Тема уроку: «Випадкові, достовірні та неможливі події. Ввести визначення випадкового, достовірного і неможливого події; вести перші уявлення про рішення комбінаторних завдань: за допомогою дерева варіантів і за допомогою правила множення

Мета уроку:

1. Ввести поняття достовірних, неможливих і випадкових подій.
2. Сформувати знання і вміння з визначення виду подій.
3. Розвивати: обчислювальний навик; увага; вміння аналізувати, міркувати, робити висновки; навички роботи в групах.

Хід уроку

1) Організаційний момент.

Інтерактивна вправа: діти повинні вирішити приклади і розшифрувати слова, за результатами розподіляються на групи (достовірні, неможливі і випадкові) і визначають тему уроку.

1 картка.

0,5	1,6	12,6	5,2	7,5	8	5,2	2,08	0,5	9,54	1,6

2 картка

0,5	2,1	14,5	1,9	2,1	20,4	14	1,6	5,08	8,94	14

3 картка

5	2,4	6,7	4,7	8,1	18	40	9,54	0,78

2) Актуалізація вивчених знань.

Гра "Бавовна": парне число - бавовна, непарне - встати.

Завдання: з даного рядучисел 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... визначити парні і непарні.

3) Вивчення нової теми.

У вас на столах лежать кубики. Давайте уважно розглянемо їх. Що ви бачите?

Де використовуються гральні кубики? Яким чином?

Робота в групах.

Проведення експерименту.

Які прогнози ви можете зробити при киданні грального кубика?

Перше пророцтво: випаде одна з цифр 1,2,3,4,5 або 6.

Подія, яке в даному досвіді обов'язково настане, називають достовірним.

Друге пророцтво: випаде цифра 7.

Як ви думаєте, передбачене подія настане чи ні?

Це неможливо!

Подія, яке в даному досвіді наступити не може, називають неможливим.

Третє пророцтво: випаде цифра 1.

Чи настане ця подія?

Подія, яке в даному досвіді може наступити, а може і не настати, називають випадковим.

4) Закріплення вивченого матеріалу.

I. Визначити вид події

-Завтра піде червоний сніг.

Завтра піде сильний сніг.

Завтра, хоч і липень, піде сніг.

Завтра, хоч і липень, а снігу не буде.

Завтра піде сніг і буде заметіль.

II. Додати в дану пропозицію слово таким чином, щоб подія стала неможливим.

Коля отримав по історії п'ятірку.

Саша не виконав жодного завдання на контрольній роботі.

Оксана Михайлівна (учитель історії) пояснить нову тему.

III. Привести приклади подій неможливих, випадкових і достовірних.

IV. Робота за підручником (по групах).

Охарактеризуйте події, про які йдеться в наведених нижче завданнях, як достовірні, неможливі або випадкові.

№ 959. Петя задумав натуральне число. Подія полягає в наступному:

а) задумано парне число;

б) задумано непарне число;

в) задумано число, що не є ні парною, ні непарною;

г) задумано число, яке є парних або непарних.

№ 960. Ви відкрили цей підручник на будь-якій сторінці і вибрали перше-ліпше іменник. Подія полягає в наступному:

а) в написанні обраного слова є голосна буква;

б) в написанні обраного слова є буква "о";

в) в написанні обраного слова немає голосних букв;

г) в написанні обраного слова є м'який знак.

Вирішити № 961, №964.

Обговорення вирішених завдань.

5) Рефлексія.

1. З якими подіями ви познайомилися на уроці?

2. Вкажіть, яке з наступних подій достовірне, яке неможливе і яке випадкове:

а) літніх канікул не буде,

б) бутерброд впаде маслом вниз;

в) навчальний рік коли-небудь закінчиться.

6) Домашнє завдання:

Придумати по два достовірних, випадкових і неможливих події.

До одного з них виконати малюнок.

Подія - це результат випробування. Що таке подія? З урни навмання беруть одну кулю. Витяг кулі з урни є випробування. Поява кулі певного кольору - подія. У теорії ймовірностей під подією розуміють то, про який після певного моменту часу можна сказати одне і тільки одне з двох. Так, воно відбулося. Ні, воно не відбулося. Можливий результат експерименту, називається елементарним подією, а безліч таких випадків називається просто подією.

Непередбачувані події називаються випадковими. Подія називається випадковою, якщо при одних і тих же умовах воно може як статися, так і не відбутися. При киданні кубика випаде шістка. У мене є лотерейний квиток. Після опублікування результатів розіграшу лотереї цікавить мене подія - виграш тисячі рублів, або відбувається, або не відбувається. Приклад.

Дві події, які в даних умовах можуть відбуватися одночасно, називаються спільними, а ті, які не можуть відбуватися одночасно, - несумісними. Кинуто монета. Поява «герба» виключає появу напису. Події «з'явився герб» і «з'явився напис" - несумісні. Приклад.

Подія, яке відбувається завжди, називають достовірним. Подія, яка не може відбутися, називається неможливим. Нехай, наприклад, з урни, що містить тільки чорні кулі, виймають кулю. Тоді поява чорного кулі - достовірна подія; поява білої кулі - неможлива подія. Приклади. Наступного року сніг не випаде. При киданні кубика випаде сімка. Це неможливі події. У наступному році сніг випаде. При киданні кубика випаде число, менше семи. Щоденний схід сонця. Це достовірні події.

Рішення задач Для кожного з описаних подій визначте, яким воно є: неможливим, достовірним або випадковим. 1.Из 25 учнів класу двоє справляють день народження а) 30 січня; б) 30 лютого. 2. Випадковим чином відкривається підручник літератури і знаходиться друге слово на лівій сторінці. Це слово починається: а) з літери «К»; б) з літери «Комерсант».

3. Сьогодні в Сочі барометр показує нормальний атмосферний тиск. При цьому: а) вода в каструлі закипіла при температурі 80º С; б) коли температура впала до -5º С, вода в калюжі замерзла. 4. Кидають дві гральні кістки: а) на першій кістки випало 3 очка, а на другий - 5 очок; б) сума випали на двох кістках очок дорівнює 1; в) сума випали на двох кістках очок дорівнює 13; г) на обох кістках випало по 3 очки; д) сума очок на двох кістках менше 15. Рішення задач

5. Ви відкрили книгу на будь-якій сторінці і прочитали перше-ліпше іменник. Виявилося, що: а) в написанні обраного слова є голосна буква; б) в написанні обраного слова є буква «О»; в) в написанні обраного слова немає голосних букв; г) в написанні обраного слова є м'який знак. Вирішення задач

Спостережувані нами події (явища) можна підрозділити на наступні три види: достовірні, неможливі і випадкові.

вірогіднимназивають подія, яке обов'язково станеться, якщо буде здійснена певна сукупність умов S. Наприклад, якщо в посудині міститься вода при нормальному атмосферному тиску і температурі 20 °, то подія «вода в посудині знаходиться в рідкому стані» є достовірне. У цьому прикладі задані атмосферний тиск і температура води складають сукупність умов S.

неможливимназивають подія, яке явно не станеться, якщо буде здійснена сукупність умов S. Наприклад, подія «вода в посудині перебуває в твердому стані» явно не станеться, якщо буде здійснена сукупність умов попереднього прикладу.

