Tuonpuoleista elämää kutsutaan loputtoman suureksi. Rajattoman pieniä ja äärettömän mahtavia toimintoja

Oletus: funktio kutsutaan loputtoman vähän pesuun, yaksho .

Annamme meidän kirjoittaa "" x 0 Voit ottaa saman arvon kuin: x 0= const, Joten eikä loputtomasti: x 0= ∞.

Äärettömän pienten funktioiden voima:

1) Endiaaniluvun algebrallinen summa ei ole äärettömän pieni funktioissa є äärettömän pieni funktiossa.

2) Loppuluvun Tvir ei ole äärettömän pieni, kun funktio ei ole äärettömän pieni, kun funktio on.

3) Joukko toisiinsa kytkettyjä toimintoja äärettömän pienelle funktiolle є äärettömän pienelle funktiolle.

4) Osa ajasta ei ole äärettömän pieni, kun funktio on funktiolla, jonka välissä yksi on nollasta, є on äärettömän pieni kun funktio on.

peppu: toiminto y = 2 + xє Ei kovin vähän siihen.

Oletus: funktio kutsutaan äärettömän hienoa pesuun, yaksho .

Loputtoman mahtavien toimintojen voima:

1) Summa äärettömän suuri funktioiden kanssa є äärettömän suuri funktioiden kanssa.

2) Tvir on äärettömän suuri funktiolla, jonka välissä yksi on nollasta, ja äärettömän suuri funktiossa.

3) Summa ei ole äärettömän suuri funktiolla ja toisiinsa yhdistetyllä funktiolla ja äärettömän suurella funktiolla.

4) Osa ajasta on äärettömän hienoa, kun funktio on funktiossa, mutta Kintsevin rajaa on paljon, ja se on äärettömän hienoa, kun funktio on.

peppu: toiminto y= Є äärettömän hienoa, siitä .

Lause.Yhteys loputtoman pienten ja äärettömän suurten arvojen välillä... Vaikka toiminto ei ole äärettömän pieni kun, toiminto ei ole äärettömän suuri milloin. Ja takaisin, jos funktio ei ole äärettömän suuri milloin, niin funktio ei ole äärettömän pieni milloin.

Vіdnoshennya kaksi loputtoman pientä hyväksytään symbolina, kaksi loputtoman suurta - symboli. Loukkaantunut siitä, että sininen on merkityksetön siinä mielessä, että se on mahdollista, että se on merkityksetön, joten se ei ole merkityksetön, mutta se on sama luku tai se ei ole rajoitettu tiettyjen toimintojen puuttuessa, mutta se voidaan sisällyttää merkityksettömään.

Ei-arvojen lisäksi tyyppi ja ei-arvot, kuten virazi:

Todistus yhden merkin äärettömän suuresta;

Tvir on äärettömän pieni ja loputtoman suuri;

Show-step-toiminto, jonka perusta on enintään 1 ja indikaattori on enintään;

Demonstraatio-askelfunktio, jonka kanta on äärettömän pieni ja eksponentti äärettömän suuri;

Show-step-toiminto, esitys ja osoitin, joka ei ole äärettömän malimia;

Näytä-askelfunktio, jonka kanta on äärettömän suuri ja eksponentti äärettömän pieni.

Näyttää siltä, ​​että lajin merkityksettömyydestä ei ole juurikaan käsitystä. Numeroiden lukumäärää kutsutaan nimellä cich vipadkah rozkrittam ei-arvo... Epämerkityksyyden tunnistamiseksi viraasit, jotka seisovat rajan merkillä, kääntyvät uudelleen silmään, joka ei kosta merkityksettömyyttä.

Vikaristien, voiman ja myös voimattomuuden välillä numeroituina äärettömän pieniä ja äärettömän suuria toimintoja.

Laita isojen numerot selvästi väliin.

1) . 2) .

4) Tästä syystä TV on toiminnaltaan äärettömän pieni, kun se on yhdistetty toimintoon ei kovin vähän.

5) . 6) .

7) = =

... Tässä nimenomaisessa tyypissä ei ole juurikaan tunnetta merkityksettömyydestä tyypille, sikäli kuin polynomien laajentaminen kertoimiin ja nopeus zagalny-kertoimeen on mahdollista.

= .

Tässä vipadkussa, pienessä merkityksettömyyden tyypissä, yaku useiden lukujen ja nimittäjien etäisyyteen virazille, viktoriaanisille kaavoille ja valemurtoluvulle (+1).

9)
... Tietyssä perässä luodin tyypillä ei ole merkitystä termi-rivinumeron kannalta ja nimittäjällä murto-osalle vanhemmissa jaloissa.

ihmeitä välillä

Ensimmäinen hirviön raja : .

Toimitettu. Selvästi yksi ympärysmitta (kuva 3).

Kuva 3. yksittäin

Hei X- Keskikutan Radianna-maailma MOA(), Todi OA = R= 1, MK= synti x, AT= tg x... Kolmipyöräiset neliöt OMA, OTA i aloilla OMA, Otrimaєmo:

,

.

Rozdіlimo loput hermot syntiä x, Otrimaєmo:

.

