Taylor operatorių serija. Funkcijų išdėstymas statinėje eilutėje

Vivechayuchim ieško matematikos kaltas žinoti, kad su tokios statinės serijos suma, kuri turėtų būti duotosios serijos intervale, funkcija pasirodo be pertrūkių ir be pertrūkių. Kalta mityba: kaip patvirtinti, kad duota pakankama funkcija f (x) – tokios sukrautos serijos suma? Taigi kai kuriems protams funkcija f (x) gali būti pavaizduota šalia jos esančia būsena? Tokios mitybos svarba slypi tame, kad funkciją f(x) galima apytiksliai pakeisti dešimties pirmųjų būsenų eilutės narių suma, tai yra daugianario. Tokį funkcijos pakeitimą galima atlikti naudojant paprastą virazę - turtingas terminas - є patogus ir su dienos virishenni užduotimis ir savimi: su integralų dispersija, su skaičiavimu ir kt.

Įrodyta, kad giedojimui f-ії f(x), kuriame galima apskaičiuoti šalia (n + 1)-osios eilės, įskaitant likusią, šalia (α - R; x) 0 + R) deak taško x = α teisinga є formulė:

„Tsya“ formulė, skirta dėvėti „im'ya“ didžiosios Brooke Taylor vardu. Eilė, paimta iš priekio, vadinama Maclaurin eilute:

Paprastai, jei galiu išdėstyti Maclaurin seriją:

1. Nurodykite pirmąjį, antrąjį, trečiąjį ... užsakymus.
2. Apskaičiuokite, kodėl jis vertas x=0.
3. Užrašykite duotosios funkcijos Maclaurin eilutes, po kurių nustatomas jogos efektyvumo intervalas.
4. Apskaičiuokite intervalą (-R;R), neperteklinę Maklaurino formulės dalį

R n (x) -> 0 n -> nenuoseklumas. Iš esmės funkcija f (x) yra kalta dėl Maclaurin serijos sumos.

Dabar pažvelkime į keletą Maclaurin funkcijų.

1. Nuo šiol pirmasis bus f (x) \u003d e x. Akivaizdu, kad dėl savo ypatumų tokia funkcija gali būti panaši į dažniausiai pasitaikančias eiles, be to, f (k) (x) \u003d e x, de k greičiausiai bus x = 0. Atimame f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2...

2. Maklaurino eilutė funkcijai f(x) = sin x. Na, aišku, kad funkcija tinka visoms nežinomoms motinoms, prieš tai f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x) = sin(x+k*n/2), natūralusis skaičius. Taigi, atlikę nenuoseklius pjūvius, galime susiūti taip, kad serija f (x) = sin x atrodytų taip:

3. Dabar pabandykime pažvelgti į funkciją f(x) = cos x. Laimėjo visas nevіdomih gali pokhіdnі pakankamai tvarka, be to |f (k) (x)| = | cos(x + k * n/2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Be to, mes peržiūrėjome svarbiausias funkcijas, kurias galima išplėsti iki Maclaurin serijos, prote їх, kad papildytų Taylor šių funkcijų seriją. Nini mi pererahuєmo ir їх. Varto taip pat reiškia, kad Taylor ir Maclaurin eilutės yra svarbi visos matematikos eilučių tobulinimo praktikos dalis. Tėve, myliu Teilor.

1. Pirmoji eilutė bus f-ії f (x) \u003d ln (1 + x). Kaip ir priekiniai užpakaliai, kad gautume f (x) = ln (1 + x), galime sudėti eilutę, kuri atrodo kaip Maclaurin eilutė. tačiau šiai funkcijai Maclaurin serija gali būti daug paprastesnė. Integravę šią geometrinę seką, paimame tokio elemento f (x) \u003d ln (1 + x) seriją:

2. Kitas, kuris bus baigtas mūsų straipsnyje, bus f(x) = arctg x serija. Jei x, tarp kurių turi būti [-1; 1] teisingas є išdėstymas:

Ant kurio viskas. Šioje statistikoje Taylor ir Maclaurin eilutės buvo nagrinėjamos kituose matematikos, gamtos mokslų, ekonomikos ir technikos universitetuose.

Kokia funkcija f(x) Gegužės kitu intervalu, kad atkeršytų už tai a, panašiai kaip ir visi užsakymai, tada prieš ją galima įstrigti Teiloro formulė:

de rn- taigi perteklinio nario arba perteklinės eilutės pavadinimai, kuriuos galima įvertinti Lagranžo formulės pagalba:

, de skaičius x yra tarp Xі a.