випадковимназивають подія, яке при здійсненні сукупності умов S може або відбутися, або не відбутися. Наприклад, якщо кинута монета, то вона може впасти так, що зверху буде або герб, або напис. Тому подія «при киданні монети випав« герб »- випадкове. Кожне випадкове подія, зокрема випадання «герба», наслідком дії дуже багатьох випадкових причин (в нашому прикладі: сила, з якою кинуто монета, форма монети і багато інших). Неможливо врахувати вплив на результат всіх цих причин, оскільки число їх дуже велике і закони їх дії невідомі. Тому теорія ймовірностей не ставить перед собою завдання передбачити, станеться одиничне подія чи ні, - вона просто не в силах це зробити.

По-іншому йде справа, якщо розглядаються випадкові події, які можуть багаторазово спостерігатися при здійсненні одних і тих же умов S, т. Е. Якщо мова йде про масові однорідних випадкових події. Виявляється, що досить велика кількість однорідних випадкових подій незалежно від їх конкретної природи підпорядковується певним закономірностям, а саме імовірнісним закономірностям. Встановленням цих закономірностей і займається теорія ймовірностей.

Т.ч., предметом теорії ймовірностей є вивчення імовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

Методи теорії ймовірностей широко застосовуються в різних галузях природознавства і техніки. Теорія ймовірностей служить також для обґрунтування математичної і прикладної статистики.

Види випадкових подій. події називають несумісними, Якщо поява однієї з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні.

Приклад. Кинуто монета. Поява «герба» виключає появу напису. Події «з'явився герб» і «з'явився напис" - несумісні.

Кілька подій утворюють повну групу, Якщо в результаті випробування з'явиться хоча б одне з них. Зокрема, якщо події, що утворюють повну групу, попарно несумісні, то в результаті випробування з'явиться одне і тільки одне з цих подій. Цей окремий випадок являє для нас найбільший інтерес, оскільки використовується далі.

Приклад 2. Придбано два квитки грошово-речової лотереї. Обов'язково відбудеться одна і тільки одна з таких подій: «виграш випав на перший квиток і не випав на другий», «виграш не випав на перший квиток і випав на другий», «виграш випав на обидва квитка», «на обидва квитка виграш не випав ». Ці події утворюють повну групу попарно несумісних подій.

Приклад 3. Стрілець зробив постріл по цілі. Обов'язково відбудеться одна, з наступних двох подій: потрапляння, промах. Ці два несумісних події утворюють повну групу.

події називають рівноможливими, Якщо є підстави вважати, що жодне з них не є більш можливим, ніж інше.

Приклад 4. Поява «герба» і поява напису при киданні монети -равновозможние події. Дійсно, передбачається, що монета виготовлена ​​з однорідного матеріалу, має правильну циліндричну форму і наявність карбування не впливає на випадання тієї чи іншої сторони монети.

Соб-я обозн-ся прописними буквами лат.алфавіта: А, В, С, .. А 1, А 2 ..

Протилежними називають 2 єдино можливих соб-я, що утворюють повну групу. Якщо одне з двох противопол. подій позначено через А, то ін. обозн-ся А`.

Приклад 5. Попадання і промах при пострілі по цілі - противопол. соб-я.

1.1. Деякі відомості з комбінаторики

1.1.1. розміщення

Розглянемо найпростіші поняття, пов'язані з вибором і розташуванням деякого безлічі об'єктів.
Підрахунок числа способів, якими можна здійснити ці дії, часто проводиться при вирішенні імовірнісних задач.
визначення. розміщенням з nелементів по k (k ≤n) Називається будь-який упорядкований підмножина з kелементів безлічі, що складається з nрізних елементів.
Приклад.Наступні послідовності цифр є розміщеннями по 2 елементи з 3 елементів безлічі (1; 2; 3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Зауважимо, що розміщення відрізняються порядком входять до них елементів і їх складом. Розміщення 12 і 21 містять однакові цифри, але порядок їх розташування різний. Тому ці розміщення вважаються різними.
Число різних розміщень з nелементів по kпозначається і обчислюється за формулою:
,
де n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(Читається « n- факторіал »).
Число двозначних чисел, які можна скласти з цифр 1, 2, 3 за умови, що жодна цифра не повторюється одно:.

1.1.2. перестановки

визначення. перестановками з nелементів називаються такі розміщення з nелементів, які різняться тільки розташуванням елементів.
Число перестановок з nелементів P nобчислюється за формулою: P n=n!
Приклад.Скількома способами можуть стати в чергу 5 осіб? Кількість способів дорівнює числу перестановок з 5 елементів, тобто
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
визначення. якщо серед nелементів kоднакових, то перестановка цих nелементів називається перестановкою з повтореннями.
Приклад.Нехай серед 6 книг 2 однакові. Будь-яке розташування всіх книг на полиці - перестановка з повтореннями.
Число різних перестановок з повтореннями (з nелементів, серед яких kоднакових) обчислюється за формулою:.
У нашому прикладі число способів, якими можна розставити книги на полиці, так само:.

1.1.3. сполучення

визначення. поєднаннями з nелементів по kназиваються такі розміщення з nелементів по k, Які одне від іншого відрізняються хоча б одним елементом.
Число різних сполучень з nелементів по kпозначається і обчислюється за формулою:.
За визначенням 0! = 1.
Для поєднань справедливі такі властивості:
1.
2.
3.
4.
Приклад.Є 5 квіток різного кольору. Для букета вибирається 3 квітки. Число різних букетів по 3 квітки з 5 одно:.

1.2. випадкові події

1.2.1. події

Пізнання дійсності в природничих науках відбувається в результаті випробувань (експерименту, спостережень, досвіду).
випробуванням або досвідом називається здійснення якогось певного комплексу умов, який може бути відтворений як завгодно велике число разів.
випадковим називається подія, яке може відбутися або не відбутися в результаті деякого випробування (досвіду).
Таким чином, подія розглядається як результат випробування.
Приклад.Кидання монети - це випробування. Поява орла при киданні - подія.
Спостережувані нами події різняться за рівнем можливості їх появи і за характером їх взаємозв'язку.
подія називається достовірним , Якщо воно обов'язково станеться в результаті даного випробування.
Приклад.Отримання студентом позитивної або негативної оцінки на іспиті є подія достовірне, якщо іспит протікає відповідно до звичайних правил.
подія називається неможливим , Якщо воно не може відбутися в результаті даного випробування.
Приклад.Витяг з урни білого кулі, в якій знаходяться лише кольорові (небілі) кулі, є подія неможливе. Відзначимо, що за інших умов досвіду появи білої кулі не виключається; таким чином, ця подія неможливо лише в умовах нашого досвіду.
Далі випадкові події будемо позначати великими латинськими буквами A, B, C... Достовірна подія позначимо літерою Ω, неможливе - Ø.
Два або кілька подій називаються рівноможливими в даному випробуванні, якщо є підстави вважати, що жодне з цих подій не є більш можливим або менш можливим, ніж інші.
Приклад.При одному киданні гральної кістки поява 1, 2, 3, 4, 5 і 6 очок - все це події рівноможливими. Передбачається, звичайно, що гральна кістка виготовлена ​​з однорідного матеріалу і має правильну форму.
Дві події називаються несумісними в даному випробуванні, якщо поява однієї з них виключає появу іншого, і спільними в іншому випадку.
Приклад.У ящику є стандартні і нестандартні деталі. Беремо на удачу одну деталь. Поява стандартної деталі виключає появу нестандартної деталі. Ці події несумісні.
Кілька подій утворюють повну групу подій в даному випробуванні, якщо в результаті цього випробування обов'язково настане хоча б одне з них.
Приклад.Події з прикладу утворюють повну групу рівно можливих і попарно несумісних подій.
Два несумісних події, що утворюють повну групу подій в даному випробуванні, називаються протилежними подіями.
Якщо одне з них позначено через A, То інше прийнято позначати через (читається «Не A»).
Приклад.Влучення і промах при одному пострілі по цілі - події протилежні.

