Межа функції простою мовою. Межі

Примара «мінус нескінченності» вже давно витала у цій статті. Розглянемо межі з многочленами, у яких . Принципи та методи вирішення будуть такими ж, що й у першій частині уроку, за винятком низки нюансів.

Розглянемо 4 фішки, які будуть потрібні для вирішення практичних завдань:

1) Обчислимо межу

Значення межі залежить лише від доданку , оскільки вона має найвищим порядком зростання. Якщо то нескінченно велике за модулемвід'ємне число ЧОРНОМУ ступені, у разі – в четвертої, і «плюс нескінченності»: . Константа («двійка») позитивнатому:

2) Обчислимо межу

Тут старший ступінь знову парна, Тому: . Але перед розташувався «мінус» ( негативнаконстанта –1), отже:

3) Обчислимо межу

Значення межі залежить лише від . Як ви пам'ятаєте зі школи, мінус вискакує з-під непарного ступеня, тому нескінченно велике за модулемнегативне число в непарному ступеніі «мінус нескінченності», у разі: .
Константа («четвірка») позитивна, значить:

4) Обчислимо межу

Перший хлопець на селі знову має непарнийступенем, крім того, за пазухою негативнаконстанта, а значить: Таким чином:
.

Приклад 5

Знайти межу

Використовуючи викладені вище пункти, приходимо до висновку, що тут невизначеність . Чисельник і знаменник одного порядку зростання, отже, межі вийде кінцеве число. Дізнаємося відповідь, відкинувши всіх мальків:

Рішення тривіальне:

Приклад 6

Знайти межу

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

А зараз, мабуть, найтонший із випадків:

Приклад 7

Знайти межу

Розглядаючи старші доданки, приходимо до висновку, що тут невизначеність. Чисельник вищого порядку зростання, ніж знаменник, тому відразу можна сказати, що межа дорівнює нескінченності. Але який нескінченності, «плюс» чи «мінус»? Прийом той же - у чисельнику і знаменнику позбудемося дрібниці:

Вирішуємо:

Розділимо чисельник та знаменник на

Проаналізуємо нескінченно малі доданки знаменника:

Якщо , то доданки з парнимиступенями прагнутимуть до нескінченно малимпозитивним числам (позначаються через ), а доданки з непарнимиступенями прагнутимуть до нескінченно малимнегативним числам (позначаються через).

Тепер поставимо питання, яке з цих чотирьох доданків буде прагнути до нуля (неважливо з яким знаком) найповільніше? Згадаймо наївний прийом: спочатку "ікс" дорівнює -10, потім -100, потім -1000 і т.д. Найповільніше до нуля буде наближатися доданок. Образно кажучи, це «жирний» нуль, який «поглинає» всі інші нулі. З цієї причини на завершальному етапі і з'явився запис.

Слід зазначити, що знаки нескінченно малихдоданків чисельника нас не цікавлять, оскільки там намалювалася відчутна добротна одиниця. Тому в чисельнику я поставив "просто нулі". До речі, знаки за нулів немає значення й у всіх прикладах, де у межі виходить кінцеве число (Приклади №№5,6).

Без зрад, то він і математичний аналіз, щоб аналізувати =)

Втім, про нескінченно малих функціяхпізніше, а то ви натиснете маленький хрестик праворуч вгорі =)

Приклад 8

Знайти межу

Це приклад самостійного рішення.

Визначення кінцевих та нескінченних меж функції на нескінченності по Коші. Визначення двосторонніх та односторонніх меж (зліва та праворуч). Приклади рішень задач, у яких, використовуючи визначення Коші, потрібно показати, що межа на нескінченності дорівнює заданому значенню, .

