Новини зірок
Інтерполяція між 4 числами онлайн. Визначення проміжного значення методом лінійної інтерполяції
Tool to find the equation of a function. Lagrange Interpolating Polynomial is a method for finding the equation corresponding to a curve having some dots coordinates of it.
Answers to Questions
dCode allow to use the Lagrangian method for interpolating a Polynomial and finds back the original using known points (x, y) values.
Example: By the knowledgeof the points \ ((x, y) \): \ ((0,0), (2,4), (4,16) \) the Polynomial Lagrangian Interpolation method allow to find back \ (y = x ^ 2 \). Once deducted, the interpolating function \ (f (x) = x ^ 2 \) allow to estimate the value for \ (x = 3 \), here \ (f (x) = 9 \).
The Lagrange interpolation method allows a good approximation of polynomial functions.
There are others interpolation formulas (rather than Lagrange / Rechner) such as Neville interpolation also available online on dCode.
You can edit this Q & A (add new info, improve translation, etc.) "itemscope =" "itemtype =" http://schema.org/Question ">
What are the limits for Interpolating with Lagrange?
Since the complexity of the calculations increases with the number of points, the program is limited to 25 coordinates (with distinct x-values in the Q).
Ask a new question
Source code
dCode retains ownership of the source code of the script Lagrange Interpolating Polynomial online. Except explicit open source licence (indicated Creative Commons / free), any algorithm, applet, snippet, software (converter, solver, encryption / decryption, encoding / decoding, ciphering / deciphering, translator), or any function (convert, solve, decrypt , encrypt, decipher, cipher, decode, code, translate) written in any informatic langauge (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab, etc.) which dCode owns rights will not be released for free. To download the online Lagrange Interpolating Polynomial script for offline use on PC, iPhone or Android, ask for price quote on
Це глава з книги Білла Джела.
Завдання: деякі інженерні проблеми проектування вимагають використання таблиць для обчислення значень параметрів. Оскільки таблиці є дискретними, дизайнер використовує лінійну інтерполяцію для отримання проміжного значення параметра. Таблиця (рис. 1) включає висоту над землею (керуючий параметр) і швидкість вітру (що розраховується параметр). Наприклад, якщо треба знайти швидкість вітру, відповідну висоті 47 метрів, то слід застосувати формулу: 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) = 165 м / сек.
Завантажити замітку в форматі або, приклади в форматі
Як бути, якщо існує два керуючих параметра? Чи можна виконати обчислення за допомогою однієї формули? У таблиці (рис. 2) показані значення тиску вітру для різних висот і величин прольоту конструкцій. Потрібно обчислити тиск вітру на висоті 25 метрів і величиною прольоту 300 метрів.
Рішення: проблему вирішуємо шляхом розширення методу, використовуваного для випадку з одним керуючим параметром. Виконайте наступні дії.
Почніть з таблиці, зображеної на рис. 2. Додайте вихідні осередки для висоти і прольоту в J1 і J2 відповідно (рис. 3).
Мал. 3. Формули в осередках J3: J17 пояснюють роботу мегаформули
Для зручності використання формул визначте імена (рис. 4).
Простежте за роботою формули послідовно переходячи від осередку J3 до осередку J17.
Шляхом зворотного послідовної підстановки зберіть мегаформулу. Скопіюйте текст формули з комірки J17 в J19. Замініть у формулі посилання на J15 на значення в комірці J15: J7 + (J8-J7) * J11 / J13. І так далі. Вийде формула, що складається з 984 символів, яку неможливо сприйняти в такому вигляді. Ви можете подивитися на неї в доданому Excel-файлі. Не впевнений, що такого роду мегаформули корисні у використанні.
Резюме: лінійна інтерполяція використовується для отримання проміжного значення параметра, якщо табличні значення задані тільки для кордонів діапазонів; запропонований метод розрахунку за двома керуючим параметрам.
Багато хто з нас стикався з незрозумілими термінами в різних науках. Але знаходиться дуже мало людей, яких не лякають незрозумілі слова, а навпаки, підбадьорює і змушують все більше заглибитися в досліджуваний предмет. Сьогодні мова піде про таку річ, як інтерполяція. Це спосіб побудови графіків по відомим точкам, що дозволяє з мінімальною кількістю інформації про функції передбачити її поведінку на конкретних ділянках кривої.
Перед тим як перейти до суті самого визначення і розповісти про нього докладніше, трохи заглибимося в історію.