1.2.2. Класичне визначення ймовірності

імовірність події - чисельна міра можливості його настання.
подія Аназивається сприятливим події В, Якщо кожного разу, коли настає подія А, Настає і подія В.
події А 1 , А 2 , ..., Аnутворюють схему випадків , якщо вони:
1) рівноможливими;
2) попарно несумісні;
3) утворюють повну групу.
У схемі випадків (і тільки в цій схемі) має місце класичне визначення ймовірності P(A) події А. Тут випадком називають кожне з подій, що належать виділеної повної групі рівно можливих і попарно несумісних подій.
якщо n- число всіх випадків в схемі, а m- число випадків, що сприяють події А, то ймовірність події Авизначається рівністю:

З визначення ймовірності випливають такі її властивості:
1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.
Дійсно, якщо подія достовірно, то кожен випадок в схемі випадків сприяє події. В цьому випадку m = nі, отже,

2. Імовірність неможливого події дорівнює нулю.
Дійсно, якщо подія неможливо, то жоден випадок зі схеми випадків не сприяє події. Тому m= 0 і, отже,

Імовірність випадкової події є позитивне число, укладену між нулем і одиницею.
дійсно, випадковій подіїсприяє лише частина із загального числа випадків в схемі випадків. Тому 0<m<n, А, значить, 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P (A) < 1.
Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє нерівності
0 ≤ P (A) ≤ 1.
В даний час властивості ймовірності визначаються у вигляді аксіом, сформульованих А.Н. Колмогоровим.
Одним з основних достоїнств класичного визначення ймовірності є можливість обчислити вірогідність події безпосередньо, тобто не вдаючись до дослідів, які замінюють логічними міркуваннями.

Завдання безпосереднього обчислення ймовірностей

завдання 1.1. Яка ймовірність появи парного числа очок (подія А) при одному киданні грального кубика?
Рішення. Розглянемо події Аi- випало iочок, i= 1, 2, ..., 6. Очевидно, що ці події утворюють схему випадків. Тоді число всіх випадків n= 6. Випадання парного числа очок сприяють випадки А 2 , А 4 , А 6, тобто m= 3. Тоді .
завдання 1.2. В урні 5 білих і 10 чорних куль. Кулі ретельно перемішують і потім навмання виймають 1 куля. Яка ймовірність того, що вийнятий кулю виявиться білим?
Рішення. Усього є 15 випадків, які утворюють схему випадків. Причому очікуваному події А- появи білої кулі, сприяють 5 з них, тому .
завдання 1.3. Дитина грає з шістьма буквами абетки: А, А, Е, К, Р, Т. Знайти ймовірність того, що він зможе скласти випадково слово КАРЕТА (подія А).
Рішення. Рішення ускладнюється тим, що серед букв є однакові - дві літери «А». Тому число всіх можливих випадків в даному випробуванні дорівнює числу перестановок з повтореннями з 6 букв:
.
Ці випадки рівноможливими, попарно несумісні і утворюють повну групу подій, тобто утворюють схему випадків. Лише один випадок сприяє події А. Тому
.
завдання 1.4. Таня і Ваня домовилися зустрічати Новий рік в компанії з 10 осіб. Вони обидва дуже хотіли сидіти поруч. Яка ймовірність виконання їх бажання, якщо серед їх друзів прийнято місця розподіляти за жеребом?
Рішення. позначимо через Аподія «виконання бажання Тані і Вані». 10 осіб можуть сісти за стіл 10! різними способами. Скільки ж з цих n= 10! равновозможних способів сприятливі для Тані і Вані? Таня і Ваня, сидячи поруч, можуть зайняти 20 різних позицій. У той же час вісімка їх друзів може сісти за стіл 8! різними способами, тому m= 20 ∙ 8 !. отже,
.
завдання 1.5. Група з 5 жінок і 20 чоловіків вибирає трьох делегатів. Вважаючи, що кожен з присутніх з однаковою ймовірністю може бути обраний, знайти ймовірність того, що виберуть двох жінок і одного чоловіка.
Рішення. Загальна кількість рівно можливих результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна вибрати трьох делегатів з 25 осіб, тобто . Підрахуємо тепер число сприятливих випадків, тобто число випадків, при яких має місце цікавить нас. Чоловік-делегат може бути обраний двадцятьма способами. При цьому інші два делегата повинні бути жінками, а вибрати двох жінок з п'яти можна. Отже,. Тому
.
Завдання 1.6.Чотири кульки випадковим чином розкидаються по чотирьом лунках, кожен кульку потрапляє в ту або іншу лунку з однаковою ймовірністю і незалежно від інших (перешкод до потрапляння в одну і ту ж лунку декількох кульок немає). Знайти ймовірність того, що в одній з лунок виявиться три кульки, в іншій - один, а в двох інших лунках кульок не буде.
Рішення. Загальна кількість випадків n= 4 4. Число способів, якими можна вибрати одну лунку, де будуть три кульки,. Число способів, якими можна вибрати лунку, де буде один кулька,. Число способів, якими можна вибрати з чотирьох кульок три, щоб покласти їх у першу лунку,. Загальна кількість сприятливих випадків. Імовірність події:
Завдання 1.7.У ящику 10 однакових куль, позначених номерами 1, 2, ..., 10. На удачу витягнуті шість куль. Знайти ймовірність того, що серед витягнутих куль виявляться: а) куля №1; б) кулі №1 і №2.
Рішення. а) Загальна кількість можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна витягти шість куль з десяти, тобто
Знайдемо число випадків, що сприяють цікавого для нас події: серед відібраних шести куль є куля №1 і, отже, інші п'ять куль мають інші номери. Число таких випадків, очевидно, дорівнює числу способів, якими можна відібрати п'ять куль з дев'яти, тобто
Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа випадків, що сприяють розглянутого події, до загального числа можливих елементарних фіналів:
б) Число випадків, що сприяють цікавого для нас події (серед відібраних куль є кулі №1 і №2, отже, чотири кулі мають інші номери), дорівнює числу способів, якими можна витягти чотири куль з решти восьми, тобто шукана ймовірність

1.2.3. статистична ймовірність

Статистичне визначення ймовірності використовується в разі, коли результати досвіду не є рівно можливими.
Відносна частота події Авизначається рівністю:
,
де m- число випробувань, в яких подія Анастало, n- загальне число вироблених випробувань.
Я. Бернуллі довів, що при необмеженому збільшенні числа дослідів відносна частота появи події буде практично як завгодно мало відрізнятися від деякого постійного числа. Виявилося, що це постійне число є ймовірність появи події. Тому, природно, відносну частоту появи події при досить великій кількості випробувань називати статистичною ймовірністю на відміну від раніше введеної ймовірності.
приклад 1.8. Як наближено встановити число риб в озері?
Нехай в озері хриб. Закидаємо мережу і, припустимо, знаходимо в ній nриб. Кожну з них мітимо і випускаємо назад. Через кілька днів в таку ж погоду і в тому ж місці закидаємо ту ж саму мережу. Припустимо, що знаходимо в ній m риб, серед яких kмічених. нехай подія А- «спіймана риба мечена». Тоді за визначенням відносної частоти.
Але якщо в озері хриб і ми в нього випустили nмічених, то.
Так як Р * (А) » Р(А), То.