Зміст

Див. також: Околиця точки
Універсальне визначення межі функції по Гейні та Коші

Кінцева межа функції на нескінченності

Межа функції на нескінченності:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Визначення межі по Коші
Число a називається межею функції f (x)при x, що прагне до нескінченності (), якщо
1) існує така | >
2) для будь-якого, скільки завгодно малого позитивного числа ε > 0 існує таке число N ε > K, що залежить від ε , що всім x, |x| > N ε, значення функції належать ε - околиці точки a:
|f (x) - a |< ε .
Межа функції на нескінченності позначається так:
.
Або при .

Також часто використовується таке позначення:
.

Запишемо це визначення, використовуючи логічні символи існування та загальності:
.
Тут мається на увазі, що значення належать області визначення функції.

Односторонні межі

Ліва межа функції на нескінченності:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Часто трапляються випадки, коли функція визначена тільки для позитивних або негативних значеньзмінної x (точніше на околиці точки або ). Також межі на нескінченності для позитивних та негативних значень x можуть мати різні значення. Тоді використовують односторонні межі.

Ліва межа в нескінченно віддаленій точціабо межа при x що прагне мінус нескінченності () визначається так:
.
Права межа в нескінченно віддаленій точціабо межа при x прагне до плюс нескінченності () :
.
Односторонні межі на нескінченності часто позначають так:
; .

Нескінченна межа функції на нескінченності

Нескінченна межа функції на нескінченності:
|f(x)| > M за |x| > N

Визначення нескінченної межі по Коші
Межа функції f (x)при x, що прагне до нескінченності (), дорівнює нескінченності, якщо
1) існує така околиця нескінченно віддаленої точки | > K , де функція визначена (тут K - позитивне число);
2) для будь-якого, скільки завгодно великого числа M > 0 , існує таке число N M > K, залежить від M , що всім x, |x| > N M , значення функції належать околиці нескінченно віддаленої точки:
|f (x) | > M.
Нескінченну межу при x, що прагне до нескінченності, позначають так:
.
Або при .

За допомогою логічних символів існування та загальності, визначення нескінченної межі функції можна записати так:
.

Аналогічно вводяться визначення нескінченних меж певних знаків, рівних і :
.
.

Визначення односторонніх меж на нескінченності.
Ліві межі.
.
.
.
Праві межі.
.
.
.

Визначення межі функції за Гейном

Число a (кінцеве або нескінченно віддалене) називається межею функції f (x)у точці x 0 :
,
якщо
1) існує така околиця нескінченно віддаленої точки x 0 , на якій функція визначена (тут або );
2) для будь-якої послідовності ( x n ), що сходить до x 0 : ,
елементи якої належать околиці , послідовність (f(x n))сходиться до a:
.

Якщо в якості околиці взяти околицю нескінченно віддаленої точки без знака: , то отримаємо визначення межі функції при стрімкому нескінченності, що . Якщо взяти лівосторонню або правосторонню околицю нескінченно віддаленої точки x 0 : або , то отримаємо визначення межі при x, що прагне мінус нескінченності і плюс нескінченності, відповідно.

Визначення межі по Гейні та Коші еквівалентні.

Приклади

Приклад 1

Використовуючи визначення Коші показати, що
.

Введемо позначення:
.
Знайдемо область визначення функції. Оскільки чисельник і знаменник дробу є многочленами, то функція визначена всім x крім точок, у яких знаменник перетворюється на нуль. Знайдемо ці точки. Вирішуємо квадратне рівняння. ;
.
Коріння рівняння:
; .
Оскільки, то й.
Тому функція визначена за . Це ми будемо використовувати надалі.

Випишемо визначення кінцевої межі функції на нескінченності по Коші:
.
Перетворюємо різницю:
.
Розділимо чисельник і знаменник на та помножимо на -1 :
.

Нехай.
Тоді
;
;
;
.

Отже, ми знайшли, що при ,
.
.
Звідси слідує що
при , і .

Оскільки завжди можна збільшити, візьмемо . Тоді для будь-кого,
при .
Це означає, що .

Приклад 2

Нехай.
Використовуючи визначення межі по Коші показати, що:
1) ;
2) .