Joten jakilla, sitten teholla 5) välillä

Tähdet ovat soiva arvo, kun sinun täytyy tuoda se esille.

kunnioittaminen: Funktio ei ole äärettömän pieni, kun, tobto Se on ma viglyadin ensimmäinen ihme:

.

Laita numerot ensimmäisen upean maan voittajien väliin selkeästi.

Vikoristien arvoja laskettaessa käytettiin trigonometristä kaavaa: .

.

Aseta numerot helposti toisen upean maan voittajien väliin.

2) .

3) ... Mа mісce merkityksetöntä kirjoittaa. Zrobimo korvaa, Todi; klo.

funktio kutsutaan äärettömän vähän
jos
, yaksho
abo
.

Sovellus: toiminto
äärettömän pieni
; toiminto
äärettömän pieni
.

kunnioitus 1. Mitään funktiota ei voida kutsua loputtomiin ilman suoraa muutosta argumenttiin. Siis funktio
klo
є äärettömän pieni, ja kanssa
ei ole jo є loputtoman pieni (
).

Kunnioitus 2. Funktion rajojen arvo pisteessä äärettömän pienille funktioille epäjohdonmukaisuuden osoittamiseksi
.Cim tosiasia mi nadal toistetaan useita kertoja.

Palautettavat toimet ovat tärkeitä äärettömän pienten funktioiden teho.

lause (Tietoja funktion linkistä, її välillä ja äärettömän vähän): Yaksho-funktio
voidaan esittää jälkinumeron summan näkökulmasta A ja äärettömän vähän toimintoja
klo
Se numero

Toimitettu:

Käytä tislauslauseita, joten funktiota
.

vislovimo zvidsy
:
... oskіlki-toiminto
äärettömän pieni, hänen on reilua olla välinpitämätön
, Todi kääntämisestä (
) Se on myös välinpitämättömyyttä

Ja tse tarkoittaa, scho
.

lause (Zvorotna): yaksho
, Se toiminto
voidaan edustaa sumien lukumäärässä A ja äärettömän vähän
toimintoja
, Tobto
.

Toimitettu:

Niin jakki
, Se on varten
epäonnistua
(*) Toiminto on ymmärrettävä
yhtenä ja välinpitämättömyys (*) kirjoitettava uudelleen viglyadissa

Muut seuraavan epäsäännöllisyydet, mutta arvo (
) Є äärettömän pieni
... merkityksellisesti її
.

Tähdet
... Lause on suoritettu.

Lause 1 ... Endiaaniluvun algebrallinen summa on äärettömän pieniä funktioita є äärettömän pieniä funktioita.

Toimitettu:

Se todistetaan kahdelle väistölle, joten minkä tahansa ddankin loppumäärän kohdalla se tulisi indusoida samalla tavalla.

Hei
і
äärettömän pieni
toiminnot ja
- cich-funktioiden summa. Tuotu sinulle, varten
, Isnu myös
, Kaikille X, jotka ovat tyytyväisiä väärinkäytöksiin
, Vykonutsya nerіvnіst
.

Jakkitoiminto siis
äärettömän pieni toiminto,
, Kaikille
epäonnistua
.

Jakkitoiminto siis
äärettömän pieni toiminto,
, Ja myös іsnuє myös , Kaikille
epäonnistua
.

vіzmemo Otetaan vähemmän lukuja і , Todi sisään -pisteen lähialue a olla viskeraalinen
,
.

Varastotoimintomoduuli
ja arvioitu arvo.

Tobto
, Todi-toiminto ei ole äärettömän pieni, mikä on täydennettävä.

Lause 2. Tvir äärettömän vähän toimintoja
klo
toisiinsa kytketyssä toiminnossa
є Äärettömän pieni toiminto.

Toimitettu:

Jakkitoiminto siis
on ympäröity, silloin myös positiivinen luku
, Kaikille epäonnistua
.

Jakkitoiminto siis
äärettömän pieni
, Se on nuh taka -pisteen lähialue , Kaikille їх сієї lähellä esikaupunkia
.

Toimivuus on helppo nähdä
і arvioitu її moduuli

Otzhe
, Ja todі
- äärettömän pieni.

Lause on suoritettu.

Rajalauseet.

Lause 1. Funktioiden endian lukumäärän interalgebrallinen summa

Toimitettu:

Todistaa näiden kahden tehtävän suorittamiseksi, ei maailman hengen pilaamiseksi.

Hei
,
.

Funktion linkkejä koskevan lauseen mukaan
і
voidaan esittää viglyadі
de
і
- äärettömän pieni
.

Tiedämme funktioiden summan
і

suuruus
є jälkiarvo,
- arvo on äärettömän pieni. Tällaisessa asemassa funktio
on edustettuna pysyvän koon ja äärettömän pienen funktion viglyadi sumissa.

todі numero
є rajafunktio
, Tobto

Lause on suoritettu.

Lause 2 ... Luo väliltä oviaukon lopullinen toimintojen lukumäärä lisää toimintojen väliin

Toimitettu:

Älä tuhoa maailman henkisyyttä, voimme todistaa sen kahdella tavalla
і
.

Tule, Todi
,

Tunnemme tvirin toiminnot
і

suuruus
є pysyvä arvo, äärettömän pieni toiminto. Samasta numerosta
є rajafunktio
, Tobto on reilu

peräkkäisyys:
.