1.2.4. Операції над подіями. Теорема додавання ймовірностей

сумою, Або об'єднанням, кількох подій називається подія, яке у настанні хоча б одного з цих подій (в одному і тому ж випробуванні).
сума А 1 + А 2 + … + Аnпозначається так:
або .
приклад. Впадають дві гральні кістки. нехай подія Аполягає у випадання 4 очок на 1 кістки, а подія В- в випаданні 5 очок на інший кістки. події Аі Всумісні. Тому подія А +Вполягає у випадання 4 очок на першій кістки, або 5 очок на другий кістки, або 4 очок на першій кістки і 5 очок на другий одночасно.
Приклад.подія А- виграш по 1 займу, подія В- виграш по 2 займу. тоді подія А + В- виграш хоча б по одному позиці (можливо за двома відразу).
творомабо перетином декількох подій називається подія, яке у спільному появу всіх цих подій (в одному і тому ж випробуванні).
твір, добуток Вподій А 1 , А 2 , …, Аnпозначається так:
.
Приклад.події Аі Вскладаються в успішному проходженні I і II турів відповідно при вступі до інституту. тоді подія А× Вскладається в успішному проходженні обох турів.
Поняття суми і твори подій мають наочну геометричну інтерпретацію. нехай подія Ає потрапляння точки в область А, А подія В- потрапляння точки в область В. тоді подія А + Вє потрапляння точки в об'єднання цих областей (рис. 2.1), а подія АВє потрапляння точки в перетин цих областей (рис. 2.2).

Мал. 2.1 Рис. 2.2
теорема. якщо події A i(i = 1, 2, …, n) Попарно несумісні, то ймовірність суми подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
.
нехай Аі Ā - протилежні події, тобто А + Ā= Ω, де Ω - достовірна подія. З теореми додавання випливає, що
Р (Ω) = Р(А) + Р(Ā ) = 1, тому
Р(Ā ) = 1 – Р(А).
якщо події А 1 і А 2 сумісні, то ймовірність суми двох спільних подій дорівнює:
Р(А 1 + А 2) = Р(А 1) + Р(А 2) - Р ( А 1 × А 2).
Теореми додавання ймовірностей дозволяють перейти від безпосереднього підрахунку ймовірностей до визначення ймовірностей настання складних подій.
завдання 1.8. Стрілець виробляє один постріл по мішені. Імовірність вибити 10 очок (подія А), 9 очок (подія В) І 8 очок (подія З) Рівні відповідно 0,11; 0,23; 0,17. Знайти ймовірність того, що при одному пострілі стрілок виб'є менше 8 очок (подія D).
Рішення. Перейдемо до протилежного події - при одному пострілі стрілок виб'є не менше 8 очок. Подія настає, якщо станеться Аабо В, або З, Тобто . Так як події А, В, Зпопарно несумісні, то, по теоремі складання,
, Звідки.
завдання 1.9. Від колективу бригади, яка складається з 6 чоловіків і 4 жінок, на профспілкову конференцію вибирається дві людини. Яка ймовірність, що серед обраних хоча б одна жінка (подія А).
Рішення. Якщо станеться подія А, То обов'язково відбудеться одна з наступних несумісних подій: В- «обрані чоловік і жінка»; З- «обрані дві жінки». Тому можна записати: А = В + С. Знайдемо ймовірність подій Ві З. Двоє людей з 10 можна вибрати способами. Двох жінок з 4 можна вибрати способами. Чоловіка і жінку можна вибрати 6 × 4 способами. Тоді. Так як події Ві Знесумісні, то, по теоремі складання,
Р (А) = Р (В + С) = Р (В) + Р (С) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Завдання 1.10.На стелажі в бібліотеці у випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому п'ять з них в палітурці. Бібліотекар бере навмання три підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б один з узятих підручників виявиться в палітурці (подія А).
Рішення. Перший спосіб. Вимога - хоча б один з трьох узятих підручників в палітурці - буде здійснено, якщо станеться кожне з наступних трьох несумісних подій: В- один підручник в палітурці, З- два підручника в палітурці, D- три підручника в палітурці.
Цікавить нас Аможна представити у вигляді суми подій: A = B + C + D. По теоремі складання,
P (A) = P (B) + P (C) + P (D). (2.1)
Знайдемо ймовірність подій B, Cі D(Див комбінаторні схеми):

Представивши ці ймовірності в рівність (2.1), остаточно отримаємо
P (A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Другий спосіб. подія А(Хоча б один з взятих трьох підручників має палітурка) і Ā (Жоден з узятих підручників не має палітурки) - протилежні, тому P (A) + P (Ā) = 1 (сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює 1). Звідси P (A) = 1 – P (Ā).Імовірність появи події Ā (Жоден з узятих підручників не має палітурки)
шукана ймовірність
P (A) = 1 - P (Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей

умовною ймовірністю Р (В/А) Називається ймовірність події В, обчислена в припущенні, що подія А вже настав.
теорема. Можливість спільного появи двох подій дорівнює добутку ймовірностей одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену в припущенні, що перша подія вже наступило:
Р (А∙В) = Р (А) ∙ Р ( В/А). (2.2)
Дві події називаються незалежними, якщо поява будь-якого з них не змінює ймовірність появи іншого, тобто
Р (А) = Р (А / В) або Р (В) = Р (В/А). (2.3)
якщо події Аі Внезалежні, то з формул (2.2) і (2.3) слід
Р (А∙В) = Р (А)∙Р (В). (2.4)
Справедливо і зворотне твердження, тобто якщо для двох подій виконується рівність (2.4), то ці події незалежні. Справді, з формул (2.4) і (2.2) випливає
Р (А∙В) = Р (А)∙Р (В) = Р (А) × Р (В/А), Звідки Р (А) = Р (В/А).
Формула (2.2) допускає узагальнення на випадок кінцевого числа подій А 1 , А 2 ,…,А n:
Р (А 1 ∙А 2 ∙…∙А n)=Р (А 1)∙Р (А 2 /А 1)∙Р (А 3 /А 1 А 2)∙…∙Р (А n/А 1 А 2 …А n -1).
завдання 1.11. З урни, в якій 5 білих і 10 чорних куль, виймають поспіль дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі (подія А).
Рішення. Розглянемо події: В- перший вийнятий куля біла; З- другий вийнятий куля біла. тоді А = ВС.
Досвід можна провести двома способами:
1) з поверненням: вийнятий кулю після фіксації кольору повертається в урну. В цьому випадку події Ві Знезалежні:
Р (А) = Р (В)∙Р (С) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) без повернення: вийнятий кулю відкладається в сторону. В цьому випадку події Ві Ззалежні:
Р (А) = Р (В)∙Р (С/В).
для події Вумови колишні,, а для Зситуація змінилася. сталося В, Отже в урні залишилося 14 куль, серед яких 4 білих.
Отже,.
завдання 1.12. Серед 50 електричних лампочок 3 нестандартні. Знайти ймовірність того, що дві взяті одночасно лампочки нестандартні.
Рішення. Розглянемо події: А- перша лампочка нестандартна, В- друга лампочка нестандартна, З- обидві лампочки нестандартні. Зрозуміло, що С = А∙В. події Асприяють 3 випадки з 50 можливих, тобто Р (А) = 3/50. якщо подія Авже настало, то події Всприяють два випадки з 49 можливих, тобто Р (В/А) = 2/49. отже,
.
завдання 1.13. Два спортсмена незалежно один від одного стріляють по одній мішені. Ймовірність влучення в мішень першого спортсмена дорівнює 0,7, а другого - 0,8. Яка ймовірність того, що мішень буде вражена?
Рішення. Мішень буде вражена, якщо в неї потрапить або перший стрілок, або другий, або обидва разом, тобто відбудеться подія А + В, Де подія Аполягає в попаданні в мішень першим спортсменом, а подія В- другим. тоді
Р (А+В)=Р (А)+Р (В)–Р (А∙В)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Завдання 1.14.В читальному залі є шість підручників з теорії ймовірностей, з яких три в палітурці. Бібліотекар навмання взяв два підручника. Знайти ймовірність того, що два підручника опиняться в палітурці.
Рішення. Введемо позначення подій : A- перший взятий підручник має палітурка, В- другий підручник має халепу. Імовірність того, що перший підручник має палітурка,
P (A) = 3/6 = 1/2.
Імовірність того, що другий підручник має палітурка, за умови, що перший взятий підручник був в палітурці, тобто умовна ймовірність події В, Така: P (B/А) = 2/5.
Шукана ймовірність того, що обидва підручники мають палітурка, по теоремі множення ймовірностей подій дорівнює
P (AB) = P (A) ∙ P (B/А)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Завдання 1.15.У цеху працюють 7 чоловіків і 3 жінки. За табельною номерами навмання відібрано три людини. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи виявляться чоловіками.
Рішення. Введемо позначення подій: A- першим відібраний чоловік, В- другим відібраний чоловік, С -третім відібраний чоловік. Імовірність того, що першим буде відібраний чоловік, P (A) = 7/10.
Імовірність того, що другим відібраний чоловік, за умови, що першим вже був відібраний чоловік, тобто умовна ймовірність події Внаступна : P (B / А) = 6/9 = 2/3.
Імовірність того, що третім буде відібраний чоловік, за умови, що вже відібрані двоє чоловіків, тобто умовна ймовірність події Зтака: P (C/АВ) = 5/8.
Шукана ймовірність того, що всі три відібраних особи виявляться чоловіками, P (ABC) = P (A) P (B/А) P (C/АВ) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. Формула повної ймовірності та формула Байєса

нехай B 1 , B 2 ,…, B n- попарно несумісні події (гіпотези) і А- подія, яка може відбутися тільки спільно з одним з них.
Нехай, крім того, нам відомі Р (B i) і Р (А/B i) (i = 1, 2, …, n).
У цих умовах справедливі формули:
(2.5)
(2.6)
Формула (2.5) називається формулою повної ймовірності . За нею обчислюється ймовірність події А(Повна ймовірність).
Формула (2.6) називається формулою Байеса . Вона дозволяє зробити перерахунок ймовірностей гіпотез, якщо подія Авідбулося.
При складанні прикладів зручно вважати, що гіпотези утворюють повну групу.
завдання 1.16. В кошику яблука з чотирьох дерев одного сорту. З першого - 15% всіх яблук, з другого - 35%, з третього - 20%, з четвертого - 30%. Дозрілі яблука складають відповідно 99%, 97%, 98%, 95%.
а) Яка ймовірність того, що навмання взяте яблуко виявиться стиглим (подія А).
б) За умови, що навмання взяте яблуко виявилося стиглим, обчислити вірогідність того, що воно з першого дерева.
Рішення. а) Маємо 4 гіпотези:
B 1 - навмання взяте яблуко знято з 1-го дерева;
B 2 - навмання взяте яблуко знято з 2-го дерева;
B 3 - навмання взяте яблуко знято з 3-го дерева;
B 4 - навмання взяте яблуко знято з 4-го дерева.
Їх ймовірності за умовою: Р (B 1) = 0,15; Р (B 2) = 0,35; Р (B 3) = 0,2; Р (B 4) = 0,3.
Умовні ймовірності події А:
Р (А/B 1) = 0,99; Р (А/B 2) = 0,97; Р (А/B 3) = 0,98; Р (А/B 4) = 0,95.
Імовірність того, що навмання взяте яблуко виявиться стиглим, знаходиться за формулою повної ймовірності:
Р (А)=Р (B 1)∙Р (А/B 1)+Р (B 2)∙Р (А/B 2)+Р (B 3)∙Р (А/B 3)+Р (B 4)∙Р (А/B 4)=0,969.
б) Формула Байеса для нашого випадку має вигляд:
.
Завдання 1.17.В урну, яка містить дві кулі, опущений біла куля, після чого з неї навмання витягнутий один шар. Знайти ймовірність того, що витягнутий куля виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення про початковий складі куль (за кольором).
Рішення. позначимо через Аподія - витягнутий біла куля. Можливі наступні припущення (гіпотези) про початковий складі куль: B 1- білих куль немає, В 2- один біла куля, У 3- два білих кулі.
Оскільки всього є три гіпотези, і сума ймовірностей гіпотез дорівнює 1 (так як вони утворюють повну групу подій), то ймовірність кожної з гіпотез дорівнює 1/3, тобто.
P (B 1) = P (B 2)= P (B 3) = 1/3.
Умовна ймовірність того, що буде витягнуто біла куля, при умові, що спочатку в урні не було білих куль, Р (А/B 1) = 1/3. Умовна ймовірність того, що буде витягнуто біла куля, при умові, що спочатку в урні був один біла куля, Р (А/B 2) = 2/3. Умовна ймовірність того, що буде витягнуто біла куля, при умові, що спочатку в урні було два білих кулі Р (А/B 3)=3/ 3=1.
Шукану ймовірність того, що буде витягнуто біла куля, знаходимо за формулою повної ймовірності:
Р(А)=Р (B 1)∙Р (А/B 1)+Р (B 2)∙Р (А/B 2)+Р (B 3)∙Р (А/B 3) = 1/3 · 1/3 + 1/3 · 2/3 + 1/3 · 1 = 2/3 .
завдання 1.18. Два автомата виробляють однакові деталі, які надходять на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більше продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий - 84%. Навмання взята з конвеєра деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.
Рішення. позначимо через Аподія - деталь відмінної якості. Можна зробити два припущення: B 1- деталь зроблена першим автоматом, причому (оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше деталей, ніж другий) Р (А/B 1) = 2/3; B 2 - деталь зроблена другим автоматом, причому P (B 2) = 1/3.
Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена першим автоматом, Р (А/B 1)=0,6.
Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена другим автоматом, Р (А/B 1)=0,84.
Імовірність того, що навмання взята деталь виявиться відмінної якості, за формулою повної ймовірності дорівнює
Р (А)=Р (B 1) ∙Р (А/B 1)+Р (B 2) ∙Р (А/B 2) = 2/3 · 0,6 + 1/3 · 0,84 = 0,68.
Шукана ймовірність того, що взята відмінна деталь зроблена першим автоматом, за формулою Бейеса дорівнює