Yakshcho reiškia deyakogo x r n®0 val n®¥, tada Taylor formulė šiai vertei paverčiama panašia Taylor serija:

Taigi, funkcija f(x) gali būti išdėstyta Taylor eilutėje matomoje vietoje X, Kaip:

1) gali būti ir blogesnių užsakymų;

2) raginimų serija susilieja tsіy taškuose.

At a=0 otrimuemo eilutė, eilės Maclaurino praporščikas:

užpakalis 1 f(x)= 2x.

Sprendimas. Mes žinome funkcijos reikšmę ir її panašios X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f¢¢(x) = 2x 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n) (x) = 2x ln n 2, f(n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Pakeisdami panašių formulių reikšmes į Taylor seriją, imame:

Šios eilutės gyvavimo spindulys yra brangesnis nei nenuoseklumas, todėl toks paskirstymas yra teisingas:<x<+¥.

užpakalis 2 X+4) funkcijai f(x)= e x.

Sprendimas. Mes žinome panašias funkcijas x taške ta pati vertė X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n) (x)= e x, f(n) ( -4) = e -4 .

Vėlgi, galima pamatyti keletą Taylor funkcijų:

Šis paskirstymas taip pat galioja -¥<x<+¥.

užpakalis 3 . Išplėskite funkciją f(x)=ln x eilėje už laiptelių ( X- 1),

(Tobto Taylor serijoje netoli taško X=1).

Sprendimas. Mes žinome panašias funkcijas.

Pakeisdami formulės reikšmes, imame Taylor seriją:

Norėdami gauti papildomos pagalbos, d'Alembert ženklus galima pakeisti taip, kad eilė susijungtų ties

½ X- 1½<1. Действительно,

Nemažai susilieja, yakscho? X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X\u003d 2 paimame eilutę, kuri yra nubrėžta, kuri džiugina Leibnico ženklų protus. At X=0 funkcija nepriskirta. Šia tvarka plotas \u200b\u200bzbіzhnostі iki serijos Taylor є napіvvіdkritiy intervalo (0; 2).

Atimkime panašų išplitimo rangą į Maclaurin eilutę (ty šalia taško X=0) faktinėms elementarioms funkcijoms:

(2) ,

(3) ,

( likusi maketo dalis vadinama bіnomim kitas)

užpakalis 4 . Išdėstykite funkciją serijoje

Sprendimas. Prie išlankstymo (1) galima pakeisti X ant - X 2, mes priimame:

užpakalis 5 . Išplėskite Maclaurin funkciją serija

Sprendimas. Maymo

Naudodami (4) formulę galime parašyti:

atstovaujantis pavaduotojui X formulę -X, Mes imame:

Mes žinome:

Kreivas arkas, pertvarkyti eilės narius ir roblyachi, atsižvelgiant į panašius dodankіv, tai įmanoma

Kurių serijos susilieja intervale

(-1; 1), vynų šukės atimant iš dviejų eilučių, kurių lukštai šiuo intervalu susilieja.

Pagarba .

Formulės (1)-(5) gali būti naudojamos norint išplėsti rekursines funkcijas iki Taylor serijos, ty. kelių teigiamų žingsnių funkcijų išdėstymui ( Ha). Kuriai per tam tikrą funkciją būtina atlikti tokią transformaciją, kad būtų galima atlikti vieną iš funkcijų (1) - (5), tokiu būdu X kaina k( Ha) m, kur k yra pastovus skaičius, m yra sveikas teigiamas skaičius. Dažnai su kuo rankiniu būdu pakeiskite gyvatę t=Ha ir išplėsti Maclaurin serijos funkciją.

Šis metodas iliustruoja teoremą apie funkcijos išplėtimo į seriją vienybę. Šios teoremos esmė slypi tame, kad šalia vieno ir to paties taško negalima atimti dviejų skirtingų būsenų serijų, kurios tarsi susilieja į vieną ir tą pačią funkciją, nesvarbu, kokiu būdu plėtra nebuvo atlikta. .

užpakalis 6 . Išplėskite funkciją Taylor serijoje taško periferijoje X=3.