Lause 3. Yksityisen välillä kaksi toimintoa yksityiseen toimintojen välillä, kuten raja viittojen välillä nollasta

.

Todiste: Tule
,

Todi
,
.

tiedämme yksityisesti ja deyakimo hänen ylitsensä

suuruus post_yna, drib
äärettömän pieni. Otzhe, toiminto on esitetty pysyvän luvun ja äärettömän muutaman funktion summana.

Todi
.

Kunnioittaminen. Lauseet 1-3 pelkistetään sopivaksi
... Haju voi kuitenkin pysähtyä, kun
, Oskіlki tuo lauseita koko alueella suoritetaan samalla tavalla.

Eteenpäin. Tunne rajat:

Ensimmäinen ja muut ihmeet välillä.

toiminto ei voimassa
... Arvo pisteen läheisyydessä on kuitenkin nolla. Tämä näkyy funktioiden välillä
... Qia mezha piippaus ensimmäinen ihmeellinen interi .

Vin maє viglyad:
.

muuten ... Tunne rajat: 1.
... tarkoittaa
, yaksho
, sitten
.
; 2.
... Kierre annetaan uudestaan ​​ja uudestaan, niin että raja soi ensimmäiseen ihmeelliseen rajaan.
; 3..

Näen näkymän koon
, yakiyssä luonnollisten lukujen arvojen hyväksyminen їх kasvujärjestyksessä. damo merkitys: yakscho

antaa merkityksen synty ulkopuolelta
, Sillä ei ole väliä, scho viraz
klo
tahtoa
... Lisäksi tuodaan, no
maє mezhu. Qia meza on merkitty kirjaimella :
.

määrä іrratsіonalne:
.

Nyt näet eron toimintojen välillä
klo
... Qia meza kutsutaan toiselle oudolle rajalle

Vin maє viglyad
.

Eteenpäin.

a)
... viraz
vaihdettavissa juustolla samoista urheilijoista
, Zastosuєmo lause rajan luomisesta ja muusta ihmeellisesta rajasta; b)
... miellyttävästi
, todі
,
.

Toinen hirviö vikoristvutsyan välillä viestien keskeytymättömään keräämiseen liittyvät ongelmat

Kun penniäkään tuloa talletuksista, huutaa usein kaavalla taitettavat videot, yak maє viglyad:

,

de - tähkäpalat,

- pieni pankkitili,

- narahuvan-viestien määrä pikiä kohti,

- tunnin, kivissä.

Teoreettisessa edistyksessä investointipäätösten tapauksessa on kuitenkin usein niin, että kasvun eksponentiaalisen (näytä) lain kaava

.

Kaava kasvun lain näyttämiseksi on seurausta toisen upean maan tallentamisesta taittamisen kaavaan

Toimivuus ilman keskeytyksiä.

Toimivuus on helppo nähdä
laulaa deyakiy pointissa ja deyakom pisteen ympärillä ... Älä mene arvon pistefunktion arvoihin
.

Arvo 1. Toiminto
kutsutaan keskeytyksettä pisteessä , Yaksho voitti näkyy pisteen laitamilla, mukaan lukien itse piste
.

Keskeytyksen arvo voidaan muotoilla muodossa.

mikä toiminto
tarkoitettu deyakom-merkitykselle ,
... argumenttina päivämäärä pririst
, Se on funktio saada lisäys

Anna funktion mennä pisteeseen jatkuva (funktion ensimmäiselle arvolle ilman keskeytystä pisteissä),

Tobto, koska funktio on jatkuva pisteissä , Tämä on loputtomasti argumentin pienen lisäyksen vuoksi
tsіy pisteissä іdpovіdaє maliy pririst toiminnoilla ei ole loppua.

Se on oikeudenmukainen ja järkevä ehdotus: jos epämääräisen pieni argumentin lisäys johtuu funktion äärettömän pienestä lisäyksestä, funktio on keskeytymätön.

Arvo 2. Funktiot
kutsutaan jatkuvaksi, kun
(Kohtaessa )
.

Tarkastelen keskeytymättömän toiminnon ensimmäistä ja toista arvoa kohdassa, voit korjata kiinteyden alkamisen:

abo
, ale
, todі
.

Myös keskeytymättömän toiminnon selvittämiseksi milloin
lisätäksesi analyyttiseen viraziin argumentin korvaavan funktion anna arvosi .

Nimitys 3. Toiminto, ilman keskeytystä nykyisen alueen ihopisteessä, kutsutaan keskeytyksettä koko alueella.

esimerkiksi:

Butt 1. Tuo toiminto
se ei keskeydy kaikissa alueen kohdissa.

Nopeasti muille arvoille keskeyttämättä toimintoja pisteissä. Koko sen osalta ole kuin väitteen tarkoitus i damo youomu lisätty
... Tiedämme lisääntyneestä toiminnasta

Liite 2. Tuo funktio
jatkuva jokaisessa pisteessä s
.

damo-argumentti pririst
, Todi-toiminto voittaa

Tiedämme, että näin toimii
, Tobto on ympäröity.

Samoin voidaan saada aikaan se, että kaikki perusalkeisfunktiot ovat katkeamattomia alueen kohdissa, jolloin alkeisfunktion arvon alue pysyy jatkuvuusalueen ulkopuolella.

