha(x)\right)\land\left(\lim\limits_(x\to a)(\alpha(x)=0)\right). $$

Snaga beskonačno malih funkcija

Za pravila graničnog prijelaza za %% c_k = 1 ~ \ forall k = \ overline (1, m), m \ in \ mathbb (N) %%, slijede sljedeće izjave:

1. Zbroj krajnjeg broja b.m. funkcije na %% x \ do a %% ê b.m. na %% x \ do a %%.
2. Tvir be-koji broj b.m. funkcije na %% x \ do a %% ê b.m. na %% x \ do a %%.

Tvir b.m. funkcije na %% x \ do a %% i funkcije, isprepletene u stvarnom probušenom području %% \ stackrel (\ circ) (\ tekst (U)) (a) %% točaka a, ê b.m. na %% x \ na %% funkciju.

Jasno je da tvir stalne funkcije i b.m. na %% x \ do a %% ê b.m. funkcija na %% x \ do a %%.

Ekvivalentne beskonačno male funkcije

Beskonačno male funkcije %% \ alpha (x), \ beta (x) %% za %% x \ do %% nazivaju se ekvivalent i je napisano %% \ alpha (x) \ sim \ beta (x) %%, t.j.

$$ \lim \limits_ (x \to a) (\frac (\alpha (x)) (\beta (x))) = \lim \limits_ (x \to a) (\frac (\beta (x) )(\alpha(x))) = 1.$$

Teorem o zamjeni b.m. funkcije ekvivalentne

Neka %% \alpha (x), \alpha_1 (x), \beta (x), \beta_1 (x) %% - b.m. funkcije za %% x \ do a %%, i %% \ alpha (x) \ sim \ alpha_1 (x); \ Beta (x) \ sim \ beta_1 (x) %% zatim $$ \ lim \ limits_ (x \ do a) (\frac (\alpha (x)) (\beta (x))) = \lim \ limits_ (x\to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Ekvivalent b.m. funkcije.

Neka %% \ alfa (x) %% - b.m. funkcija na %% x \ do a %%, tada

1. %%\sin(\alpha(x))\sim\alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 -\cos(\alpha(x))\sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan\alpha(x)\sim\alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x)\sim\alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x)\sim\alpha(x)%%
6. %%\ln(1+\alpha(x))\sim\alpha(x)%%
7. %%\displaystyle \sqrt[n](1+\alpha(x)) - 1\sim\frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x))-1\sim\alpha(x)\ln(a)%%

guzicom

$$\begin(niz)(ll)\lim\limits_(x\to 0)(\frac(\ln\cos x)(\sqrt(1+x^2)-1))&=\lim\limits_ (x \ do 0) (\frac (\ln (1 + (\cos x - 1))) (\frac (x^2) (4))) = \\ & = \lim \limits_(x \to 0)(\frac (4(\cos x - 1))(x^2)) = \\&=\lim \limits_(x\to 0)(-\frac(4x^2)(2x^ 2) ) = -2 \ kraj (niz) $$

Beskonačno sjajne funkcije

Poziva se funkcija %% f (x) %%. beskrajno velik(B.B.) s %% x \ na \ u \ precrtaj (\ mathbb (R)) %%, tako da s ovim valjanim argumentom funkcija ne može precrtati.

Slično kao i b.m. funkcije razumijevanja B.B. funkcije su neraskidivo povezane sa zadacima o promjeni argumenta. Možete pričati o B.B. funkcije na %% x \ do a + 0 %% i %% x \ do a - 0 %%. Izraz "nevjerojatno velik" ne govori o apsolutnom značenju funkcije, već o prirodi promjene u blizini dane točke. Nema konstantnog broja, ma koliko velik nije bio za apsolutne vrijednosti, ne beskonačno velik.

primijeniti

1. Funkcija %% f (x) = 1 / x %% - B.B. na %% x \ do 0 %%.
2. Funkcija %% f (x) = x %% - B.B. na %%x\do\infty %%.

Ako ste viconan, razmislite o $$ \begin(array)(l)\lim\limits_(x\to a)(f(x))=+\infty,\\\lim\limits_(x\to a )(f( x)) = - \infty, \end(niz)$$

onda razgovarajte o pozitivan ili negativan B.B. kod %% a %% funkcije.

guzicom

Funkcija %% 1 / (x ^ 2) %% - pozitivno B.B. na %% x \ do 0 %%.

Zvyazok mizh B.B. ja b.m. funkcije

Yakscho %%f(x)%% - B.B. s %% x \ na %% funkciju, zatim %% 1 / f (x) %% - b.m.

na %% x \ do a %%. Yakscho %% \ alfa (x) %% - b.m. na %% x \ do %% funkcije, vídmínna vídnna vídní nula do deykoí̈ probušena noí̈ točka %% a %%, zatim %% 1 / \ alfa (x) %% - B.B. na %% x \ do a %%.

Snaga beskonačno velikih funkcija

Predstavljamo koplje autoriteta B.B. funkcije. Cí vlasti bez posrednika cvile od imenovanja B.B. funkcije i dominaciju funkcija, koje mogu povući konačne granice, kao i teoreme o vezama između B.B. ja b.m. funkcije.

1. Tvir posljednjeg broja B.B. funkcije na %% x \ do a %% ê B.B. funkcija na %% x \ do a %%. U redu, dakle %% f_k(x), k = \overline(1, n) %% - B.B. funkcija na %% x \ do a %%, zatim u stvarnom probušenom području oko točke %% a %% %% f_k (x) \ ne 0 %%, i prema teoremu o poveznicama B.B. ja b.m. funkcije %% 1 / f_k (x) %% - b.m. funkcija na %% x \ do a %%. Izađite %%\displaystyle \prod ^(n)_(k=1)1/f_k(x)%% - B.M funkcija na %%x\na %% i %%\displaystyle \prod ^(n) _ (k = 1) f_k (x) %% - BB funkcija na %% x \ do a %%.
2. Tvir B.B. funkcije na %% x \ do a %% i funkcije, kao u stvarnom probušenom u blizini točke %% a %% za apsolutne vrijednosti veće od pozitivne konstante, ê B.B. funkcija na %% x \ do a %%. Zokrema, TVir B.B. funkcije na %% x \ do a %% i funkcije koje mogu biti u točki %% a %% konačnoj granici koja nije nula, bit će B.B. funkcija na %% x \ do a %%.

Količina razmijenjene u deakíy probijena blizu točke %% a %% funkcije i B.B. funkcije na %% x \ do a %% ê B.B. funkcija na %% x \ do a %%.

Na primjer, funkcije %% x - \ sin x %% i %% x + \ cos x %% - B.B. na %%x\do\infty %%.

3. Suma dva B.B. funkcije na %% x \ do a %% ê beznačajnost. Zalezhno u obliku znaka dodankiva, priroda promjene takve sume može biti najviše manipulativna.

   guzicom

   Zadajmo funkciju %% f (x) = x, g (x) = 2x, h (x) = -x, v (x) = x + \ sin x %% - B.B. funkcionira na %% x \ do \ infty %%. zatim:

   • %% f(x) + g(x) = 3x %% - B.B. funkcija na %% x \ do \ infty %%;
   • %% f (x) + h (x) = 0 %% - b.m. funkcija na %% x \ do \ infty %%;
   • %% h (x) + v (x) \u003d \ sin x %% nisu bitni između na %% x \ do \ infty %%.