Sprendimas. Todėl užduotį, kaip ir anksčiau, galima pakeisti papildomu Taylor serijos tikslu, kuriam reikia žinoti panašias funkcijas ir jų reikšmes. X=3. Tačiau bus lengviau paspartinti akivaizdžius išdėstymus (5):

Atimties eilutės susilieja arba -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

užpakalis 7 . Parašykite Taylor seriją už žingsnių ( X-1) funkcijos .

Sprendimas.

Eilutės susilieja , arba -2< x£5.

Pateikiamas atsiejimo tarp, vikoristinių, dekompozuojančių funkcijų nuo Taylor serijos metodas. Sukelti sąstingį šiuo mažųjų galios metodu ir elementarių funkcijų išdėstymu iki Maclaurin serijos. Teigiama, kad buvo analizuojama taikyti skirtumą tarp, atkeršyti už nereikšmingumą ∞ - ∞, vienas nenuoseklumo stadijoje ir 0/0.

Zmist

Vyšnių metodas

Vienas iš pažangiausių neatitikimų sprendimo ir funkcijų skaičiavimo metodų yra Taylor serija. Šio metodo Zastosuvannya formuojasi iš ateinančių etapų.
1) Protui sukeliamas nematomumas 0/0 keičiant x, kuris lygus nuliui. Kam, kaip reikia, reikia pertvarkyti ir ryžtingai pakeisti pokytį.
2) Padėkite Taylor serijos numerį ir reklamjuostę taško x = pakraštyje 0 . Kai tik įmanoma, galima išplėsti iki tokio x n žingsnio, kuris reikalingas nereikšmingumui priimti. Kiti nariai, įtraukti į o (xn).

Šis metodas gali būti zastosuvat, akscho po 1 punkto), funkcijos skaičių knygelėje ir reklamjuostės gali būti išdėstytos iš eilės.

Rankiniu būdu pakeiskite sulankstymo funkcijų išdėstymą ir funkcijų sąmatą pagal puolimo schemą. A) Rodikliu nustatome etapą n, iki kurio atliekame išdėstymą.
B) Zastosovuєmo sumažinti Taylor serijos funkcijų išplėtimo formules, įtraukiant terminus į juos ir ištrinant terminus iš arba pakeičiant juos .
C) Sutraukiamoms funkcijoms tikslinga pakeisti besikeičiančias, kad odos dalies argumentas padidėtų iki nulio ties . Pavyzdžiui,
.
Čia adresu . Tada galite pasukti funkcijos išdėstymą taško pakraštyje.

Pastaba. Funkcijos išplėtimas Tayloro serijoje, esančios netoli taško, vadinamas Maclaurino praporščikas. Tam, kad zastosovuvanih siektų mūsų tikslų, vadinama nemažai išankstinių nusikaltimų.

Zastosovuvani galia maža

To autoriteto įrodymo apie mažą tikslas yra parodyti į šonus: „Apie didįjį, tai apie mažą. Por_vnyanyya funktsii". Čia mes esame paskatinti institucija, kuri yra pergalinga, kai rozvyazanny tarp rozladannyam į Maclaurin eilutę (tobto ne).

Dali m ir n yra natūralūs skaičiai, .
;
;
, jakscho;
;
;
;
, de;
, de c ≠ 0 - Postiyna;
.

Norint įrodyti šias galias, per be galo mažą funkciją reikia šiek tiek pasakyti:
de .

Taylor (Maclaurin) serijos elementariųjų funkcijų išskaidymas

;
;
,
de;
;
;
,
de - Bernoulli skaičiai: , ;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.

Taikyti

užpakalis 1

Apskaičiuokite tarp sekų, vicarious rozladannya į Taylor eilutę.
.

Tse nereikšmingas protas nenuoseklumas minus nenuoseklumas. Sukeltas її į nereikšmingą protą 0/0 . Kam transformacija yra vikonuemo.

.
Čia melavome, kad sekos elemento n skaičius gali įgauti daugiau nei teigiamų reikšmių. Tomas. Robimo pakeis pakeitimą. Prie . Shukatimemo tarp vvazhayuchi, scho x yra tikrasis skaičius. Kaip riba tarp būtiniausių dalykų, vynai yra būtini ir tam, ar yra seka, kad būtų pasiekta nulis. Be to, dėl nuoseklumo.