Nimitys 4. Yakshcho-toiminto
keskeytyksettä deyakogo-välin ihopisteessä
Toisin sanoen toiminto on keskeytymätön koko ajanjakson ajan.

Tuon voiman nimitys on äärettömän pieni ja äärettömän suuri funktio. Todista auktoriteetti ja lauseet. Linkki ei ole äärettömän pieni eikä äärettömän hienoja toimintoja.

zm_st

Div. myös: Kestävyyttä on vähän - arvoa ja voimaa
Loputtoman mahtavien jälkivaikutusten voima

Arvostettu äärettömän vähän ja äärettömän hieno toiminto

hei x 0 є Kintseva, esimerkiksi piste ei ole loputtoman kaukana: ∞, -∞ tai + ∞.

Äärettömän harvojen funktioiden arvo
funktio α (X) kutsutaan loputtoman vähän klo x pragne x 0 0 , І vін dorіvnyuє nollaan:
.

Loputtoman hieno toiminto
toiminto f (X) kutsutaan äärettömän hienoa klo x pragne x 0 , Jossa funktio on yhtä suuri kuin x → x 0 , І vін dorіvnyuє ei-kaltevuus:
.

Äärettömän pienten funktioiden voima

Sumin voima, ero ja loputtoman pienet toiminnot

Suma, kasvu ja tviräärettömän pienten funktioiden loppuluku x → x 0 є äärettömän pieni funktio kuten x → x 0 .

Tsia-teho on suora aritmeettisen potenssin periytyminen funktioiden välillä.

Lause twir-kytketystä funktiosta äärettömän pienellä

Tvir-toiminnot, yhdistetty toisiinsa pisteen x lähellä puhkaisun päivänä 0 , On loputtoman pieni, kuten x → x 0 , Є äärettömän pieni funktio kuten x → x 0 .

Pysyvien ja äärettömän pienten funktioiden viglyadi sumille annettu funktio

Jotta funktio f (X) pieni kintseviy raja, välttämätön ja riittävä, schob
,
de - äärettömän pieni funktio x → x 0 .

Loputtoman mahtavien toimintojen voima

Lause toisiinsa liittyvän funktion ja äärettömän suuren summasta

Summa funktion erotus lävistetylle lähellä pisteelle x 0 , І äärettömän suuri funktio, kuten x → x 0 , Є loputtomasti suurella funktiolla x → x 0 .

Lause tietyn funktion yksityisestä muodosta on äärettömän suuri

Toiminto f (X)є äärettömän suuri kuin x → x 0 , Ja funktio g (X)- pisteen x lähellä olevalla rei'itettynä 0 , sitten
.

Lause verkkoalueen yksityisestä muodosta, jota ympäröi funktio äärettömän pienen

Lisäksi pisteen lävistetyssä lähipisteessä olevaa funktiota ympäröi itseisarvossa alla oleva positiivinen luku:
,
ja funktio є on äärettömän pieni kuin x → x 0 :
,
jos kärki on puhjennut jakissa, niin
.

Epäsäännöllisyyksien voima äärettömän suurten toimintojen

Mutta toiminto on ehdottoman loistava, kun:
,
і toimii і, kun deyakіy on puhjennut lähellä pistettä, tyydyttävästi epäsäännöllisyyksiä:
,
silloin toiminto on myös äärettömän hyvä, kun:
.

Vallan voima on kaksinkertainen.

No, pisteen lähellä olevasta puhjennetusta kohdasta, toiminnot ja epäsäännöllisyyksien tyytyväisyys:
.
Todi yaksho, sitten i.
Yaksho, sitten minä.

Yhdistäminen äärettömän suuriin ja äärettömän pieniin toimintoihin

Höyryäänillä on kaksi vaihtoehtoista voimaa ja äärettömän suuria ja äärettömän pieniä toimintoja.

Vaikka toiminto ei ole äärettömän suuri kun, toiminto on äärettömän pieni kun.

Jos funktio ei ole äärettömän pieni kun, i, niin funktio ei ole äärettömän suuri milloin.

Yhteys äärettömän pienen ja äärettömän suuren funktion välillä voidaan nähdä symbolisessa arvossa:
, .

Koska merkin funktio ei ole äärettömän pieni, jos se on positiivinen (tai negatiivinen) lävistetylle lähipisteelle, se voidaan kirjoittaa seuraavasti:
.
Täsmälleen samalla tavalla, jos merkin at funktio on äärettömän suuri, kirjoita:
, Abo.

Sitä symbolista rengasta, jolla on äärettömän pieniä ja äärettömän suuria toimintoja, voidaan täydentää kehittyvillä suhteilla:
, ,
, .

Dodatkovin kaavat, kuinka pysymättömyyden symbolit soitetaan, löytyy kyljestä
"Määrittämättömät voimapisteet".

Todistus potenssista ja lauseesta

Todistus teoreemoilla kiinteästä toisiinsa kytketystä funktiosta äärettömän pienellä

Tuodaksemme tsієї lauseet, me speedyєmosya. Ja myös loputtoman pienten loppujen vikaristinen voima,

Olkoon funktio äärettömän pieni, kun, ja funktio on suljettuna pisteen lähellä olevaan pisteeseen:
klo.