Історія
Інтерполяція була відома ще з найдавніших часів. Однак своїм розвитком це явище зобов'язана декільком найвидатнішим математикам минулого: Ньютону, Лейбніца і Грегорі. Саме вони розвинули це поняття за допомогою більш просунутих математичних методів, доступних в той час. До цього інтерполяцію, звичайно, застосовували і використовували в обчисленнях, але робили це абсолютно неточними способами, які вимагають великої кількості даних для побудови моделі, більш-менш реалістичною.
Сьогодні ми можемо навіть вибирати, який із способів інтерполяції підходить більше. Все переведено на комп'ютерну мову, який з величезною точністю може передбачати поведінку функції на певній ділянці, обмеженій відомими точками.
Інтерполяція є досить вузьке поняття, тому її історія не така багата фактами. У наступному розділі розберемося, що таке інтерполяція насправді і чим вона відрізняється від своєї протилежності - екстраполяції.
Що таке інтерполяція?
Як ми вже говорили, це загальна назва способів, що дозволяють побудувати графік по точках. У школі в основному це роблять за допомогою складання таблиці, виявлення точок на графіку і зразкового побудови ліній, їх з'єднують. Остання дія робиться виходячи з міркувань схожості досліджуваної функції на інші, вид графіків яких нам відомий.
Однак є інші, більш складні і точні способи виконати поставлене завдання побудови графіка по точках. Отже, інтерполяція - це фактично "пророкування" поведінки функції на конкретній ділянці, обмеженій відомими точками.
Існує таке поняття, пов'язане з цією ж областю, - екстраполяція. Вона являє собою також передбачення графіка функції, але за межами відомих точок графіка. При такому способі передбачення робиться на основі поведінки функції на відомому проміжку, і потім користуєтеся цією функцією і для невідомого проміжку. Такий спосіб дуже зручний для практичного застосування і активно використовується, наприклад, в економіці для прогнозування злетів і падіння на ринку і для передбачення демографічної ситуації в країні.
Але ми відійшли від основної теми. У наступному розділі розберемося, яка буває інтерполяція і за допомогою яких формул можна зробити цю операцію.
види інтерполяції
Найпростішим видом є інтерполяція методом найближчого сусіда. За допомогою цього способу ми отримуємо дуже приблизний графік, що складається з прямокутників. Якщо ви бачили хоч раз пояснення геометричного сенсу інтеграла на графіку, то зрозумієте, про яке графічному вигляді йде мова.
Крім цього, існують і інші методи інтерполяції. Найвідоміші і популярні пов'язані з многочленами. Вони більш точні і дозволяють передбачати поведінку функції при досить убогому наборі значень. Першим методом інтерполяції, який ми розглянемо, буде лінійна інтерполяція многочленами. Це найпростіший спосіб з даної категорії, і їм напевно кожен з вас користувався в школі. Суть його полягає в побудові прямих між відомими точками. Як відомо, через дві точки площини проходить єдина пряма, рівняння якої можна знайти виходячи з координат даних точок. Побудувавши ці прямі, ми отримуємо ламаний графік, який так-сяк, але відображає приблизні значення функцій і в загальних рисах збігається з реальністю. Так і здійснюється лінійна інтерполяція.
Ускладнені види інтерполяції
Є більш цікавий, але при цьому більш складний спосіб інтерполяції. Його придумав французький математик Жозеф Луї Лагранж. Саме тому розрахунок інтерполяції за цим методом названий його ім'ям: інтерполяція по методу Лагранжа. Фокус тут ось в чому: якщо спосіб, викладений у попередньому абзаці, використовує для розрахунку тільки лінійну функцію, то розкладання методом Лагранжа передбачає також використання многочленів більш високих ступенів. Але не так просто знайти самі формули інтерполяції для різних функцій. І чим більше точок відомо, тим точніше виходить формула інтерполяції. Але є і маса інших методів.
Існує і більш досконалий і наближений до реальності метод розрахунку. Формула інтерполяції, яка використовується в ньому, являє собою сукупність багаточленів, застосування кожного з яких залежить від ділянки функції. Такий метод називається сплайн-функцією. Крім того, є ще й способи, що дозволяють провести таку річ, як інтерполяція функцій двох змінних. Тут всього два методи. Серед них билинейная або подвійна інтерполяція. Цей спосіб дозволяє без праці побудувати графік по точках в тривимірному просторі. Інші методи зачіпати не будемо. Взагалі, інтерполяція - це універсальне називання для всіх цих способів побудови графіків, але різноманіття способів, якими можна здійснити цю дію, змушує ділити їх на групи в залежності від виду функції, яка підлягає цього дійства. Тобто інтерполяція, приклад якої ми розглянули вище, відноситься до прямих способам. Є також зворотна інтерполяція, яка відрізняється тим, що дозволяє обчислити не прямий, а зворотну функцію(Тобто x від y). Розглядати останні варіанти ми не будемо, так як це досить складно і вимагає хорошої математичної бази знань.
