Багатогранники. Види багатогранників та їх властивості

English: Wikipedia is making the site more secure. Ви використовуєте old web browser, який не може бути підключений до Wikipedia в майбутньому. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器、这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备または联络您的IT管理员。 ）.

Español: Wikipedia є в Інтернеті. Ви використовуєте Navegador Web viejo que no será capaz de connectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacto a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en anglès.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipedia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, ніби не pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: 위키피디아는 사이트의 보안을 강화하고 있습니다.이용 브라우저는 버전이 오래되어, 향후 위키피디아에 접속하지 못할 가능성이 있습니다.디바이스를 갱신하거나 IT 관리자에게 상담해 주세요.기술면의 상세 갱신 정보는 아래에 영어로 제공됩니다.

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft нігт мейр на Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerat oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Для favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Hazznalj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alab olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia і framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Ви маєте можливість відновити підтримку для версії TLS протоколів, зокрема TLSv1.0 і TLSv1.1, які ваш браузер software relies on to connect to our sites. Це зазвичай пов'язано з зареєстрованими браузерами, або за допомогою Android smartphones. Або це може бути interference від корпоративного або індивідуального "Web Security" software, який в даний час підвищує зв'язок безпеки.

Ви повинні upgrade вашого веб-браузера або іншогоwise fix це issue to access our sites. Цей message буде remain until Jan 1, 2020. Після того, як ваш браузер не може бути встановлений для підключення до наших серверів.

Багатогранники не тільки займають чільне місце в геометрії, але й зустрічаються в повсякденному життікожну людину. Не кажучи вже про штучно створені предмети побуту у вигляді різних багатокутників, починаючи з сірникової коробки і закінчуючи архітектурними елементами, у природі також зустрічаються кристали у формі куба (сіль), призми (кришталь), піраміди (шеєліт), октаедра (алмаз) і т.д. д.

Поняття багатогранника, види багатогранників у геометрії

Геометрія як наука містить розділ стереометрію, що вивчає характеристики та властивості об'ємних тіла, сторони яких у тривимірному просторі утворені обмеженими площинами (гранями), звуться "багатогранники". Види багатогранників налічують не один десяток представників, що відрізняються кількістю та формою граней.

Проте у всіх багатогранників є спільні властивості:

1. Всі вони мають 3 невід'ємні компоненти: грань (поверхня багатокутника), вершина (кути, що утворилися в місцях з'єднання граней), ребро (сторона фігури або відрізок, утворений у місці стику двох граней).
2. Кожне ребро багатокутника з'єднує дві, і лише дві грані, які один до одного є суміжними.
3. Випуклість означає, що тіло повністю розташоване лише з одного боку площині, де лежить одна з граней. Правило застосовується до всіх меж багатогранника. Такі геометричні фігуриу стереометрії називають терміном опуклі багатогранники. Виняток становлять зірчасті багатогранники, які є похідними правильних багатогранних геометричних тіл.

Багатогранники можна умовно поділити на:

1. Види опуклих багатогранників, які з наступних класів: звичайні чи класичні (призму, піраміда, паралелепіпед), правильні (також звані Платоновими тілами), напівправильні (друга назва - Архімедові тіла).
2. Невипуклі багатогранники (зіркові).

Призма та її властивості

Стереометрія як розділ геометрії вивчає властивості тривимірних фігур, види багатогранників (призму у тому числі). Призмою називають геометричне тіло, яке має обов'язково дві абсолютно однакові грані (їх також називають основами), що лежать у паралельних площинах, і n-е число бічних граней у вигляді паралелограмів. У свою чергу, призма має також кілька різновидів, серед яких такі види багатогранників, як:

1. Паралелепіпед - утворюється, якщо в основі лежить паралелограм - багатокутник з 2 парами рівних протилежних кутів та двома парами конгруентних протилежних сторін.
2. має перпендикулярні до основи ребра.
3. характеризується наявністю непрямих кутів (відмінних від 90) між гранями та основою.
4. Правильна призма характеризується основами у вигляді рівними бічними гранями.

Основні властивості призми:

• Конгруентні основи.
• Усі ребра призми рівні та паралельні по відношенню один до одного.
• Усі бічні грані мають форму паралелограма.