1) Рішення при x, що прагне мінус нескінченності

Оскільки, то функція визначена всім x .
Випишемо визначення межі функції при , що дорівнює мінус нескінченності:
.

Нехай. Тоді
;
.

Отже, ми знайшли, що при ,
.
Вводимо позитивні числа та:
.
Звідси випливає, що для будь-якого позитивного числа M є число , так що при ,
.

Це означає, що .

2) Рішення у x прагне до плюс нескінченності

Перетворимо вихідну функцію. Помножимо чисельник і знаменник дробу і застосуємо формулу різниці квадратів:
.
Маємо:

.
Випишемо визначення правої межі функції при:
.

Введемо позначення: .
Перетворюємо різницю:
.
Помножимо чисельник і знаменник на :
.

Нехай
.
Тоді
;
.

Отже, ми знайшли, що при ,
.
Вводимо позитивні числа та:
.
Звідси слідує що
при і.

Оскільки це виконується для будь-якого позитивного числа, то
.

Використана література:
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.

Див. також:

Першим чудовим межею називають таку рівність:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Так як при $ \ alpha \ to (0) $ маємо $ \ sin \ alpha \ to (0) $, то кажуть, що перша чудова межа розкриває невизначеність виду $ \ frac (0) (0) $. Взагалі кажучи, у формулі (1) замість змінної $ \ alpha $ під знаком синуса і в знаменнику може бути розташоване будь-яке вираження, - аби виконувалися дві умови:

1. Висловлювання під знаком синуса й у знаменнику одночасно прагнуть нуля, тобто. є невизначеність виду $\frac(0)(0)$.
2. Вирази під знаком синуса і знаменнику збігаються.

Часто використовуються також наслідки з першої чудової межі:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

На цій сторінці вирішено одинадцять прикладів. Приклад №1 присвячений доказу формул (2)-(4). Приклади №2, №3, №4 та №5 містять рішення з докладними коментарями. Приклади №6-10 містять рішення практично без коментарів, бо докладні пояснення було надано у попередніх прикладах. При вирішенні використовуються деякі тригонометричні формули, які можна знайти.

Зауважу, що наявність тригонометричних функційразом із невизначеністю $\frac (0) (0)$ ще означає обов'язкове застосування першої чудової межі. Іноді буває досить простих тригонометричних перетворень, наприклад, див.

Приклад №1

Довести, що $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha )(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

а) Так як $ \ tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) $, то:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Оскільки $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ і $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , то:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

б) Зробимо заміну $ \ alpha = \ sin (y) $. Оскільки $\sin(0)=0$, то з умови $\alpha\to(0)$ маємо $y\to(0)$. Крім того, існує околиця нуля, в якій $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, тому:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Рівність $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ доведено.

в) Зробимо заміну $ alpha = tg (y) $. Оскільки $\tg(0)=0$, то умови $\alpha\to(0)$ і $y\to(0)$ еквівалентні. Крім того, існує околиця нуля, в якій $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, тому, спираючись на результати пункту а), матимемо:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Рівність $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ доведено.

Рівності а), б), в) часто використовуються поряд із першою чудовою межею.

Приклад №2

Обчислити межу $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Оскільки $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ і $\lim_( x\to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, тобто. і чисельник і знаменник дробу одночасно прагнуть нулю, то тут маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$, тобто. виконано. Крім того, видно, що вирази під знаком синуса і в знаменнику збігаються (тобто виконано і):

Отже, обидві умови, перелічені на початку сторінки, виконані. На цьому випливає, що застосовна формула , тобто. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7)) = 1 $.

Відповідь: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 $.