Перейдемо до, мабуть, одному з найважливіших розділів. З нього ми дізнаємося, як і де обговорювана нами сукупність методів застосовується в життя.
застосування
Математика, як відомо, цариця наук. Тому навіть якщо ви спочатку не бачите сенсу в тих чи інших операціях, це не означає, що вони не приносять користі. Ось, наприклад, здається, що інтерполяція - це марна річ, за допомогою якої тільки графіки будувати можна, які зараз мало кому потрібні. Однак при будь-яких розрахунках в техніці, фізиці і багатьох інших науках (наприклад, біології), вкрай важливо представляти досить повну картину про явище, маючи при цьому певний набір значень. Самі значення, розкидані по графіку, не завжди дають чіткі уявлення про поведінку функції на конкретній ділянці, значеннях її похідних і точок перетину з осями. А це дуже важливо для багатьох областей нашої з вами життя.
А як це стане в нагоді в житті?
На подібне питання буває дуже складно відповісти. Але відповідь проста: ніяк. Саме ці знання вам ніяк не знадобляться. А ось якщо ви зрозумієте цей матеріал і методи, за допомогою яких здійснюються ці дії, ви потреніруете свою логіку, яка в житті дуже знадобиться. Головне - не самі знання, а ті навички, які людина набуває в процесі вивчення. Адже недарма існує приказка: "Вік живи - вік учись".
суміжні поняття
Ви можете самі зрозуміти, наскільки важлива була (і досі не втрачає свою важливість) ця область математики, глянувши на різноманіття інших концепцій, пов'язаних з даною. Ми вже говорили про екстраполяції, але є ще й апроксимація. Може бути, ви вже чули це слово. У будь-якому випадку те, що воно означає, ми теж розбирали в цій статті. Апроксимація, як і інтерполяція, - це поняття, пов'язані з побудовою графіків функцій. Але відмінність першої від другої в тому, що вона являє собою приблизне побудова графіка на основі подібних відомих графіків. Ці два поняття дуже схожі між собою, і тим цікавіше вивчати кожне з них.
висновок
Математика - не така складна наука, як здається на перший погляд. Вона, скоріше, цікава. І в цій статті ми спробували вам це довести. Ми розглянули поняття, пов'язані з побудовою графіків, дізналися, що таке подвійна інтерполяція, і розібрали на прикладах, де вона застосовується.
Керуюча програма обробки деталі являє собою траєкторію руху центру фрези. Траєкторія руху складається з окремих, що з'єднуються один з одним ділянок, лінійнихабо дугових. Точки, які задають траєкторію, називаються опорними. Насправді керуюча програма - це послідовний набір опорних точок. Опорні точки можуть лежати в площині, для їх завдання використовується дві координати ( двох координатнаобробка) або в просторі ( об'ємна трьох координатнаобробка).На практиці для переміщення інструменту системі ЧПУ мало тільки опорних точок, необхідно більш детальне її уявлення. Для розрахунку проміжних точок та видачі команд руху по лінійним осях використовується спеціальне обчислювальний пристрій - інтерполятор.
Інтерполятора діляться на лінійніі кругові. Лінійний інтерполятор використовується для відпрацювання прямолінійного руху інструменту. На вході в інтерполятор надходить інформація про координати опорних точок, на виході для кожної координати формується послідовність імпульсів необхідних для відпрацювання заданої геометрії. Лінійний інтерполятор дозволяє відпрацьовувати тільки прямолінійніруху. Однак забезпечити точневідповідність переміщення уздовж заданої прямої досить складно. Підсумкова траєкторія руху наближено нагадує ламану лінію (малюнок нижче).
В процесі відпрацювання прямий інтерполятор поперемінно управляє включенням приводів то по осі X, То по осі Y(Якщо пряма лежить в площині XY), посилаючи потрібну кількість імпульсів на приводу. На малюнку вище для відпрацювання прямий на вісь Y надсилається один імпульс, а на X - два імпульсу. значення dвизначає відхилення від заданої геометрії. Оскільки роздільна здатність дозволяє задавати один імпульс для переміщення на 0.001 мм, то підсумкову ламану криву можна вважати плавної.