Піраміда

Пірамідою називають геометричне тіло, яке складається з однієї основи та з n-го числа трикутних граней, що з'єднуються в одній точці - вершині. Слід зазначити, що якщо бічні грані піраміди представлені обов'язково трикутниками, то в основі може бути як трикутний багатокутник, так і чотирикутник і п'ятикутник і так до нескінченності. При цьому назва піраміди буде відповідати багатокутнику в основі. Наприклад, якщо в основі піраміди лежить трикутник - це , чотирикутник - чотирикутна, і т.д.

Піраміди – це конусоподібні багатогранники. Види багатогранників цієї групи, крім перелічених вище, включають також наступних представників:

1. має в основі правильний багатокутник, і висота її проектується в центр кола, вписаного в основу або описаного навколо нього.
2. Прямокутна піраміда утворюється тоді, коли одна з бічних ребер перетинається з основою під прямим кутом. У такому випадку це ребро можна назвати висотою піраміди.

Властивості піраміди:

• Якщо всі бічні ребра піраміди конгруентні (однакової висоти), всі вони перетинаються з основою під одним кутом, а навколо основи можна прокреслити коло з центром, що збігаються з проекцією вершини піраміди.
• Якщо в основі піраміди лежить правильний багатокутник, то всі бічні ребра є конгруентними, а грані є рівнобедреними трикутниками.

Правильний багатогранник: види та властивості багатогранників

У стереометрії особливе місце займають геометричні тіла з абсолютно рівними між собою гранями, у вершинах яких з'єднується однакова кількість ребер. Ці тіла отримали назву Платонові тіла, чи правильні багатогранники. Види багатогранників з такими властивостями налічують лише п'ять фігур:

1. Тетраедр.
2. Гексаедр.
3. Октаедр.
4. Додекаедр.
5. Ікосаедр.

Своєю назвою правильні багатогранники завдячують давньогрецькому філософу Платону, який описав ці геометричні тіла у своїх працях і зв'язав їх із природними стихіями: землі, води, вогню, повітря. П'ятій фігурі присуджували схожість із будовою Всесвіту. На його думку, атоми природних стихій формою нагадують види правильних багатогранників. Завдяки своїй захоплюючій властивості - симетричності, ці геометричні тіла становили великий інтерес не тільки для древніх математиків і філософів, але і для архітекторів, художників і скульпторів усіх часів. Наявність лише 5 видів багатогранників з абсолютною симетрією вважалося фундаментальною знахідкою, їм навіть присуджували зв'язок з божественним початком.

Гексаедр та його властивості

У формі шестигранника наступники Платона припускали схожість із будовою атомів землі. Звичайно ж, в даний час ця гіпотеза повністю спростована, що, однак, не заважає фігурам і в сучасності залучати уми відомих діячів своєю естетичністю.

У геометрії гексаедр, він же куб, вважається окремим випадком паралелепіпеда, який, у свою чергу, є різновидом призми. Відповідно і властивості куба пов'язані з тією лише різницею, що всі грані та кути куба рівні між собою. З цього випливають такі характеристики:

1. Усі ребра куба конгруентні і лежать у паралельних площинах стосовно друг до друга.
2. Всі грані - конгруентні квадрати (всього в кубі їх 6), кожен з яких може бути прийнятий за основу.
3. Усі міжгранні кути дорівнюють 90.
4. З кожної вершини виходить рівну кількість ребер, саме 3.
5. Куб має 9 які всі перетинаються в точці перетину діагоналей гексаедра, що називається центром симетрії.

Тетраедр

Тетраедр – це чотиригранник з рівними гранями у формі трикутників, кожна з вершин яких є точкою з'єднання трьох граней.

Властивості правильного тетраедра:

1. Усі грані тетраеда - це з чого випливає, що всі грані чотиригранника конгруентні.
2. Так як основа представлена ​​правильною геометричною фігурою, тобто має рівні сторони, то і грані тетраедра сходяться під однаковим кутом, тобто усі кути рівні.
3. Сума плоских кутів при кожній з вершин дорівнює 180, тому що всі кути рівні, будь-який кут правильного чотиригранника становить 60.
4. Кожна з вершин проектується на точку перетину висот протилежної (ортоцентр) грані.