завдання 1.19. Є три партії деталей по 20 деталей в кожній. Число стандартних деталей в першій, другій і третій партіях відповідно рівні 20, 15, 10. З обраної партії навмання витягнута деталь, яка виявилася стандартною. Деталі повертають в партію і вдруге з цієї ж партії навмання витягують деталь, яка також виявляється стандартною. Знайти ймовірність того, що деталі були витягнуті з третьої партії.
Рішення. позначимо через Аподія - в кожному з двох випробувань (з поверненням) була залучена стандартна деталь. Можна зробити три припущення (гіпотези): B 1 - деталі витягуються з першої партії, В 2 - деталі витягуються з другої партії, В 3 - деталі витягуються з третьої партії.
Деталі витягувалися навмання з взятої партії, тому ймовірності гіпотез однакові: P (B 1) = P (B 2) = P (B 3) = 1/3.
Знайдемо умовну ймовірність Р (А/B 1), тобто ймовірність того, що з першої партії будуть послідовно витягнуті дві стандартні деталі. Ця подія достовірно, тому що в першій партії всі деталі стандартні, тому Р (А/B 1) = 1.
Знайдемо умовну ймовірність Р (А/B 2), тобто ймовірність того, що з другої партії будуть послідовно витягнуті (з поверненням) дві стандартні деталі: Р (А/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Знайдемо умовну ймовірність Р (А/B 3), тобто ймовірність того, що з третьої партії будуть послідовно витягнуті (з поверненням) дві стандартні деталі: Р (А/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Шукана ймовірність того, що обидві витягнуті стандартні деталі взяті з третьої партії, за формулою Бейеса дорівнює

1.2.7. повторні випробування

Якщо проводиться кілька випробувань, причому ймовірність події Ав кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними щодо події А.У різних незалежних випробуваннях подія Аможе мати або різні ймовірності, або одну і ту ж ймовірність. Будемо далі розглядати лише такі незалежні випробування, в яких подія Амає одну ту ж ймовірність.
нехай проводиться пнезалежних випробувань, в кожному з яких подія Аможе з'явитися або не з'явитися. Домовимося вважати, що ймовірність події Ав кожному випробуванні одна і та ж, а саме дорівнює р.Отже, ймовірність ненастання події Ав кожному випробуванні також є сталою і дорівнює 1 р.Така імовірнісна схема називається схемою Бернуллі. Поставимо перед собою задачу обчислити вірогідність того, що при пвипробуваннях за схемою Бернуллі подія Аздійсниться рівно kраз ( k- число успіхів) і, отже, не здійсниться п-раз. Важливо підкреслити, що не потрібно, щоб подія Аповторилося рівно kраз в певній послідовності. Шукану ймовірність позначимо Р п (k). Наприклад, символ Р 5 (3) означає ймовірність того, що в п'яти випробуваннях подія з'явиться рівно 3 рази і, отже, не наступить 2 рази.
Поставлену задачу можна вирішити за допомогою так званої формули Бернуллі,яка має вигляд:
.
Завдання 1.20.Імовірність того, що витрата електроенергії протягом однієї доби не перевищить встановлену норму, дорівнює р= 0,75. Знайти ймовірність того, що в найближчі 6 діб витрата електроенергії протягом 4 діб не перевищить норми.
Рішення.Імовірність нормального витрати електроенергії протягом кожних з 6 діб постійна і дорівнює р= 0,75. Отже, ймовірність перевитрати електроенергії в кожну добу також є сталою і дорівнює q = 1–р=1–0,75=0,25.
Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює
.
завдання 1.21. Два рівносильних шахіста грають в шахи. Що імовірніше: виграти дві партії з чотирьох чи три партії з шести (нічиї до уваги не беруться)?
Рішення. Грають рівносильні шахісти, тому ймовірність виграшу р= 1/2, отже, ймовірність програшу qтакож дорівнює 1/2. Оскільки у всіх партіях ймовірність виграшу постійна і байдужа, в якій послідовності будуть виграні партії, то може бути застосована формула Бернуллі.
Знайдемо ймовірність того, що дві партії з чотирьох будуть виграні:

Знайдемо ймовірність того, що будуть виграні три партії з шести:

Оскільки P 4 (2) > P 6 (3), то найімовірніше виграти дві партії з чотирьох, ніж три з шести.
Однакоможно бачити, що користуватися формулою Бернуллі при великих значеннях nдосить важко, так як формула вимагає виконання дій над величезними числами і тому в процесі обчислень накопичуються похибки; в результаті остаточний результат може значно відрізнятися від істинного.
Для вирішення цієї проблеми існують кілька граничних теорем, які використовуються для випадку великого числа випробувань.
1. Теорема Пуассона
При проведенні великого числа випробувань за схемою Бернуллі (при n=> ∞) і при малому числі сприятливих результатів k(При цьому передбачається, що ймовірність успіху pмала), формула Бернуллі наближається до формули Пуассона
.
Приклад 1.22.Імовірність браку при випуску підприємством одиниці продукції дорівнює p= 0,001. Яка ймовірність, що при випуску 5000 одиниць продукції з них буде менше 4 бракованих (подія А Рішення. Оскільки nвелике, скористаємося локальною теоремою Лапласа:

обчислимо x:
функція - парна, тому φ (-1,67) = φ (1,67).
По таблиці додатка п.1 знайдемо φ (1,67) = 0,0989.
шукана ймовірність P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Інтегральна теорема Лапласа
якщо ймовірність рпояви події Aв кожному випробуванні за схемою Бернуллі постійна і відмінна від нуля і одиниці, то при великому числі випробувань n, ймовірність Р п (k 1 , k 2) появи події Aв цих випробуваннях від k 1 до k 2 раз наближено дорівнює
Р п(k 1 , k 2) = Φ ( x "") – Φ ( x "), Де
- функція Лапласа,

Визначений інтеграл, що стоїть в функції Лапласа обчислюється на класі аналітичних функцій, тому для його обчислення використовується табл. П.2, наведена в додатку.
Приклад 1.24.Імовірність появи події в кожному зі ста незалежних випробувань постійна і дорівнює p= 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться: a) не менше 75 разів і не більше 90 разів; б) не менше 75 разів; в) не більше 74 разів.
Рішення. Скористаємося інтегральною теоремою Лапласа:
Р п(k 1 , k 2) = Φ ( x "") – Φ( x "), Де Ф ( x) - функція Лапласа,