.
Išplėskime funkciją į Taylor serijos skaičių knygą. Zastosovu formulė:
.
Mums reikia tik linijinio nario.
.
.
Čia mes melavome, kad skeveldros yra dvipusės ribos, tada jos yra lygios vienpusės. Tomas.

užpakalis 2

Parodykite, kad kitos stebuklingos ribos prasmė gali būti atimta, išdėstant ją Teiloro serijoje.

Robimo pakeis pakeitimą. Todi. Prie . Įsivaizduokime.
.

Apskaičiuodami ribą, galite atsižvelgti į tai, ką reiškia pokytis t, ar tai būtų už tvoros galo, pradurti taškus aplink periferiją. Mums rūpi, sho. Laimi tie, kurių eksponentas ir natūralusis logaritmas yra apverčiami funkcijomis vienas prieš vieną. Todi
.

Skaičiuoju ribą tarp pasirodymo, vikoristas, žengiantis į Taylor eilę:
.
.

Kadangi eksponentas yra nepertraukiama funkcija visoms argumento reikšmėms, teorema tarp nenuolatinės funkcijos ir funkcijos gali būti:
.

užpakalis 3

Apskaičiuokite ribą, vicorist ir sklaidą į Taylor eilutę.
.

Tse nereikšmingas protas 0/0 . Vikoristovuemo toks funkcijų pasiskirstymas taško pakraštyje:
;
;
.

Išplėskime iki tikslių kvadratinių terminų:
;
.
Mes padalijame skaičių ir reklamjuostę ir žinome:
.

užpakalis 4

Virishiti tarp Taylor eilės pagalbos.
.

Lengvai bachiti, scho tse nereikšmingas protas 0/0 . Išplečiant kreivę, zastosovuchi išdėstant funkcijas į Taylor seriją. Vikoristovuemo nurodo daugiau:
(P4.1) .
Rodiklio išdėstyme x pakeiskite į -x:
(P4.2) .
Dali - sulankstoma funkcija. Pakeiskime pakeitimą. Prie . Šiuo tikslu galime pasukti natūralaus logaritmo išdėstymą taško pakraščiuose. Vykoristovuєmo sukelia platesnį išdėstymą, kuriame x keičiame į t:
(4.3 psl.) .

Svarbu, kad sumažintume funkciją , tada už . Neįmanoma įsivaizduoti, kad priekyje skeveldros sustabarės taško pakraštyje. Esant kiekvienai nuotaikai, mums prireiktų vikonati tokios transformacijos:
.
Net jei aš galėčiau zastosuvat rozladannya (P4.3).

Pabandykime kirsti sieną, mirktelėdami į pirmąjį pakeitimo žingsnį x: . Tobto pildome tik post-narys, kad nemeluotume x:, ir tiesine. Kitus patikrinsime. Tiksliau perkelti į .
;
;
.
Oskіlki, tada logaritmo išdėstyme matome terminus, pradedant nuo 2 žingsnio.

.
Pakaitalas ties riba:

.
Mes vėl atėmėme proto nereikšmingumą 0/0 . Taigi susitarimo neužtenka.

Kai kylame į lygį, vėl vertinsiu nereikšmingumą:
.

Vikonaёmo razkladannya iki laiptelio. Tobto zalishatime mažiau post_yni narių ir narių su daugikliais. Kiti įtraukti į .
;
;

;

.
Prisiminkime tai. Todėl, plečiant logaritmą, reikia pridėti terminus, pradedant nuo žingsnių, juos didinant. Vikoristovuemo išdėstymas (P4.3), pakeičiant t į:


.

Pakeiskite išvesties funkciją.


.
Mes žinome tarp.
.

užpakalis 5

Žinokite pagalbos Taylor serijos ribas.
.

Atliekame Maclaurin serijos skaitmenų ir reklamjuosčių išdėstymą iki ketvirto žingsnio imtinai.

Prisiminkime banerį. Vikoristovuemo kad.

;
;

.

Dabar pereikime prie skaičiaus. Prie . Todėl neįmanoma įdiegti ir zastosuvati rozkladannya, rozkladannya šukės gali būti zastosuvat ne, bet mumyse. Gerbiame ką. Todėl padarykime transformaciją.
.
Dabar galite sukurti pakaitalą, šukes.

Išplečiame to її žingsnio funkciją Taylor serijoje taško pakraštyje. Zastosovuemo.
;
;

;
;
;
;
Su pagarba Dali, scho. Todėl, norėdami atsižvelgti į lankstymo funkcijos išdėstymą tikslumu, turime ją išplėsti iki tikslumo.