Oskilki іsnu raja, sitten іsnu puhkaistaan ​​lähellä pistettä, jolle toiminto on määritetty. Tule є peretin esikaupunkiin і. Todi uusista suunnittelutoiminnoista i.

.
,
kestävyys on äärettömän pieni:
.

Nopeasti, Tim, kuinka tvir kietoutuu kestävyyteen loputtoman pieneksi ja loputtoman pieneksi:
.
.

Lause on suoritettu.

Todiste auktoriteetista viglyadi sumin pysyvän ja äärettömän pienen funktion annetusta tehtävästä

välttämättömyys... Nekhay funkts_ya maє kohdassa kintseviy border
.
Toiminto on helppo ymmärtää:
.
Vikoristovuyuchi voima kehitystoimintojen välillä, äiti:
.
Tobto on äärettömän pieni funktio.

yltäkylläisyys... Tule i. Zastosuєmo teho sumitoimintojen välillä:
.

Virtaa tuotu.

Todistus lauseilla summasta, jossa on funktio ja äärettömän suuri

Lauseiden tuomiseksi nopeuttamme funktion rajoja Heinen mukaan

klo.

Oskilki іsnu raja, sitten іsnu puhkaistaan ​​pisteen lähellä, toiminto on määritetty. Tule є peretin esikaupunkiin і. Todi uusista suunnittelutoiminnoista i.

Älä vaivaudu є kestävä on hyvä, miten lähentyä, elementit mitä laitamilla makaa:
.
Nämä ovat viimeisen päivämäärän arvot. Lisäksi vakavuutta є ympäröivät:
,
kestävä ja loputtoman hieno:
.

Oskilky suma eli ero kietoutuvan kestävyyden ja äärettömän suuren välillä
.
Todi, Heinen viimeisten päivien välisten arvojen perusteella,
.

Lause on suoritettu.

Todista lauseilla tietyn funktion yksityisestä tyypistä äärettömän suurella

Todistaa, että olemme Heinen mukaan nopeita funktion rajojen suhteen. Loputtoman suurten jälkivaikutusten julma voima on yhtä voittoisa, ja se tunnetaan loputtoman vähäisestä suosituksestaan.

Olkoon funktio äärettömän suuri, kun, ja funktio on suljettuna pisteen lähellä olevaan pisteeseen:
klo.

Toiminnon värähtelyt ovat äärettömän suuria, silloin pisteen reuna puhkaistaan, mihin se on tarkoitettu eikä käänny nollaan:
klo.
Tule є peretin esikaupunkiin і. Todi uusista suunnittelutoiminnoista i.

Älä vaivaudu є kestävä on hyvä, miten lähentyä, elementit mitä laitamilla makaa:
.
Nämä ovat viimeisen päivämäärän arvot. Lisäksi vakavuutta є ympäröivät:
,
kestävyys on äärettömän suuri jäsenten kanssa nollasta katsottuna:
, .

Pienen osan päivästä ympäröi loputtoman pitkäkestoinen ja äärettömän pieni kestävä, sitten
.
Todi, Heinen viimeisten päivien välisten arvojen perusteella,
.

Lause on suoritettu.

Todistus lauseilla toimialueen yksityisestä tyypistä, funktion alla oleva funktio, on äärettömän pieni

Todistaa funktion määrättyjen rajojen teho ja nopeus Heinen mukaan. Samoin on loputtoman suurten jälkivaikutusten vikaristinen voima, joka ei ole loputon hieno postaus.

Olkoon funktio äärettömän pieni, kun, ja funktio on rajattu itseisarvoon alla positiivisella luvulla, pisteen lähellä olevassa pisteessä:
klo.

Pesua varten kärjen reuna puhkaistaan, mihin toimintoon se on tarkoitettu eikä muutu nollaan:
klo.
Tule є peretin esikaupunkiin і. Todi uusista suunnittelutoiminnoista i. Lisäksi i.

Älä vaivaudu є kestävä on hyvä, miten lähentyä, elementit mitä laitamilla makaa:
.
Nämä ovat viimeisen päivämäärän arvot. Lisäksi konsistenssi, jota ympäröi pohja:
,
ja viimeinen on äärettömän pieni ja jäsenet näkyvät nollasta:
, .

Pienen osan ajasta värähtelyjä, viimeisen pohjan ympäröimänä, loputtoman pieneksi ja loputtoman suureksi viimeiseksi, sitten
.
І nhai є puhjennut pisteen lähellä, jakissa
klo.

Samalla on hyvä mennä. Todi, korjaamalla numerosta N, viimeisimmän päivämäärän elementit sijoittuvat lähistölle:
klo.
Todi
klo.

Heinen funktion rajojen arvojen mukaan
.
Todi loputtoman mahtavien viestien epäsäännöllisyyksien voimasta,
.
Viimeisen värähtelyt ovat suuria, mutta suppenevat Heinen mukaan funktion rajojen ulkopuolelle,
.

Virtaa tuotu.

Vikoristanin kirjallisuus:
L. D. Kudrjavtsev. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 2003.