а) За умовою, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Обчислимо x ""і x " :


З огляду на, що функція Лапласа непарна, тобто Ф (- x) = - Ф ( x), Отримаємо
P 100 (75; 90) = Ф (2,5) - Ф (-1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25).
За табл. П.2. додатки знайдемо:
Ф (2,5) = 0,4938; Ф (1,25) = 0,3944.
шукана ймовірність
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
б) Вимога, щоб подія з'явилося не менше 75 разів, означає, що число появ події може дорівнювати 75, або 76, ..., або 100. Таким чином, в даному випадку слід прийняти k 1 = 75, k 2 = 100. Тоді

.
За табл. П.2. додатки знайдемо Ф (1,25) = 0,3944; Ф (5) = 0,5.
шукана ймовірність
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
в) Подія - « Аз'явилося не менше 75 разів »і« Аз'явилося не більше 74 разів »протилежні, тому сума ймовірностей цих подій дорівнює 1. Отже, шукана ймовірність
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Тема уроку: «Випадкові, достовірні та неможливі події»

Місце уроку в навчальному плані: «Комбінаторика. Випадкові події »урок 5/8

Тип уроку: Урок формування нових знань

Мета уроку:

освітні:

o ввести визначення випадкового, достовірного і неможливого події;

o навчити в процесі реальної ситуації визначати терміни теорії ймовірностей: достовірні, неможливі, равновероятностних події;

Розвиваючі:

o сприяти розвитку логічного мислення,

o пізнавального інтересу учнів,

o вміння порівнювати і аналізувати,

виховні:

o виховання інтересу до вивчення математики,

o розвиток світогляду учнів.

o володіння інтелектуальними вміннями і розумовими операціями;

Методи навчання:пояснювально-ілюстративний, репродуктивний, математичний диктант.

УМК:Математика: підручник для 6 кл. під редакцією, і ін., вид-во «Просвіта», 2008 р, Математика, 5-6: кн. для вчителя / [, [ ,]. - М.: Просвещение, 2006.

Дидактичний матеріал: плакати на дошку.

література:

1. Математика: навч. для 6 кл. загальноосвіт. установ /, та ін.]; під ред. ,; Ріс. акад. наук, Рос. акад. освіти, вид-во «Просвіта». - 10-е изд. - М.: Просвещение, 2008.-302 с .: іл. - (Академічний шкільний підручник).

2. Математика, 5-б: кн. для вчителя / [,]. - М.: Просвещение, 2006. - 191 с. : Ил.

4. Рішення задач по статистиці, комбінаторики і теорії ймовірностей. 7-9 класи. / Авт.- сост. . Вид. 2-е, испр. - Волгоград: Учитель, 2006. -428 с.

5. Уроки математики із застосуванням інформаційних технологій. 5-10 класи. Методичне - посібник з електронним додатком / і ін. 2-е изд., Стереотип. - М .: Видавництво «Глобус», 2010. - 266 с. (Coвременная школа).

6. Викладання математики в сучасній школі. Методичні рекомендації. Владивосток: Видавництво ПІППКРО, 2003.

ПЛАН УРОКУ

I. Організаційний момент.

II. Усна робота.

III. Вивчення нового матеріалу.

IV. Формування умінь і навичок.

V. Підсумки уроку.

V. Домашнє завдання.

ХІД УРОКУ

1. Оргмомент

2. Актуалізація знань

15*(-100)

Усна робота:

3. Пояснення нового матеріалу

Учитель: Наше життя багато в чому складається з випадковостей. Існує така наука «Теорія ймовірностей». Користуючись її мовою, можна описати багато явищ і ситуації.

Такі стародавні полководці, як Олександр Македонський чи Дмитро Донський, готуючись до бою, щоб надії не клали тільки на доблесть і мистецтво воїнів, а й на випадок.

Математику багато хто любить за вічні істини двічі два завжди чотири, сума парних чисел парна, площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін і т. Д. У будь-завданнях, які ви вирішували, у всіх виходить один і той же відповідь - потрібно тільки не робити помилок в рішенні.

Реальне життя не так проста і однозначна. Результати багатьох явищ заздалегідь передбачити неможливо. Не можна, наприклад, сказати напевно, яким боком впаде підкинута вгору монета, коли в наступному році випаде перший сніг або скільки людина в місті протягом найближчої години захочуть зателефонувати. Такі непередбачувані явища називаються випадковими .

Однак випадок теж має свої закони, які починають проявлятися при багаторазовому повторенні випадкових явищ. Якщо підкинути монету 1000 разів, то «орел» випаде приблизно в половині випадків, чого не можна сказати про двох або навіть десяти киданнях. «Приблизно» не означає половину. Це, як правило, може бути так, а може і не бути. Закон взагалі нічого не стверджує напевно, але дає певну ступінь впевненості в тому, що деякий випадкова подія відбудеться.

Такі закономірності вивчає спеціальний розділ математики - Теорія імовірності . З її допомогою можна з більшим ступенем впевненості (але все одно не напевно) передбачити і дату випадання першого снігу, і кількість телефонних дзвінків.

Теорія ймовірностей нерозривно пов'язана з нашим повсякденним життям. Це дає нам чудову можливість встановити багато імовірнісні закони досвідченим шляхом, багато разів повторюючи випадкові експерименти. Матеріалами для цих експериментів найчастіше будуть звичайна монета, гральний кубик, набір доміно, нарди, рулетка або навіть колода карт. Кожен з цих предметів, так чи інакше, пов'язаний з іграми. Справа в тому, що випадок тут постає в найбільш частому вигляді. І перші імовірнісні завдання були пов'язані з оцінкою шансів гравців на виграш.

Сучасна теорія ймовірностей пішла від азартних ігор, але їх реквізит як і раніше залишається найбільш простим і надійним джерелом випадку. Повправлявшись з рулеткою і кубиком, ви навчитеся обчислювати ймовірність випадкових подій в реальних життєвих ситуаціях, що дозволить вам оцінювати свої шанси на успіх, перевіряти гіпотези, приймати оптимальні рішення не тільки в іграх і лотереях.

Вирішуючи імовірнісні завдання, будьте дуже уважні, намагайтеся доводити кожен свій крок, бо ніяка інша область математики не містить таку кількість парадоксів. Як теорія ймовірностей. І, мабуть, головне пояснення цьому - її зв'язок з реальним світом, в якому ми живемо.

У багатьох іграх використовують кубик, у якого на кожній грані зазначено різну кількість точок від 1 до 6. Граючий кидає кубик, дивиться, скільки точок випало (на тій межі, яка розташовується зверху), і робить відповідне число ходів: 1,2,3 , 4,5, або 6. Кидання кубика можна вважати досвідом, експериментом, випробуванням, а отриманий результат - подією. Людям зазвичай дуже цікаво вгадувати настання тієї або іншої події, передбачати його результат. Які прогнози вони можуть зробити, коли кидають гральний кубик?