Приклад №3

Знайти $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Оскільки $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ і $\lim_(x\to(0))x=0$, ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0 ) (0) $, тобто. виконано. Проте вирази під знаком синуса і знаменнику не збігаються. Тут потрібно підігнати вираз у знаменнику під необхідну форму. Нам необхідно, щоб у знаменнику розташувався вираз $9x$ - тоді стане істинним. По суті, нам не вистачає множника $9$ у знаменнику, який не так вже й складно ввести, - просто домножити вираз у знаменнику на $9$. Природно, що для компенсації домноження на $9$ доведеться відразу на $9$ і розділити:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Тепер вирази у знаменнику та під знаком синуса збіглися. Обидві умови для межі $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ виконані. Отже, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. А це означає, що:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9cdot(1)=9. $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Приклад №4

Знайти $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Оскільки $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ і $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, то тут ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Однак форма першої чудової межі порушена. Чисельник, що містить $\sin(5x)$, вимагає наявності у знаменнику $5x$. У цій ситуації найпростіше розділити чисельник на $5x$, - і відразу на $5x$ домножити. Крім того, проробимо аналогічну операцію і зі знаменником, домноживши та розділивши $\tg(8x)$ на $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Скорочуючи на $x$ і виносячи константу $\frac(5)(8)$ за знак межі, отримаємо:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Зверніть увагу, що $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ повністю задовольняє вимогам для першої чудової межі. Для відшукання $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ застосовна формула :

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Приклад №5

Знайти $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Оскільки $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (нагадаю, що $\cos(0)=1$) і $\lim_(x\to(0))x^2=0$, ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Однак, щоб застосувати першу чудову межу, слід позбутися косинуса в чисельнику, перейшовши до синусів (щоб потім застосувати формулу) або тангенсів (щоб потім застосувати формулу). Зробити це можна таким перетворенням:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Повернемося до межі:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Дроб $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ вже близька до тієї форми, що потрібно для першої чудової межі. Трохи попрацюємо з дробом $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, підганяючи її під першу чудову межу (врахуйте, що вирази в чисельнику і під синусом повинні збігтися):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Повернемося до межі:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\=25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1 ^ 2) = 25. $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Приклад №6

Знайти межу $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Оскільки $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ і $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, ми маємо справу з невизначеністю $\frac(0)(0)$. Розкриємо її за допомогою першої чудової межі. Для цього перейдемо від косинусів до синусів. Оскільки $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, то:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Переходячи в заданій межі до синусів, матимемо:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Приклад №7

Обчислити межу $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ за умови $\alpha\neq\ beta $.

Детальні пояснення були дані раніше, тут просто відзначимо, що знову є невизначеність $\frac(0)(0)$. Перейдемо від косинусів до синусів, використовуючи формулу

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Використовуючи вказану формулу, отримаємо:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0) \right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\=-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2) (2) $.

Приклад №8

Знайти межу $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Оскільки $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (нагадаю, що $\sin(0)=\tg(0)=0$) і $\lim_(x\to(0))x^3=0$, то тут ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Розкриємо її так:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = frac(1)(2). $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Приклад №9

Знайти межу $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Оскільки $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ і $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x -3) (2) = 0 $, то є невизначеність виду $ \ frac (0) (0) $. Перед тим, як переходити до її розкриття, зручно зробити заміну змінною таким чином, щоб нова змінна прямувала до нуля (зверніть увагу, що у формулах змінна $\alpha\to 0$). Найпростіше ввести змінну $t=x-3$. Однак задля зручності подальших перетворень (цю вигоду можна помітити під час наведеного нижче рішення) варто зробити таку заміну: $t=\frac(x-3)(2)$. Зазначу, що обидві заміни застосовні в даному випадку, просто друга заміна дозволить менше працювати з дробами. Оскільки $x\to(3)$, то $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Відповідь: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Приклад №10

Знайти межу $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2 ) $.

Знову маємо справу з невизначеністю $\frac(0)(0)$. Перед тим, як переходити до її розкриття, зручно зробити заміну змінною таким чином, щоб нова змінна прямувала до нуля (зверніть увагу, що у формулах змінна $\alpha\to(0)$). Найпростіше ввести змінну $t=\frac(\pi)(2)-x$. Оскільки $x\to\frac(\pi)(2)$, то $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) = frac(1)(2). $$

Відповідь: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) = frac (1) (2) $.