Apskaičiuokite pirmąjį logaritmą.


; ;
;
.

Paimkime kitą logaritmą. Jogą nukreipiame į regėjimą, de at.
,
de.

Išskaidome z Taylor seriją taško apylinkėse tikslumu iki .
Tai būtina:
.
Pakeiskite x į:
. Todi
;

;
Gerbiame ką. Todėl, norėdami atsižvelgti į lankstymo funkcijos išdėstymą tikslumu, turime ją išplėsti iki tikslumo.

Mes jums tiksliai pasakysime iki ir vrakhovuєmo, scho.


;
.

Mes žinome numerio išdėstymą.

;
;
.

Pateikiame skaitmenų ir reklamjuosčių išdėstymą ir žinome ribą.
;
.

Vikoristano literatūra:
L.D. Kudrjavcevas, A.D. Kutasovas, V.I. Čechlovas, M.I. Šabuninas. Matematinės analizės vadovo rinkinys. 1 tomas. Maskva, 2003 m.

2020 metais NASA pradeda ekspediciją į Marsą. Pristatykite erdvėlaivį į Marsą su elektroniniu nešikliu, kuriame yra visų registruotų ekspedicijos dalyvių pavardės.

Balsavimo dalyvių registracija. Atimkite bilietą į Marsą, kad gautumėte palaiminimų.

Pamėgti šį įrašą, išsprendę savo problemą ar tiesiog būdami jūsų verti, pasidalykite jėgomis su draugais socialiniuose tinkluose.

Turite nukopijuoti ir įklijuoti vieną iš šių kodo parinkčių į savo tinklalapio kodą tarp žymų і arba tik po žymos . Už pirmosios MathJax versijos pirmenybė teikiama mažesnei ir ne tokiai lipniai pusei. Kita parinktis „Natomist“ automatiškai pasirenka ir atnaujina į naujausią „MathJax“ versiją. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite kitą kodą, šonai labiau susidomės, todėl jums nereikės nuolat sekti MathJax atnaujinimų.

Įgalinkite „MathJax“ paprasčiausiu būdu „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės naršymo skydelyje pridėkite valdiklį, trečiosios šalies „JavaScript“ kodo įterpimo užduotis, nukopijuokite pirmąją ar kitą aukščiau pateikto išplėstinio kodo versiją ir pakeiskite valdiklio dydį arčiau šablono viršuje (prieš kalbėjimą mums nereikia naujų „Kalbos požiūriu, MathJax scenarijai iškviečiami asinchroniškai). Nuo aš visų. Dabar patikrinkite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML sintaksę ir esate pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

Čergovys prieš Naująją uolą... oras šaltas, tie snižinkai ant shibtsі... Viskas paskatino vėl parašyti apie... fraktalus, ir apie tuos, kurie žino apie Volframą Alfą. Іz thogo drive є tsіkava stattya, in yakіy є dvimačių fraktalų struktūrų sėdmenys. Iškart pasaulis gali pamatyti sulenktus trivialių fraktalų užpakalius.

Fraktalas gali būti vizualiai pasireiškiantis (apibūdintas) kaip geometrinė figūra, tarsi kūnas (plaukiantis paviršiumi, tam tikra kryptimi, beasmenis taškas), detalės kaip forma, kaip pati matoma figūra. Tobto tse į save panaši struktūra, žvelgiant į detales tarsi padidintas, imituoja pačią formą, kuri yra be padidinimo. Panašiai ir vizualiai stulbinančioje geometrinėje figūroje (ne fraktale), turinčioje daugiau smulkmenų, tarsi galima padaryti paprastą formą, figūra yra žemesnė. Pavyzdžiui, kai baigiate didžiąją elipsės dalį, ji atrodo kaip tiesus medis. Su fraktalais taip nėra: bet kokiam patobulinimui kartosime tą pačią lankstymo formą, tarsi su odos patobulinimais kartosime vėl ir vėl.

Fraktalų mokslo įkūrėjas Benoit Mandelbrot savo straipsnyje Fraktalai ir mokslas vardan mokslo rašė: "Fraktalai yra geometrinės formos, tačiau jie yra sulankstomi tiek savo detalėmis, tiek žaibiška forma. Tai yra dalis. Fraktalo dydis bus sumažintas iki visumos, jis atrodys kaip visuma arba tiksliai, arba, galbūt, su nedidele deformacija.