Перше пророцтво: випаде одна з цифр 1,2,3,4,5, або 6. Як ви думаєте, передбачене подія настане чи ні? Звичайно, обов'язково настане.

Подія, яке в даному досвіді обов'язково настане, називають достовірнимподією.

друге пророцтво : випаде цифра 7. Як ви думаєте, передбачене подія настане чи ні? Звичайно не наступить, це просто неможливо.

Подія, яке в даному досвіді наступити не може, називають неможливимподією.

третє пророцтво : випаде цифра 1. Як ви думаєте, передбачене подія настане чи ні? На це питання ми з повною впевненістю відповісти не в змозі, оскільки передбачене подія може наступити, а може і не настати.

Події, які в одних і тих же умовах можуть відбутися, а можуть і не відбутися, називаються випадковими.

Приклад. У коробці лежать 5 цукерок в синій обгортці і одна в білій. Чи не дивлячись в коробку, навмання виймають одну цукерку. Чи можна сказати заздалегідь, якого вона буде кольору?

завдання : охарактеризуйте події, про які йдеться в наведених нижче завданнях. Як достовірні, неможливі або випадкові.

1. Підкидаємо монету. З'явився герб. (Випадкове)

2. Мисливець стріляв у вовка і потрапив. (Випадкове)

3. Школяр щовечора виходить на прогулянку. Під час прогулянки, в понеділок, він зустрів трьох знайомих. (Випадкове)

4. Проведемо подумки наступний експеримент: стакан з водою перевернемо догори дном. Якщо цей експеримент проводити не в космосі, а вдома або в класі, то вода виллється. (Достовірне)

5. Вироблено три постріли по мішені ». Сталося п'ять попадань » (Неможливе)

6. Кидаємо камінь вгору. Камінь залишається висіти в повітрі. (Неможливе)

прикладПетя задумав натуральне число. Подія полягає в наступному:

а) задумано парне число; (Випадкове)

б) задумано непарне число; (Випадкове)

в) задумано число, що не є ні парною, ні непарною; (Неможливе)

г) задумано число, яке є парних або непарних. (Достовірне)

Події, які за даних умов мають рівні шанси, називаються рівноімовірними.

Випадкові події, які мають рівні шанси, називають рівноможливими або рівноімовірними .

Помістити на дошку плакат.

На усному іспиті учень бере один з розкладених перед ним квитків. Шанси взяти будь-який з екзаменаційних білетів рівні. Равновероятности є випадання будь-якого числа очок від 1 до 6 при киданні грального кубика, а також «орла» або «решки» при киданні монети.

Але не всі події є рівноможливими. Може не задзвонити будильник, перегоріти лампочка, зламатися автобус, але в звичайних умовах такі події малоймовірні. Більш ймовірно, що будильник задзвонить, лампочка загориться, автобус поїде.

У одних подій шансівстатися більше, значить, вони більш вірогідні - ближче до достовірних. А у інших шансів менше, вони менш вірогідні - ближче до неможливим.

У неможливих подій немає ніяких шансів відбутися, а достовірні події можуть відбутися, за певних умов вони відбудуться обов'язково.

прикладПетя і Коля порівнюють свої дні народження. Подія полягає в наступному:

а) їх дні народження не збігаються; (Випадкове)

б) їх дні народження збігаються; (Випадкове)

г) дні народження обох припадають на свята - Новий рік (1 січня) і День незалежності Росії (12 червня). (Випадкове)

3. Формування умінь і навичок

Завдання з підручника № 000. Які з перерахованих нижче випадкових подій достовірні, можливі:

а) черепаха навчиться говорити;

б) вода в чайнику, що стоїть на плиті, закипить;

г) ви виграєте, беручи участь в лотереї;

д) ви не виграєте, беручи участь у безпрограшній лотереї;

е) ви програєте партію в шахи;

ж) ви завтра зустрінете інопланетянина;

з) на наступному тижні зіпсується погода; і) ви натиснули на дзвінок, а він не задзвонив; к) сьогодні - четверг;

л) після четверга буде п'ятниця; м) після п'ятниці буде четвер?

У коробках лежать 2 червоних, I жовтий і 4 зелених кулі. З коробки навмання виймають три кулі. Які з наступних подій неможливі, випадкові, достовірні:

А: будуть витягнуті три зелених кулі;

В: будуть витягнуті три червоних кулі;

З: будуть витягнуті кулі двох кольорів;

D: будуть витягнуті кулі одного кольору;

Е: серед витягнутих куль є синій;

F: серед витягнутих є кулі трьох кольорів;

G: серед витягнутих є два жовтих кулі?

Перевір себе. (Математичний диктант)

1) Вкажіть, які з наступних подій неможливі, які - достовірні, які - випадкові:

· Футбольний матч «Спартак» - «Динамо» закінчиться внічию (Випадкове)

· Ви виграєте, беручи участь у безпрограшній лотереї ( достовірне)

· Опівночі випаде сніг, а через 24 години буде світити сонце (Неможливе)

· Завтра буде контрольна з математики. (Випадкове)

· Вас оберуть президентом США. (Неможливе)

· Вас оберуть президентом Росії. (Випадкове)

2) Ви купили в магазині телевізор, на який фірма - виробник дає два роки гарантії. Які з наступних подій неможливі, які - випадкові, які - достовірні:

· Телевізор не зламається протягом року. (Випадкове)

· Телевізор не зламається протягом двох років . (Випадкове)

· Протягом двох років вам не доведеться платити за ремонт телевізора. (Достовірне)

· Телевізор зламається на третій рік. (Випадкове)

3) Автобусу, в якому їде 15 пасажирів, має бути зроблено 10 зупинок. Які з наступних подій неможливі, які - випадкові, які - достовірні:

· Будь-хто пасажири вийдуть з автобуса на різних зупинках. (Неможливе)

· Будь-хто пасажири вийдуть на одній зупинці. (Випадкове)

· На кожній зупинці хоч хто - то вийде. (Випадкове)

· Чи знайдеться зупинка, на якій ніхто не вийде. (Випадкове)

· На всіх зупинках вийде парне число пасажирів. (Неможливе)

· На всіх зупинках вийде парне число пасажирів. (Неможливе)

підсумки уроку

Питання учням:

Які події називаються випадковими?

Які події називаються рівноімовірними?

Які події називаються достовірними? неможливими?

Які події називаються більш ймовірними? менш імовірними?

Домашнє завдання : п. 9.3

№ 000. Придумайте по три приклади достовірних, неможливих подій, а також подій, про які не можна сказати, що вони обов'язково відбудуться.

902. В коробці лежать 10 червоних, 1 зелена і 2 сині ручки. З коробки навмання виймають дві ручки. Які з наступних подій неможливі, достовірні:

А: будуть вийняті дві червоні ручки; В: будуть вийняті дві зелені ручки; З: будуть вийняті дві сині ручки; D: будуть вийняті дві ручки різних кольорів;

Е: будуть вийняті два олівця? 03. Єгор і Данила домовилися: якщо стрілка вертушки (рис. 205) зупиниться на білому полі, то паркан буде фарбувати Єгор, а якщо на блакитному полі - Данила. У кого з хлопчиків більше шансів фарбувати паркан?