Таким чином, лінійний інтерполятор розраховує необхідну кількість імпульсів по тій чи іншій осі і видає їх на приводу.
Програмування лінійних переміщень
Щоб використовувати лінійний інтерполятор (здійснювати програмування лінійних переміщень) використовується підготовча функція G01і вказуються координати кінцевої точки переміщення із заданою швидкістю.G01 X n.n Yn.n Z n.n Fn.n, де
X, Y, Z- адреси лінійних осей;F- швидкість переміщення;
Наприклад, для програмування прямолінійного переміщення з точки Aв ціль Bзі швидкістю 1000 мм / хвнеобхідно в УП сформувати наступний кадр.
Найпростішим і часто використовуваним видом локальної інтерполяції є лінійна інтерполяція. Вона полягає в тому, що задані точки ( x i , y i) При ( i = 0. 1, ..., n) З'єднуються прямолінійними відрізками, і функція f(x) Наближається ламаної з вершинами в даних точках.
Рівняння кожного відрізка ламаної в загальному випадку різні. Оскільки є n інтервалів ( x i - 1, x i), То для кожного з них в якості рівняння інтерполяційного многочлена використовується рівняння прямої, що проходить через дві точки. Зокрема, для i-го інтервалу можна написати рівняння прямої, що проходить через точки ( x i -1, y i -1 ) І ( x i , y i), у вигляді
|
y = a i x + b i, x i-1 xx i |
a i = 
Отже, при використанні лінійної інтерполяціїспочатку потрібно визначити інтервал, в який потрапляє значення аргументу х, а потім підставити його в формулу (*) і знайти наближене значення функції в цій точці
Малюнок 3-3- Графік залежності лінійної інтерполяції.
Рішення професійного завдання
Ведемо експериментальні дані
ORIGIN: = 0 Початок масиву даних - вважаємо з нуля
i: = 1..6 Число елементів в масиві
Експериментальні дані організовані в два вектора 
Виконаємо інтерполяцію вбудованими функціями MathCad
лінійна інтерполяція
Lf (x i): = linterp (x, y, x)
Інтерполяція кубічним спайні
CS: = cspline (x, y)
Будуємо кубічний сплайн за експериментальними даними
Lf (x i): = linterp (x, y, x i)
Інтерполяція В- сплайном
Задаємо порядок інтерполяції. У векторі u має бути на (n-1) менше елементів, ніж у векторі x, Причому перший елемент повинен бути менше або дорівнює першому елементу x, А останній - більше або дорівнює останньому елементу x.
BS: = bspline (x, y, u, n)
Будував В- сплайн за експериментальними даними
BSf (x i): = (BS, x, y, x i)
Будуємо графік всіх функцій апроксимації на одній координатній площині.
Малюнок 4.1-Графік всіх функцій апроксимації на одній координатній площині.
висновок
У обчислювальної математики істотну роль грає інтерполяція функцій, тобто побудова за заданою функції іншої (як правило, більш простий), значення якої збігаються зі значеннями заданої функції в деякому числі точок. Причому інтерполяція має як практичне, так і теоретичне значення. На практиці часто виникає завдання про відновлення неперервної функції по її табличних значень, наприклад, отриманим в ході деякого експерименту. Для обчислення багатьох функцій, виявляється, ефективно наблизити їх поліномами або дрібно-раціональними функціями. Теорія інтерполяції використовується при побудові та дослідженні квадратурних формул для чисельного інтегрування, для отримання методів розв'язання диференціальних та інтегральних рівнянь. Основним недоліком полиномиальной інтерполяції є те, що вона нестійка на одній з найбільш зручних і часто використовуваних сіток - сітці з рівновіддаленими вузлами. Якщо дозволяє завдання, цю проблему можна вирішити за рахунок вибору сітки з чебишовських вузлами. Якщо ж ми не можемо вільно вибирати вузли інтерполяції або нам просто потрібен алгоритм, не дуже вимогливий до вибору вузлів, то раціональна інтерполяція може виявитися придатною альтернативою полиномиальной інтерполяції.
До переваг сплайн-інтерполяції слід віднести високу швидкість обробки обчислювального алгоритму, оскільки сплайн - це кусково-поліноміальна функція і при інтерполяції одночасно обробляються дані по невеликій кількості точок вимірювань, що належать до фрагменту, який розглядається в даний момент. Інтерпольованого поверхню описує просторову мінливість різного масштабу і в той же час є гладкою. Остання обставина робить можливим прямий аналіз геометрії і топології поверхні з використанням аналітичних процедур