Div. myös:

Määrä äärettömän pieniä ja suuria

Luettelo loputtomasti malikh- numeroitu, viroblen äärettömän pienillä arvoilla, joille vanha tulos nähdään äärettömän pienenä. Lasketut äärettömän pienet arvot є uljaasti ymmärtää differentiaali- ja integraaliluvuille muodostamaan perustan nykyaikaiselle matematiikan. Äärimmäisen pienen suuruuden ymmärtäminen on selvästi sidottu rajan ymmärtämiseen.

äärettömän pieni

kestää a n kutsutaan loputtoman vähän, Yaksho. Esimerkiksi numerosarja on äärettömän pieni.

funktio kutsutaan äärettömän vähän pisteen läheisyydessä x 0, yaksho .

funktio kutsutaan loputtomasti harvat estoton, yaksho abo .

On myös äärettömän pieni funktio, mikä on ero funktiossa , sitten f(x) − a = α( x) , .

Määrä on äärettömän suuri

kestää a n kutsutaan äärettömän hienoa, yaksho .

funktio kutsutaan äärettömän suuri pisteen laitamilla x 0, yaksho .

funktio kutsutaan äärimmäisen loistava estoton, yaksho abo .

Kaikissa vipadoissa oikeakätisyys perustuu halukkuuteen luottaa laulumerkin kunnioittamiseen (joko "pluss" tai "miinus"). Tobto, esimerkiksi toiminto x synti x ei є loputtomasti loistava.

Teho äärettömän pieni ja äärettömän suuri

Porіvnyannya loputtomasti pieniä arvoja

Kuinka pieni se on äärettömän pieni?
Äärimmäisen pienten arvojen asettaminen on ns. merkityksettömyyttä.

arvo

Tosin meillä on є äärettömän pieni yhdelle ja samalle α:n arvolle ( x) І β ( x) (Abo, se ei ole arvon kannalta tärkeää, lopuksi äärettömän pieni).

Muiden laskelmissa Lopitalin sääntö voittaa.

laske se alas

Paikallisille Noin-symbolinen tulosten vastuuvapauslauseke, joka voidaan tallentaa loukkaavaan näkymään x 5 = o(x 3). Tässä tapauksessa on tietueita 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).

vastaavat arvot

arvo

Tällöin kutsutaan kuitenkin äärettömän pieniä α:n ja β:n arvoja vastaava ().
Ilmeisesti aiomme rajoittaa saman suuruusluokan äärettömän pienten arvojen määrän samaan arvoon.

Jos maturiteettivastaavuus alkaa kohtuullisesti: ,, .

lause

Yksityisen (yksittäisen) kahden äärettömän pienen arvon välinen raja ei muutu, koska toinen niistä (tai loukkaava) korvataan vastaavalla arvolla.

Lause annetaan sovelletun arvon perusteella välisille merkityksille (jako Sovellus).

butt vikoristannya

sijainen sin 2x vastaava arvo 2 x, teemme

historiallinen piirros

Muinaisina aikoina erilaisten atomien käsitteen yhteydessä käsitelty käsitys "määrättömästä pienestä" ei ole haalistunut klassiseen matematiikkaan. Tiedän, että se syntyi, kun 1500-luvulla ilmaantui "erilaisten menetelmä" - esi-slidzhuvano -hahmo nousi äärettömän pienelle overretinille.

XVII vuosisadalla laskennan algebraisointi on äärettömän pieni. Haju alkoi näkyä numeerisena arvona, pienempänä kuin mikään Kintsevo-arvo (ei-nolla) eikä silti yhtä suuri kuin nolla. Mysteeri analyysi tuli taittuu suorituskyvyn, kostaa loputtomasti pieni (erot), ja joskus - sen integraatio.

Vanhan koulun matemaatikot antoivat käsitteen äärettömän pieni terävää kritiikkiä. Michel Rollet kirjoitti uusista kirjaimista є " sarja nerokkaita anteeksipyyntöjä"; Voltaire kunnioitti ystävällisesti sitä, että numerointi on numeroinnin mysteeri ja aivan kuten puheiden näkeminen, joita ei voida välittää. Navit Huygens huomasi eron muissa tilauksissa.

Kuten ironinen osuus voidaan nähdä vuosisadan puolivälissä epästandardianalyysiä, joka on ensimmäinen näkökulma - todelliset eivät ole äärettömän pieniä - on myös kömpelö ja voitaisiin laittaa analyysin perustaksi.

Div. myös

Wikimedia Foundation. 2010 rock.

Ihaile samaa "Inescapably great" seuraavissa sanakirjoissa:

Muuttujan arvo Y, äärettömän pieni arvo X, joten Y = 1 / X ... Suuri tietosanakirja sanasto

Y:n arvo on muuttuva, mutta x:n arvo ei ole äärettömän pieni, joten y = 1 / x. * * * EI ASENNUSTA SUURI EI ASENNUSTA SUURI, muuttuva arvo Y, soi äärettömän pieni arvo X, joten Y = 1 / X ... tietosanakirjasta

Matematiikassa arvo muuttuu, sillä tässä prosessissa muutoksesta tulee itseisarvoltaan suurempi kuin mikään ennalta määrätty luku. Vivchennya B. s. arvot voidaan tuoda vivchennyaan loputtomiin malikh (Div. ... ... Velyka Radianska Encyclopedia

Sanomattoman pieniä toimintoja

Toiminto %% f (x) %% kutsu loputtoman vähän(B.m.) %% x \ arvoon \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, ikään kuin samalle argumentille rajafunktio on nolla.