Октаедр та його властивості

Описуючи види правильних багатогранників, не можна не відзначити такий об'єкт, як октаедр, який візуально можна представити у вигляді двох склеєних основ чотирикутних правильних пірамід.

Властивості октаедра:

1. Сама назва геометричного тіла нагадує кількість його граней. Восьмигранник складається з 8 конгруентних рівносторонніх трикутників, у кожній з вершин якого сходиться рівна кількість граней, а саме 4.
2. Так як усі грані октаедра рівні, рівні та його міжгранні кути, кожен з яких дорівнює 60, а сума плоских кутів будь-якої з вершин становить, таким чином, 240.

Додекаедр

Якщо уявити, що всі грані геометричного тіла є правильним п'ятикутником, то вийде додекаедр - фігура з 12 багатокутників.

Властивості додекаедра:

1. У кожній вершині перетинаються три грані.
2. Всі грані рівні і мають однакову довжину ребер, а також рівну площу.
3. У додекаедра 15 осей та площин симетрії, причому кожна з них проходить через вершину грані та середину протилежного їй ребра.

Ікосаедр

Не менш цікава, ніж додекаедр, фігура ікосаедр є об'ємним геометричним тілом з 20 рівними гранями. Серед властивостей правильного двадцятигранника можна відзначити такі:

1. Всі грані ікосаедра - рівнобедрені трикутники.
2. У кожній вершині багатогранника сходиться п'ять граней, сума суміжних кутів вершини становить 300.
3. Ікосаедр має так само, як і додекаедр, 15 осей та площин симетрії, що проходять через середини протилежних граней.

Напівправильні багатокутники

Крім Платонових тіл, до групи опуклих багатогранників входять також Архімедові тіла, які є усіченими правильними багатогранниками. Види багатогранників цієї групи мають такі властивості:

1. Геометричні тіла мають попарно рівні грані кількох типів, наприклад, усічений тетраедр має так само, як і правильний тетраедр, 8 граней, але у випадку Архімедова тіла 4 грані будуть трикутної форми і 4 - шестикутної.
2. Усі кути однієї вершини конгруентні.

Зірчасті багатогранники

Представники необ'ємних видів геометричних тіл – зірчасті багатогранники, грані яких перетинаються один з одним. Вони можуть бути утворені шляхом злиття двох правильних тривимірних тіл або в результаті їх продовження граней.

Таким чином, відомі такі зірчасті багатогранники, як: зірчасті форми октаедра, додекаедра, ікосаедра, кубооктаедра, ікосододекаедра.

Розділи: Технологія

Цілі уроку:

• закріпити знання про геометричні тіла, вміння та навички з побудови креслень багатогранників;
• розвивати просторові уявлення та просторове мислення;
• формувати графічну культуру.

Тип уроку:комбінований.

Оснащення уроку:інтерактивна дошка MIMIO, мультимедійний проектор, комп'ютери, проект mimo для інтерактивної дошки, мультимедійна презентація, програма "Компас-3D LT".

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

1. Привітання;

2. Перевірка явки учнів;

3. Перевірка готовності до уроку;

4. Заповнення класного журналу (та електронного)

ІІ. Повторення раніше вивченого матеріалу

На інтерактивній дошці відкрито проект mimo

Аркуш 1.На уроках математики ви вивчали геометричні тіла. Декілька тіл ви бачите на екрані. Давайте згадаємо їхні назви. Учні дають назви геометричним тілам, якщо є труднощі – допомагаю. (Мал. 1).

1 – чотирикутна призма
2 – усічений конус
3 – трикутна призма
4 – циліндр
5 – шестикутна призма
6 – конус
7 – куб
8 – усічена шестикутна піраміда

Аркуш 4. Завдання 2. Дано геометричні тіла та назви геометричних тіл. Викликаємо учня до дошки і разом із ним перетягуємо багатогранники і тіла обертання під назви, та був перетягуємо назви геометричних тіл (рис. 2).

Робимо висновок, що всі тіла поділяються на багатогранники та тіла обертання.