Приклад №11

Знайти межі $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

У цьому випадку нам не доведеться використовувати першу чудову межу. Зверніть увагу: як у першому, так і в другому межах присутні лише тригонометричні функції та числа. Найчастіше в таких прикладах вдається спростити вираз, розташоване під знаком межі. При цьому після згаданого спрощення та скорочення деяких співмножників невизначеність зникає. Я навів цей приклад лише з однією метою: показати, що наявність тригонометричних функцій під знаком межі зовсім не обов'язково означає застосування першої чудової межі.

Оскільки $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (нагадаю, що $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) і $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (нагадаю, що $\cos\frac(\pi)(2)=0$), то ми маємо справу з невизначеністю виду $ frac (0) (0) $. Однак це зовсім не означає, що нам потрібно використовувати першу чудову межу. Для розкриття невизначеності досить врахувати, що $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) = frac(1)(1+1) = frac(1)(2). $$

Аналогічний спосіб рішення є й у ґраті Демидовича (№475). Що ж до другої межі, те як і попередніх прикладах цього розділу, ми маємо невизначеність виду $\frac(0)(0)$. Чому вона виникає? Вона виникає тому, що $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ і $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = -1 $. Використовуємо ці значення з метою перетворення виразів у чисельнику та у знаменнику. Мета наших дій: записати суму в чисельнику та знаменнику у вигляді твору. До речі, часто в межах аналогічного виду зручна заміна змінної, зроблена з таким розрахунком, щоб нова змінна прямувала до нуля (див., наприклад, приклади №9 або №10 на цій сторінці). Однак у даному прикладі в заміні сенсу немає, хоча за бажання заміну змінної $t=x-\frac(2\pi)(3)$ нескладно здійснити.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\) cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Як бачите, нам не довелося застосовувати першу чудову межу. Звичайно, за бажання це можна зробити (див. примітку нижче), але потреби в цьому немає.

Яким буде рішення з використанням першої чудової межі? показати\сховати

При використанні першої чудової межі отримаємо:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-frac(2\pi)(3)\) right))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1cdot(1)cdotfrac(1)(-2cdotfrac(sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Відповідь: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Урок та презентація на тему: "Межа функції на нескінченності"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі для 10 та 11 класів

Що вивчатимемо:

1. Що таке Нескінченність?

5. Властивості. 6. Приклади.

Діти, давайте подивимося, що таке межа функції на нескінченності?
А що таке нескінченність?
Нескінченність- використовується для характеристики безмежних, безмежних, невичерпних предметів та явищ, у разі характеристика чисел.

Нескінченність- скільки завгодно велике (мале), безмежне число.
Якщо розглянути координатну площину, то вісь абсцис (ординат) йде на нескінченність, якщо її безмежно продовжувати вліво або вправо (вниз або вгору).

Тепер давайте перейдемо до межі функції на нескінченності:
Нехай у нас є функція y=f(x), область визначення нашої функції містить промінь, і нехай пряма y=b є горизонтальною асимптотою графіка функції y=f(x), запишемо все це математичною мовою:

Також наші співвідношення можуть виконуватися одночасно:

Тоді прийнято записувати як:

Межа функції y=f(x) при x прагне до нескінченності дорівнює b

Приклади

Побудувати графік функції y=f(x), такий що:
1) Область визначення – безліч дійсних чисел.
2) f(x) - безперервна функція
3) 4)Рішення: Нам треба побудувати безперервну функцію (-∞; +∞). Покажемо кілька прикладів нашої функції.

Основні властивості

Для обчислення межі на нескінченності користуються кількома

1) Для будь-якого натурального числа m справедливе наступне співвідношення:

2) Якщо те:
а) Межа суми дорівнює сумі меж:

Б) Межа твору дорівнює твору меж:

в) Межа приватного дорівнює приватній межі:

г) Постійний множник можна винести за знак межі:

приклад 1.