Ponyattya b.m. Funktiot ovat kohtuuttomasti sidoksissa muutokseen ja argumenttiin liittyvien merkityksien vuoksi. Voit puhua bm:stä. toimii arvolla %% a \ - a + 0 %% і arvolle %% a \ - a - 0 %%. Zazvychay b.m. funktioita käytetään pähkinän aakkosten ensimmäisille kirjaimille %% \ alfa, \ beta, \ gamma, \ ldots %%

laita päälle

1. Funktiot %% f (x) = x %% є b.m. kohdassa %% x \ - 0 %%, rajan merkit pisteessä %% a = 0 %% tie nollaan. Lause kaksipuolisen rajapinnan ja yksipuolisen funktion välisestä linkistä - b.m. yak arvolle %% x \ - + 0 %%, joten i arvolle %% x \ -0 %%.
2. Funktiot %% f (x) = 1 / (x ^ 2) %% - b.m. %% x \ to \ infty %% (ja myös %% x \ to + \ infty %% і arvolle %% x \ to - \ infty %%).

Lukua ei näytetä nollana, koska se ei ollut liian pieni absoluuttisille arvoille, ei є b.m. toiminto. Pysyvän määrän vinjettejä varten aseta talutushihna nollaan, funktion %% f (x) \ equiv 0 %% fragmentit nollaan.

lause

Funktiot %% f (x) %% maє pisteissä %% a \ in \ overline (\ mathbb (R)) luvun %% b %% i b.m summalle. funktio %% \ alfa (x) %% arvolle %% x \ arvoon %% tai $$ \ olemassa ~ \ lim \ limits_ (x \ to a) (f (x)) = b \ in \ mathbb (R ) \ Vasen oikea nuoli \ vasen (f (x) = b + \ alfa (x) \ oikea) \ maa \ vasen (\ lim \ limits_ (x \ to a) (\ alfa (x) = 0) \ oikea). $$

Äärettömän pienten funktioiden voima

Rajasiirtymän säännöt kohdassa %% c_k = 1 ~ \ forall k = \ overline (1, m), m \ in \ mathbb (N) %%, seuraavat seuraavaa lausetta:

1. Suma kintsevoy numero b.m. funktio %% x \:sta a %% є b.m. %% x \ - %%.
2. Twir mistä tahansa numerosta b.m. funktio %% x \:sta a %% є b.m. %% x \ - %%.

Tvir b.m. funktio kohdassa %% x \ to a %% і funktiot, jotka on kytketty toisiinsa lävistettyyn reunaan %% \ pinoa (\ circ) (\ teksti (U)) (a) %% pistettä a, є b.m. %% x \:lla %%-funktioon.

On selvää, että pysyviä toimintoja ja bm:tä on mukautettu. kohdassa %% x \ - %% є b.m. funktio %% x \:stä %%.

Vastaavat äärettömän pienet toiminnot

Sanomattoman pieniä funktioita %% \ alfa (x), \ beta (x) %% kun kutsutaan %% x \ to a %% vastaava Kirjoitan %% \ alfa (x) \ sim \ beta (x) %%, mikä on

$$ \ lim \ limits_ (x \ to a) (\ frac (\ alfa (x)) (\ beta (x))) = \ lim \ limits_ (x \ to a) (\ frac (\ beta (x)) ) (\ alfa (x))) = 1. $$

Lause b.m:n korvaamisesta toiminnot vastaavat

Tule %% \ alfa (x), \ alpha_1 (x), \ beta (x), \ beta_1 (x) %% - b.m. funktio %% x \ arvosta %% ja %% \ alpha (x) \ sim \ alpha_1 (x); \ Beta (x) \ sim \ beta_1 (x) %%, tody $$ \ lim \ limits_ (x \ to a) (\ frac (\ alfa (x)) (\ beta (x))) = \ lim \ rajat_ (x \ to a) (\ frac (\ alpha_1 (x)) (\ beta_1 (x))). $$

Vastaava b.m. toimintoja.

Tule %% \ alfa (x) %% - b.m. funktio %% x \ to a %%, todі

1. %% \ sin (\ alfa (x)) \ sim \ alfa (x) %%
2. %% \ näyttötyyli 1 - \ cos (\ alfa (x)) \ sim \ frac (\ alpha ^ 2 (x)) (2) %%
3. %% \ tan \ alfa (x) \ sim \ alfa (x) %%
4. %% \ arcsin \ alfa (x) \ sim \ alfa (x) %%
5. %% \ arctan \ alfa (x) \ sim \ alfa (x) %%
6. %% \ ln (1 + \ alfa (x)) \ sim \ alfa (x) %%
7. %% \ näyttötyyli \ sqrt [n] (1 + \ alfa (x)) - 1 \ sim \ frac (\ alfa (x)) (n) %%
8. %% \ näyttötyyli a ^ (\ alfa (x)) - 1 \ sim \ alfa (x) \ ln (a) %%

peppu

$$ \ begin (array) (ll) \ lim \ limits_ (x \ to 0) (\ frac (\ ln \ cos x) (\ sqrt (1 + x ^ 2) - 1)) & = \ lim \ limits_ (x \ to 0) (\ frac (\ ln (1 + (\ cos x - 1))) (\ frac (x ^ 2) (4))) = \\ & = \ lim \ limits_ (x \ to 0) (\ frac (4 (\ cos x - 1)) (x ^ 2)) = \\ & = \ lim \ limits_ (x \ to 0) (- \ frac (4 x ^ 2) (2 x ^ 2)) = -2 \ end (taulukko) $$