Включаємо презентацію «Геометричні тіла» ( додаток ). Презентація містить 17 слайдів. Можна використовувати презентацію на кількох уроках, що містить додатковий матеріал (слайди 14-17). Зі слайду 8 є гіперпосилання на Презентацію 2 (розгортки куба). Презентація містить 2 слайд, на якому зображено 11 розгорток куба (вони є посиланнями на відеоролики). На уроці використано інтерактивну дошку MIMIO, а також учні працюють на комп'ютерах (виконання практичної роботи).

Слайд 2Усі геометричні тіла поділяються на багатогранники та тіла обертання. Багатогранники: призма та піраміда. Тіла обертання: циліндр, конус, куля, тор. Схему учні перекреслюють у робочий зошит.

ІІІ. Пояснення нового матеріалу

Слайд 3.Розглянемо піраміду. Записуємо визначення піраміди. Вершина піраміди – загальна вершина всіх граней, що позначається буквою S. Висота піраміди – перпендикуляр, опущений з вершини піраміди (Рис. 3).

Слайд 4.Правильна піраміда. Якщо основа піраміди – правильний багатокутник, а висота опускається в центр основи, то – піраміда правильна.
У правильній піраміді всі бічні ребра рівні, всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники.
Висота трикутника бічної грані правильної піраміди. апофема правильної піраміди.

Слайд 5.Анімація побудови правильної шестикутної піраміди із позначенням її основних елементів (Рис. 4).

Слайд 6. Записуємо у зошит визначення призми. Призма – багатогранник, у якого дві основи (рівні, паралельно розташовані багатокутники), а бічні грані паралелограми. Призма може бути чотирикутною, п'ятикутною, шестикутною тощо. Призма називається за фігурою, що лежить у основі. Анімація побудови правильної шестикутної призми із позначенням її основних елементів (Рис. 5).

Слайд 7.Правильна призма – це пряма призма, основу якої лежить правильний багатокутник. Паралелепіпед – правильна чотирикутна призма (Рис. 6).

Слайд 8.Куб - паралелепіпед, всі грані якого квадрати (Рис. 7).

(Додатковий матеріал: на слайді є гіперпосилання на презентацію з розгортками куба, всього 11 різних розгорток).
Слайд 9.Записуємо визначення циліндра. Тіло обертання - циліндр, утворене обертанням прямокутника навколо осі, що проходить через одну з його сторін. Анімація одержання циліндра (Рис. 8).

Слайд 10.Конус - тіло обертання, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо осі, що проходить через один з його катет (Рис.9).

Слайд 11.Усічений конус - тіло обертання, утворене обертанням прямокутної трапеції навколо осі, що проходить через її висоту (Рис. 10).

Слайд 12.Куля – тіло обертання, утворене обертанням кола навколо осі, що проходить через його діаметр (Мал. 11).

Слайд 13.Тор - тіло обертання, утворене обертанням кола навколо осі, паралельної діаметру кола (Рис. 12).

Учні записують визначення геометричних тіл у зошит.

IV. Практична робота «Побудова креслення правильної призми»

Перемикаємось на проект mimio

Аркуш 7. Дана трикутна правильна призма. В основі лежить правильний трикутник. Висота призми = 70 мм, а сторона основи = 40 мм. Розглядаємо призму (напрямок головного виду показано стрілкою), визначаємо плоскі фігури, які ми побачимо у вигляді спереду, зверху та зліва. Витягуємо зображення видів та розставляємо на полі креслення (Рис. 13).

Учні самостійно виконують креслення правильної шестикутної призми у програмі «Компас – 3D». Розміри призми: висота – 60 мм, діаметр описаного кола навколо основи – 50 мм.
Побудова креслення з виду зверху (Рис. 14).

Потім будується вид спереду (Мал. 15).

Потім будується вид зліва і наносяться розміри (Рис. 16).

Роботи перевіряються та зберігаються на комп'ютерах учнями.

V. Додатковий матеріал на тему

Слайд 14. Правильна зрізана піраміда (Рис. 17).

Слайд 15.Піраміда, усічена похилою площиною (Рис. 18).

Слайд 16.Розгортання правильної трикутної піраміди (Рис. 19).

Слайд 17.Розгорнення паралелепіпеда (Рис. 20).