Знайти: Рішення: Розділимо чисельник та знаменник дробу на x. Скористаємося властивістю межа приватного дорівнює приватній межі:

Діти, згадайте межу числової послідовності.

Отримаємо:

приклад 2.

Знайти межу функції y=f(x), що при x прагне до нескінченності.
Рішення.

• МЕЖ, -а, м.

  1. Край, кінцева частина чогось л. Тут крайня межа Пермської губернії.Мамин-Сибіряк, Дружки. Здавалося, що немає і не буде межі цих лісів.Бєлов, Кануни. || перекл.Кінець, закінчення, завершення чогось л. [Хворий] не думав про свій близький кінець, - про ту межу, до якої він мчав з запаморочливою швидкістю.Гладков, Енергія. Вона була для них старою людиною, якій залишалася остання жіноча частка - материнська турбота.Лавреньов, Стара. Тільки катастрофа могла б поставити межу розладу Микити із самим собою.Федін, Брати.

  2. мн. год. (межі, -ів). Природна чи умовна риса, є межею какой-л. території; рубіж. На сході він [Святослав] розсунув межі російської землі до тих кордонів, які за п'ятсот років довелося знову окреслювати Івана Грозного.А. Н. Толстой, Звідки пішла російська земля. Опинившись поза межами отчій землі, Шаляпін помер від ностальгії - туги за батьківщиною.Грибачов, Берізка та океан. || чогоабо які.Місцевість, простір, укладені в якісь л. Межі. Ашагінські ліси прийняли мисливців у свої заповідні межі.Тихонов, Подвійна веселка. Цієї ночі весняної білої Солов'ї славослів'ям гуркотливим Оголошують лісові межі.Пастернак, біла ніч. Поступово камерна музика вийшла за межі особняків багатих та знатних людей і почала виконуватись у концертних залах, де ми слухаємо її й у наші дні.Кабалевський, Про трьох китів та багато іншого. || Трад.-поет.Край, країна. А князь тим отрутою наситив Свої слухняні стріли І з ними загибель розіслав До сусідів у чужі межі.Пушкін, Анчар. Я пам'ятаю, як сонце горіло, на зимовий зійшов небосхил, коли з далеких меж до Москви прилетів літак.Сміляків, Пам'яті Димитрова. || Проміжок часу, обмежений якими-л. термінами (зазвичай у поєднанні в межах). Кажуть, що до Оренбурга їздять чавункою, і, можливо, я поїду, але все в межах 14 днів.Л. Толстой, Лист З. А. Толстой, 4 сент. 1876.

  3. зазвичай мн. год. (межі, -ів) перекл.міра, межа чого-л.; рамки. У межах пристойності. □ Нарешті, всякому терпінню 365 є межі.Писарєв, Посмертні вірші Гейне. - Поки що я не виходжу за межі наданих мені законом прав командувача флоту.Степанов, Порт-Артур. Пізнання про минуле своєї батьківщини у Федора Андрійовича були дуже скромні, переважно, у межах «короткого курсу».Є. Носов, Не май десять рублів. || Вища ступінь чого-л. Межа мрій. □ Сили людей, фізичні та моральні, були доведені до краю знемоги.В. Кожевніков, Парашутист. Країна моя, прекрасний твій порив У всьому досягти останньої межі!Винокуров, "Інтернаціонал".

  4. Мат.Постійна величина, до якої наближається змінна величина, яка залежить від іншої змінної величини, за певної зміни останньої. Межа числової послідовності.

  На межі- 1) в крайньому ступені напруги. Нерви на межі; 2) вкрай роздратування. [Галя:] Я сама його боюся сьогодні. Він на межі.Погодин, Квіти живі.

Джерело (друкована версія):Словник російської: У 4-х т. / РАН, Ін-т лінгвістич. досліджень; За ред. А. П. Євгенєвої. - 4-те вид., Стер. - М: Рус. яз.; Поліграфресурси, 1999; (електронна версія):