Sanomattoman hienoja toimintoja

Toiminto %% f (x) %% kutsu äärettömän hienoa(B.B.) %% x \ arvoon \ in \ overline (\ mathbb (R)) %%, koska samalla argumentilla funktiolla on rajoittamaton raja.

Podibno b.m. todistaja B.B. Funktiot ovat kohtuuttomasti sidoksissa muutokseen ja argumenttiin liittyvien merkityksien vuoksi. Voit puhua BB:stä. toimii arvolla %% x \ arvoon a + 0 %% і %% x \ arvoon a - 0 %%. Termi "määrättömän suuri" ei puhu ehdottoman merkityksellisestä toiminnasta, vaan sen käärmeen luonteesta tietyn pisteen laitamilla. Mikä tahansa luku ei ole pysyvä, koska se ei ollut suuri absoluuttisten arvojen yläpuolella, ei loputtoman suuri.

laita päälle

1. Funktiot %% f (x) = 1 / x %% - B.B. kohdassa %% x \ - 0 %%.
2. Funktiot %% f (x) = x %% - B.B. %% x \ to \ infty %%.

Yakshho Viconany dow arvon $$ \ begin (array) (l) \ lim \ limits_ (x \ to a) (f (x)) = + \ infty, \\ \ lim \ limits_ (x \ to a) (f ( x)) = - \ infty, \ end (taulukko) $$

sitten puhua positiivinen abo negatiivinen B. B. %% a %% funktioilla.

peppu

Funktio %% 1 / (x ^ 2) %% - positiivinen B.B. kohdassa %% x \ - 0 %%.

Zvyazok mіzh B.B. i b.m. toimintoja

Yaksho %% f (x) %% - B.B. %% x \:lle %%-funktioon, sitten %% 1 / f (x) %% - b.m.

%% x \ - %%. Yaksho %% \ alfa (x) %% - b.m. kohdassa %% x \ %%-funktioon, näytetään nollasta lävistettyyn lähipisteeseen %% a %%, sitten %% 1 / \ alfa (x) %% - B.B. %% x \ - %%.

Loputtoman mahtavien toimintojen voima

Todennäköisesti B.B:n viranomaisten sirpale. toimintoja. Tehon teho bezposeredno vyplivayut nimityksestä BB. funktiot ja funktioiden potenssit, joita voidaan käyttää rajaviivana, sekä lauseet B.B.:n välisistä linkeistä. i b.m. toimintoja.

1. B.B. funktio %% x \ - %% є B.B. funktio %% x \:stä %%. Dіysno, kuten %% f_k (x), k = \ overline (1, n) %% - B.B. funktio kohdassa %% x \ arvoon a %%, sitten lävistetyssä lähipisteessä %% a %% %% f_k (x) \ ne 0 %%, i lauseella B.B.n yhteyksistä. i b.m. funktio %% 1 / f_k (x) %% - b.m. funktio %% x \:stä %%. Siirry %% \ displaystyle \ prod ^ (n) _ (k = 1) 1 / f_k (x) %% - B.M-funktio: %% x \ arvoon %% ja %% \ displaystyle \ prod ^ (n ) _ (k = 1) f_k (x) %% - BB funktio %% x \:stä %%.
2. Tvir B.B. toimii kohdassa %% x \ - %% і toimii, kuten puhkaisussa lähellä pistettä %% a %% positiivisemman jälkeisen aikavälin absoluuttisten arvojen є BB yläpuolella. funktio %% x \:stä %%. Zokrem, TVIR B.B. toimii kohdassa %% x \ - a %% і funktioita, jotka voivat olla kohdassa %% a %% nollasta poikkeava raja, jos BB. funktio %% x \:stä %%.

Summa on pisteen sisällä lähellä funktion %% a %% pistettä ja BB:tä. funktiot %% x \ - %% є B.B. funktio %% x \:stä %%.

Esimerkiksi funktiot %% x - \ sin x %% і %% x + \ cos x %% - B.B. %% x \ to \ infty %%.

3. Suma kaksi B.B. funktio %% x \:lle %% є ei-arvoon. Putoaminen merkistä ennen muutoksen luonnetta, tällainen sumi voi olla erittäin suosittu.

   peppu

   Olkoon funktio %% f (x) = x, g (x) = 2x, h (x) = -x, v (x) = x + \ sin x %% - B.B. funktiot %% x \ - \ infty %%. Todi:

   • %% f (x) + g (x) = 3 x %% - B.B. funktio %% x \ to \ infty %%;
   • %% f (x) + h (x) = 0 %% - b.m. funktio %% x \ to \ infty %%;
   • %% h (x) + v (x) = \ sin x %% ei äiti, kun %% x \ to \ infty %%.